从阿基里斯追不上乌龟说起

阿基里斯能不能追上乌龟是古希腊哲学家们热衷讨论的一个命题。阿基里斯是古希腊神话中的人物，传说他生下来的时候被母亲用手提着脚踝倒浸入冥河之中，因此全身除脚踝之外，刀枪不入。一位如此强壮的英雄，现在要去追赶在他前面不远，行动十分迟缓的乌龟，能不能赶上它呢？读者会不加思索地回答：“能。”但是，古希腊爱利亚学派的代表人物芝诺却说：“不能。”且听他说的道理；假设赛跑开始的时候，乌龟在阿基里斯前100米，并假设阿基里斯的速度是乌龟爬行速度的10倍。当阿基里斯跑了100米到达乌龟原来所在的位置时，乌龟已又向前跑了10米。当他再跑完10米去追赶乌龟时，发现乌龟还在他前面1米。他再跑前1米，乌龟还在他之前有10厘米，如此下去，岂不明白，阿基里斯只能一次次地到达乌龟所经过的地点，而永远也追不上乌龟了吗？

芝诺

读了这段话，读者也许对芝诺善于揭示事物的矛盾和能言善辩的分析赞叹不已！但不管芝诺巧舌如簧，他的论证一定是错的，因为它与我们的日常生活经验相悖，因此哲学史上称它为“芝诺悖论”。芝诺的论证究竟错在哪里呢？关键是他不懂得“有限”和“无限”这一对矛盾的辩证关系。阿基里斯在追上乌龟虽然要经进“无数”步，但这并不意味着他所需的时间是无限大。现在利用初等数学中无穷级数求和的办法就可以计算出确切的时间来。

设阿基里斯的速度为v＝10m/s，乌龟的速度则为v/10 ＝1m/s。阿与龟相距为L₀＝100m，赶上乌龟所需的时间为t。则：

解：阿基里斯以速度v跑完这段距离：L＝L₀＋0.1L₀＋0.01L₀＋……（0.1）ⁿL₀，（n有无穷项）。但这个无穷等比级数，公比q＝0.1＜1，所以级数是收敛的。所需时间\({\rm{t= }}\frac{{\rm{L}}}{{\rm{v}}}{\rm{ = }}\frac{{{{\rm{L}}_{\rm{0}}}}}{{\rm{v}}}\left[{{\rm{1 + 0}}.{\rm{1 + 0}}.{\rm{01 + }} \cdots {\rm{ + }}{{\left( {{\rm{0}}.{\rm{1}}}\right)}^{\rm{n}}}} \right]{\rm{ = }}\frac{{{\rm{100}}}}{{\rm{9}}}{\rm{s}}\)

也可以用更为直观的方法来计算：已知阿、龟之间的速度差为：v－v/10＝9v/10＝9m/s

阿、龟之间相距L＝100m，阿赶上乌龟所需的时间\({\rm{t = }}\frac{{\rm{L}}}{{\frac{9}{{10}}v}}{\rm{ = }}\frac{{100}}{9}s\)。

这样我们证实了，阿基里斯一定能追上乌龟，所需的时间是一个有限值，约11.1秒。芝诺虽然做出了错误的论证，但他以非凡的洞察力看到了运动过程中“有限”和“无限”的一对矛盾，对后人的认识运动依然是功不可没的。芝诺生于约公元前490年，卒于公元前430年。关于他的生平事迹，所知甚少。仅知道他是爱利亚学派领袖巴门尼德的门徒，热衷于政治活动，能言善辩。曾经到过雅典与哲学大师苏格拉底见过面，并向苏格拉底传授过他的辩证法。他将自己对运动的看法归纳成4条与通常见解相对立的反论、在哲学史上产生过重大的影响。他提出这些论证的目的是为了捍卫他的恩师巴门尼德的思想。巴门尼德认为运动是不存在的。他说：“存在者是不动的，被巨大的锁链捆着，无始亦无终。”所以芝诺想通过揭示运动中的一系列对立的矛盾，使人们相信运动只是一种主观的印象。如果要承认它的存在，就必然会陷入自相矛盾的境地。从上面的悖论中，我们已经领教了他的逻辑推理和辩论风格。

我们再来看一下他的另一条悖论：飞矢不动。一支飞箭怎么会不运动呢？不动的箭又如何能飞，能射中目标呢？请看芝诺的分析吧：“一支飞着的箭是不动的。因为飞箭在每一瞬间只能占据空间上的一个位置，不能同时又在另一个位置上。而每一个位置都是静止的，把许多静止的位置集合起来仍然是静止的，因此飞箭实际上并没有运动。”芝诺在这个悖论里也揭示了几个矛盾的对立面：相对和绝对、运动和静止、连续和间断。但他仍然只看到矛盾的对立、否认它们的联系和转化。在这里他把相对的静止状态变为绝对的静止，把连续的运动加以僵化割裂，并看成各个绝对静止状态的总和，所以结论是荒谬的。

