第五章 机械能参考资料

1．功的定义和计算公式

功是能量转化的一种量度。当外界对物体（或系统）作功，或者物体（或系统）对外界做功时，物体（或系统）的能量都会相应地发生增减。做了多少功，能量就变化多少。但是由于热传递也能改变物体（或系统）的能量，所以功并不是能量变化的唯一量度。

功的概念最初被引进经典力学，称为机械功。它的定义是由科里奥利在他的著作《机器效应计算》中确定的。在其他一些力学著作中，还经常把能量定义为做功的本领，这进一步显示了功和能的依存关系；并且把功称作为力的作用效果的空间积累，说明功和力性质上的不同。

物体在恒力作用下做直线运动时，机械功等于力F和位移s两个矢量的乘积。矢量和标量的运算法则不同，矢量合成只是矢量加减的运算法则。然而有许多物理量则是矢量和标量的乘积，或者跟“功”一样是矢量和矢量相乘的积，所以了解矢量乘法的法则有助于我们对这些物理量及其表达式的理解。矢量和标量相乘的积仍是矢量，例如力矢量就是质量（标量）和加速度矢量的乘积。而矢量相乘则在不同的情况下要分别按照标积或矢积的方式进行。两个矢量的标积记作c＝a•b，读作“a点乘b”，可以看作是一个矢量的大小和另一个矢量在第一个矢量方向上的分量相乘，即c＝abcosθ，这时所得的积是标量。功就是力和位移两个矢量的标积，即W＝F•s＝F•scosθ。这就是功的一般公式的来由，所以功是标量。两个矢量的矢积记作c＝a×b，读作“a叉乘b”，所得的积仍为矢量，其方向垂直于矢量a、b所决定的平面，可用右手螺旋定则判定。

从功的一般公式可以得出有外力作用于物体，物体在力的方向上发生位移是做功的两个要素。但有时物体受到一个力作用后，虽在这个力的方向上有位移，但这个力的作用点没有发生位移，这个力也是不做功的。例如轮子在水平面上做纯滚动时，轮缘与水平面的接触处没有滑动，轮子虽有位移，但轮缘与水平面间的摩擦力却没有做功，所以严格的说法是：功的大小等于力和其作用点位移的标积。

功的一般公式W＝Fscosθ只适用于恒定的外力，弹簧的弹力F＝－kx，它是一个方向与位移始终在同一直线上、大小与形变量成正比的力，所以在弹簧的弹性限度内，弹簧的弹力所做的功应该用一段位移中的平均弹力来计算。例如当弹簧由压缩后的长度l_b伸展到长度为l_a的过程中，弹力对外所做的功即应为

W＝（F_a＋F_b）（l_a－l_b）/2 ＝kl_a²/2－kl_b²/2;

当物体做曲线运动，所受力F又是变力时，就更不能用上述功的一般公式来计算功的大小，而必需用积分来处理了。积分处理的结果可以汪明，当物体做曲线运动，所受外力与力的作用点的径迹如果处处垂直时，这个外力是不做功的。例如向心力对做圆周运动的物体不做功。这一结论跟功的一般公式W＝F•s＝Fscosθ中，θ＝90°，W＝0是一致的。

2．功率及其单位

功率是描述物体做功快慢的物理量，它的定义是物体在单位时间内所做的功，或者功对时间的变化率。假设在Δt时间内完成了ΔW的功，则在这段时间内的平均功率是P＝ΔW/Δt 。若Δt趋近于零，则某时刻的瞬时功率为

P＝lim_Δt→0ΔW/Δt ＝Fcosθds/dt ＝Fvcosθ

即瞬时功率的大小等于力和速度的标积，也就是等于力在物体运动方向上的分量和物体运动瞬时速度的乘积。上式表明机器在功率一定时，速度小，力就大，像一条牛拉车一样；而速度大，力就小，像一匹马拉车一样。工程技术上把这一特性形象地称为“牛马特性”。

功率的单位为瓦特，这是为了纪念瓦特（1736—1819）对当时的蒸汽机作出重大改进而命名的。在英、美各国工程上还使用“马力”作为功率的单位，1马力＝735W。据说“马力”是瓦特本人首先提出的：作为动力来看，一匹马所发出的功率，可以作为功率的单位。但是实际上一匹马的平均功率只有0.4～0.6马力，而且“马力”也很容易使人误解为力的单位。由于“马力”不是我国法定计量单位，课本中未作介绍。

