1.2 符号和定义

本节将对本书中涉及的一些数学符号进行说明，关于本书中用到的名词的详细解释可参见附录A。

1.2.1 数学符号

表1.1总结本书用到的的大部分数学符号，这里对其中的部分概念进行详细解释。

角度和标量均属于实数集R，也就是说，它们都是实数。向量和点用黑体小写字母表示，相关分量可以用下列形式存取。

（1.1）

即这是一种列向量形式，目前在计算机图形学界普遍采用这种表示形式。在本书很多地方，常常使用（v_x，v_y、v_z），而不是（v_x v_y v_z）^T形式，这是因为前者的可读性要好一些。

在齐次坐标系中（参见附录A.4节）。坐标可以用（v_x v_y v_z v_w）^T表示。其中一个向量是v＝（v_x v_y v_z 0）T，一个点是v＝（v_x v_y v_z 1）^T。有时候只使用具有3个元素的向量和点。但是尽可能避免出现表示类型上的歧义。对于矩阵操作来说，向量和点最好使用同一种符号表示形式（关于变换操作可参见第4章，关于齐次符号表示可参见附录A.4节）。在一些算法中，使用数字索引要比使用x、y、z更方便，如v＝（v₀ v₁ v₂）^T。对于两个元素的向量来说，关于向量和点的所有这些规则依然成立，只是忽略了三元向量中的第3个分量而已。

关于矩阵．需要多一些解释，最常使用的矩阵大小是2×2、3×3、4×4。这里，通过回顾一下3×3矩阵M的相关操作，就很容易将这种操作过程扩展到其他大小的矩阵。矩阵M的（标量）元素可以用m_ij表示，其中0≤（i，j）≤2，i表示行，j表示列，具体表示参见式（1.2）。

     （1.2）

式（1.3）中所示的关于3×3矩阵的符号表示，可以将向量和矩阵M区分开：m_j表示第j个列向量，m_i表示第i个行向量（以列向量形式表示）。对于向量和点来说，也可以用x、y、z或w来索引列向量，条件是这种表示方式更方便。

     （1.3）

平面可以用π：n•x＋d＝0来表示，同时也是它的数学公式，包含了平面法线n和标量d，法线是表示平面朝向的一个向量，更通用的说法是（例如对于一个曲面）法线表示的是平面上一个特定点的方向，对于平面来说，所有点的法线都是相同的。π是平面表示的的常用数学符号。可以认为平面π将空间分为正半空间（其中n•x＋d＞0）和负半空间（其中n•x＋d＜0），其他所有点都位于平面上。

三角形可以用三个点v₀、v₁、v₂来定义，用△v₀v₁v₂来表示。

表1.2给出了其他的一些数学操作符及相应的符号表示，关于点乘、叉乘、行列式、长度等操作符参见附录A。转置操作符将一个列向量转换为一个行向量反之亦然。这样可以将列向量写成一种压缩形式如（v_x v_y v_z）^T。关于第4个操作符，需要进一步解释：u⊗v表示向量（u_xv_x u_yv_y u_zv_z）^T，也就是说，向量u的第i个分量与向量v的i个分量相乘，将结果保存在新向量的第i个分量中。在本书中，这个操作符只用于颜色向量的操作中。第5个操作符是在《Graphics Gems Ⅳ》书中引入的，它是作用在二维向量上的一元操作符，如果将这个操作符作用于向量v＝（v_x v_y）^T，那么就可以生成一个与v垂直的向量v^⊥＝（－v_y v_x）^T。可以使用|a|来表示标量a的绝对值，|A|表示矩阵A的行列式。有时候，也使用|A|＝|abc|＝det(a,b,c)，其中a、b、c是矩阵A的列向量。表1.2中的第9个操作符，也就是阶乘，可以用如下形式来定义（注意0！＝1）：

n!＝n（n－1）（n－2）……3•2•1         （1.4）

第10个操作符，也就是二项式因子，可以用式（1.5）的形式来定义：

     （1.5）

表1.2 一部分数学操作符的表示形式

操作符	说明
•	点乘
×	叉乘
vT	向量v的转置
⊗	分段向量相乘
⊥	一元垂直点乘操作符
|•|	矩阵的行列式
|•|	标量的绝对值
||•||	变量长度（或者范数）
n！	阶乘
	二项式因子

此外，可以称平面x＝0、y＝0、z＝0为坐标平面（Coordinate Planes）或者轴对齐平面（Axis-aligned Planes），这组轴通常也称为标准基（Standard Basis）。如果没有特别注明，一般使用标准正交基（包括两个相互垂直的单位向量，具体参见附录A.3.1节）。

符号［a，b］表示所有位于a和b之间的数，其中包含a和b。如果希望所有的数处于a和b之间，但不包含a和b那么就可以写成（a，b）。此外，也可以将这两种表示结合起来使用，例如，［a,b）表示位于a和b之间，包含a但没有包含b。

在本书中也经常用到C语言中的数学函数atan2（y，x），它是数学函数arctan（x）的一种扩展。两者之间的主要差别是，－π/2＜arctan（x）＜π/2，0≤atan2（y，x）≤2π，而且在后面的函数中增加了一个额外变量，用来避免零除问题，也就是说x＝y/x，但不能出现x＝0。

表1.3 一些特殊数学函数的表示方法

	函数	说明
1	atan2(y,x)	两个量的反正切函数
2		截取余弦函数
3	log(n)	n的自然对数

截取余弦函数， 用于让着色方程便于阅读，如果余弦函数的结果小于零，那么通过这个函数返回的结果就是0。

本书中的符号log(n)总是表示自然对数，即以e为底的对数log_e（n），而不是表示以10为底的对数log₁₀（n）。

在计算机图形学领域，对于三维几何体来说，右手坐标系是标准坐标系，所以在本书中也使用右手坐标系统（参见附录A.2节）。

最后，颜色可以用三元向量来表示，如（red，green，blue），其中每个元素的范围在［0，1］之间。

1.2.2 几何定义

大多数图形硬件使用的基本绘制图元是点、线、三角形（目前，我们知道的例外情况有像素平面（Pixel-Planes），它可以绘制球体；此外，还有NVIDIA NV1芯片，它可以进行椭圆体的绘制）。

在本书中几何实体集合一般指的是一个模型或者物体。一个场景是由很多模型组成的，这些模型位于需要绘制的环境中。场景还可以包括材质描述、光照，以及视场说明。

物体示例有小车、建筑物，甚至也可以是直线。在实际应用中，一个物体通常包含一组绘制图元，但也不是永远如此；物体可以具有一种比较高的几何表示形式，比如Bezier曲线或者表面、细分表面等。此外，物体还可以包含其他物体，比如，可以认为小车的门就是一个物体或者是小车的子集。

进一步阅读资料

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发布时间：2012/4/1 下午3:44:38  阅读次数：8301