无独有偶，这样一类的命题也曾引起了我国先秦哲学家们的兴趣。先秦是我国历史上学术思恕最为活跃和繁荣的时期，形成了诸子并存，百家争鸣的局面。在诸子中有一名家，因为喜欢辩论，而辩论的内容又只限于事物的名词，与事物的实际很少联系，因此被称为名家。名家的代表人物是宋国学者惠施。相传他十分博学，外出时要随身携带五车书，有“学富五车”的雅号。名家对运动的命题主要有这样两条，其一是：“飞鸟之影，未尝动也。”就是说：鸟在天空中飞翔，它在地上的影子是在不断地改变。但是对每一个特定的影子来说，实际上是没有移动过位置的。读者都知道，影是鸟遮住了阳光而造成的。鸟在飞翔的时候，影也随之移动。这是一个原影不断消失，新影不断产生的连续过程。由于人眼具有视觉暂留的缘故，容易看到一个影子在消失前的短暂“静止”，所以通过观察地面上的影要比迎着阳光去观察飞鸟更容易发现“动中有静”的特点。另一条命题是：“镞矢之疾，而有不行不止之时。”这是说：“箭簇的飞行是相当快的，但是我们取很短的一段时间去观察它，这段时间如此之短，以致箭簇在这一瞬间只占着一个位置，还来不及离开。此时既不能说它是静止的，又不能说它在运动着，只能说是不行不止之时。这条命题的分析很是精辟，它既揭示了运动过程中动与静的一对矛盾，又没有否定运动的真实性，较之芝诺否定运动的悖论，要高明得多。

飞鸟之影，未尝动也

另有墨家学派对运动问题也有很精彩的阐述。墨家学派的创始人是宋国人墨翟，他的语录集“墨经”有这样一段话：“无久之不止，当牛非马，若矢过楹。有久之不止，当马非马，若人过梁。”

在“墨经”中，久代表时间，“无久”指极短促的时间，“有久”指较长的时间。“止”是静止，“不止”是运动。将这段话译成白话文是：快速的运动，就好像两楹之间的飞箭，（古人学习射箭，要竖起两根木柱，柱称为楹。箭矢在两楹之间飞行，速度极快。）它的运动特点（“不止”）是非常明显的，如同说“牛不是马”，谁也不会去怀疑。至于缓慢的运动，费时较长，就像人过桥，小心谨慎，一步一停。虽然在前进之中每一步都有短时间的静止，但就过桥的整个过程来说，静止是相对的，暂时的，通过每一步中的相对静止而完成了整个过桥运动。这个道理一般人不容易理解，甚至怀疑。如同说“马不是马”那样难以令人信服。从“墨经”的这段论述中可以看出，墨家已经认识到“动中有静，静中有动”的运动本质。即使是像过桥那样迟缓的运动，中间有较长时间的停顿，普通人也许会觉得不太好理解，但墨家深信不疑这一过程属于运动（“不止”），只是“有久之不止”而已，即比较缓慢的运动。

楹

事实上，运动和静止这一对矛盾不仅可以统一共存，而且在一定的条件下还会相互转化，由动变静，或由静变动。例如，古人对“飞矢”感觉到它的运动，对“过桥”看到他的停顿。这些都是通过人的一般视觉感受能力来判断它们的动与静。众所周知，人眨眼的动作是相当快的，快得连眼皮遮住了视线都浑然不觉。我们就把这小段时间叫做“一瞬”吧。（生理学家告诉我们，眨眼共需0.4秒。其中上眼皮下垂约0.08秒，眼皮下垂后静止不动需0.17秒，上眼皮重新抬起需0.15秒）。就在这“一瞬”间，飞矢要移动5～6米距离，所以大家都认为它在运动。而桥上的行人也许还来不及跨出一步，所以有人认为他并不在运动。倘若我们把“一瞬”的时间缩短1000倍，也就是千分之0.4秒。那么在这“一瞬”间看来，飞矢看起来也悬在空中静止不动的，反之若将“一瞬”的时间扩大1000倍来看，那么过桥之人也快如流星了。而现代技术已经可以测量到10^-11秒这么短的时间间隔，这段时间是如此之短，将它与1秒钟相比，等于1秒钟与3千年相比，如果以它为“一瞬”，那么宇宙飞船看起来也凝固在太空之中不动了。

关于运动的本质，恩格斯说得好：“任何一个物体的位移之所以能实现，也只是因为物体在同一瞬间既在一个地方，又在另一个地方，既在同一个地方又在不同一个地方，这种矛盾的连续产生和同时解决，正好就是运动。”

发布时间：2012/10/9 上午10:31:32  阅读次数：18218