谈电功表达式W=IUt的推导和理解

重庆清华中学 李力 选自《物理教师》2009年第7期

近来笔者在听课和教研交流活动中，发现大多数物理教师对电功表达式的推导过程及其涵义存在错误的认识，学生也学得稀里糊涂。物理教学切忌“以其昏昏，使人昭昭”，因此有提出来讨论和澄清的必要。

人教版的教材中推导过程如下…：“电流通过一段电路时，自由电荷在电场力作用下发生定向移动，电场力对自由电荷做功。设一段电路两端的电压为U，通过的电流为I。在时间t内通过这段电路任一横截面的电荷量为q＝It（如图1所示），这相当于在时间t内将电荷从这段电路的一端移动到另一端。从上一章讲的可知，电场力所做的功W＝qU，而q＝It。所以W＝IUt。”

与人教版教材配套的教师教学用书上还专门作了说明：“在推导电功的公式时，应当注意说明，在时间t内，只是相当于把电荷q由电路的一端移动到另一端，这就跟把电荷q直接由一端移动到另一端，效果是一样的，即所做的功相同。”

显然教材采取的是一种等效的推导方法。不少教师却错误地认为，在时间t内电荷量为q＝It的自由电荷正好从左端移到右端。我们不妨作一估算，设横截面积为1.0mm²的铜导线中通过1.0A的电流，铜在单位体积内的自由电子数为8.5×10²⁸m^-3，根据电流的微观表达式I＝nevS可以算出自由电子的定向移动速率为7.4×10^-5m/s，这个速率是相当小的。假设取长1m的这种导线，考虑通电时间：100s，那么自由电子只定向运动了7.4×10^-3m≪1m，根本不可能从一端到另一端。其实这段电路的长度和通电时间t都是任意选取的，对于某一定的定向移动速度来说，自由电荷移动的距离与电路的长度之间没有任何逻辑上的联系。

电功的表达式可以直接地推导出来。从物理本质上看，电键一闭合，在电路中各处以大约3.0×10⁸m/s的速率建立电场，各处的自由电荷几乎同时在电场力的作用下开始做定向运动，这就形成了电流。由此可知，在一段电路上电流做的功，其实指的是电场力对这段电路上的所有自由电荷在定向移动的过程中做的总功，据此可以不用等效方法直接进行推导。

如图1所示，设这段电路长为d，横截面积为S，单位体积内自由电荷数为n，则这段电路的自由电荷总数为N＝nSd。在时间t内电场力对单个自由电荷做功w＝eEvt。所以电场力对其中所有的自由电荷做的总功W＝Nw＝nSd•eE•vt＝nevS•Ed•t＝IUt。那么，教材上的等效方法的涵义是什么呢？这正是稳恒电流的条件 的反映，它意味着一段电路中的电荷分布不随时间变化，在时间t内从电路的一端流入的电荷量q＝It，从另一端流出的电荷量也为q＝It，而两端之间的电荷分布不变，这好像两端之间的自由电荷没有移动一样，相当于电场力只把电荷量为q＝It的电荷从一端移动到另一端，这就是教材上等效方法的涵义。顺便指出，在推导流体力学的伯努利方程时，计算重力场对液柱做功（即液柱的重力势能的变化）时，也用到了这种等效方法。

参考文献：

1．人教社物理室．高中物理（必修加选修）第2册．北京：人民教育出版社，2006．139，140

2．人教社物理室．高中物理（必修加选修）教师教学用书第2册。北京：人民教育出版社，2005．123

3．赵凯华，陈熙谋．电磁学（上册）第2版．北京：高等教育出版社，1985．227

发布时间：2010/3/26 上午9:19:43  阅读次数：13247