3．势能的特征

势能又称位能，是物质系统由于各物体之间（或者物体内各部分之间）存在相互作用而具有的能量。系统势能的大小是由各相互作用的物体问的相对位置所决定的，因此势能具有下列一些特征：

（1）势能是系统所共有的，不应把它看作属于某一个物体的。重力势能是属于重物和地球组成的系统的；弹性势能是属于弹性体组成的系统的。平时我们讲某物体的重力势能只是为了叙述上的方便，其实是不够严格的。

（2）能够引入势能概念的系统中，它所属的各物体间只存在相互作用的保守力。重力和弹性体发生弹性形变时产生的弹性力都是保守力。保守力做功只取决于起点和终点的位置，而与力作用点移动的路径无关。例如重力G和弹簧弹力F所做的功就分别是

W_G＝mgh₁－mgh₂和W_F＝kx₁²/2－kx₂²/2，

都只与起始和终止位置有关。所以在重力和弹力存在的系统里，能够分别引入重力势能和弹性势能的概念。而某些力（例如摩擦力）做功就与力作用点移动的路径有关，因此存在这些力的系统就不能引入与这些力相应的势能概念。

（3）从以上式子中我们还可以看出：系统在始、末位置间存在的势能差可以用保守力做的功来量度。所以势能差是有其绝对意义的，而系统的势能却只有相对意义。我们平时称某物体具有多大的势能，总是相对于我们选定的某一个系统的势能为零的位置而言的。例如对重力势能，通常选定地球表面处为零势能；对弹簧的弹性势能，通常选定弹簧无形变时为零势能。

4．功能原理

能有机械能、内能、化学能、核能等多种形式。能的多种形式也是可以相互转化的。机械能和其他形式能的转化关系可以用功能原理来表述。

功能原理把适用于单个物体的动能定理（W＝mv₂²/2－mv₁²/2）引伸到物体组成的系统。以存在相互作用的物体系统为研究对象，来探讨功与能之间的关系，并加深对功、能概念的认识。对于上述物体系统来说，作用力可以区分为外力和内力。外力是指系统外其他物体对系统内各物体的作用力，内力则指系统内各物体间的相互作用力。内力又可分为保守内力和非保守内力（包含耗散力）。因此对于系统来说，功W应该包括外力所做的功与内力所做的功之和，即

W_外力＋W_保守内力＋W_{非保守内力}＝E_k2－E_k1。

我们已经知道，保守内力所作的功可以用系统势能的减少来表示，即

W_保守内力＝－（E_p2－E_p1），

代入上式即得

W_外力＋W_{非保守内力}＝（E_k2＋E_p2）－（E_k1＋E_p1）。

用E来表示系统的总机械能，上式就可以改写成

W_外力＋W_{非保守内力}＝E₂－E₁。

这就表明系统从状态1变到状态2时，它的机械能的变化等于系统外力的功与非保守内力的功之和。这一表述就称为系统的功能原理。功能原理进一步显示了功是能量转化的量度。当W_外力＋W_{非保守内力}＝0时，E₂＝E₁，就是说系统只有保守内力做功时，机械能是守恒的；当W_外力＋W_{非保守内力}＞0时，E₂＞E₁，就是说外力或者非保守内力（例如系统内爆炸冲力）对系统所做总功是正功时，系统的机械能增大；W_外力＋W_{非保守内力}＜0时，E₂＜E₁，就是说外力或非保守内力（例如系统内的滑动摩擦力）对系统所做总功是负功时，系统的机械能减少。显然在后两种情况下，系统的机械能与外界发生了传递，或者与其他形式能发生了转化。事实证明，在系统的机械能转化为其他形式能时，必然有等值的其他形式能增加；反之，就必然有等值的其他形式能减少。而系统的机械能和其他形式能的总和仍是恒量，也就是说能量是不会凭空消失，也不能创生的，只能从一种形式转化为另一种形式，这个结论就是能量守恒定律。功能原理在基础型教材中不作介绍。

发布时间：2010/4/6 下午1:40:31  阅读次数：4441