“线速度"究竟应该怎样定义？

南京市金陵中学 晓建 选自《物理教师》2009年第7期

关于圆周运动的“线速度”概念，很多教材都是用“弧长与时间的比值”来定义。若从其物理本质上来分析，这样的定义方式其实是犯了一个根本性错误。那么，“线速度”概念究竟应该怎样定义呢？本文所做的相关研究就是针对着这一问题而展开的。

1．教材针对“线速度”概念给出的定义

在“人教版”新课标教材《物理•必修2》（2004年5月第1版P45）中，针对圆周运动的“线速度”给出了如下定义：圆周运动的快慢可以用物体通过的弧长与所用时间的比值来量度。例如在图1中，物体沿圆弧由M向N运动，某时刻t经过A点。为了描述物体经过A点附近时运动的快慢，可以从此时刻开始，取一段很短的时间Δt，物体在这段时间内由A运动到B，通过的弧长为Δl。比值Δl/Δt 反映了物体运动的快慢，把它称为线速度（linear velocity），用v表示。则

v＝Δl/Δt （1）

2．教材所定义的“线速度”存在的问题

教材所定义的“线速度”概念存在着若干问题，这里仅就其中两个最主要的问题分析如下。

（1）用“弧长与时间的比值”所定义的“线速度”不可能是矢量

教材一方面用“弧长与时间的比值”定义“线速度”，另一方面却又坚持认为“线速度”是矢量，这显然是错误的。“弧长”和“时间”都是“只有大小、没有方向”的标量，“弧长与时间的比值”怎么可能会是矢量呢？

教材为了使作为定义“线速度”的“弧长与时间的比值”这一标量变为矢量，只能硬性为其赋予方向，教材中写道：“线速度是矢量。图1中物体在A点的线速度的方向就是AB位移的方向。显然，当Δt很小时，该方向是和半径OA垂直的，即和圆弧相切。”其实，这样的描述是不确切的，“物体在A点的线速度的方向”怎么能是“AB位移的方向”呢？这样的指认岂不是把“物体在A点的线速度的方向”寄托在“时间Δt”所选取的长短上了吗——“时间Δt”所选取的长短不同，“物体在A点的线速度的方向”也就相应不同——虽然“时间Δt”很小而趋于零时“物体在A点的线速度的方向”和圆弧相切能够让我们接受与理解，但在“时间Δt”取不同值Δt₁、Δt₂、Δt₃……时，难道“物体在A点的线速度的方向”也就相应取如图2中的AB₁、AB₂、AB₃……等各个位移的各种不同方向吗？

教材在用“弧长与时间的比值”定义“线速度”的同时还进一步指出：“线速度也有平均值与瞬时值之分。如果所取的时间间隔很小很小，这样得到的就是瞬时线速度。”可见，在“时间Δt”取不同值Δt₁、Δt₂、Δt₃……时，所对应的“弧长与时间的比值”就不应该是“物体在A点的瞬时线速度”，而应该是“物体在通过AB₁、AB₂、AB₃等各段圆弧过程中的平均线速度”；相应的图2中的AB₁、AB₂、AB₃……等各个位移的各种不同方向也就不应该是“物体在A点的瞬时线速度方向”，而应该是“物体在通过AB₁、AB₂、AB₃……等各段圆弧过程中的平均线速度方向”。只是，一方面用“AB弧长与时间的比值”定义“线速度”，另一方面又将“AB位移的方向”硬性赋予“线速度”而作为其方向，这显然是不合理的。

这就是说，如果用“弧长与时间的比值”来定义“线速度”，那么“线速度”就不可能是矢量。也不应该是在一般意义上用于描述的运动的“速度”。

（2）用“弧长与时间的比值”其实并不能描述“圆周运动”的快慢

教材之所以用“弧长与时间的比值”定义“线速度”，是由于教材的编写者误认为“弧长与时间的比值”能够描述“圆周运动”的快慢，而实际上用“弧长与时间的比值”并不能描述“圆周运动”快慢。其理由分析如下。

要描述“圆周运动”的快慢，就应该了解“圆周运动”；要了解什么是“圆周运动”，就应该了解“运动”。设想：如果连“运动”是什么都没能够弄清楚，那么怎样正确描述“运动”的快慢、怎样正确描述“圆周运动”的快慢呢？关于“运动”概念其定义是：物体相对于其他物体的位置变化叫做机械运动，简称运动。既然“运动”是“位置变化”，那么“圆周运动”当然也就应该是“位置变化”，只是其“位置变化”的范围被局限在“圆周”上而已。我们说用“弧长与时间的比值”其实并不能描述“圆周运动”快慢，其本意是指：用“弧长与时间的比值”其实并不能描述被局限于“圆周”上的“位置变化”的快慢。关于这一判断，只需要用如图3所示的圆周运动的实际状况就可以给出清晰的说明：物体在半径为R的圆周上做圆周运动。自A点起经时间t转过n圈恰好又回到A点，则一方面其“位置变化”为零，另一方面按教材给出的形如（1）式的所谓“线速度”定义而得出的“弧长与时间的比值”却不为零，为

v＝2nπR/t （1′）

这就是说，用“弧长与时间的比值”其实并不能描述做“圆周运动”物体的“位置变化”的快慢，即不能描述“圆周运动”的快慢。

3．圆周运动“线速度”的正确定义方式

若能够明确对一般意义的“运动”的描述要求，则将不难给出圆周运动的“线速度”的正确定义方式。

（1）对一般意义的“运动”的描述要求

由于“运动”是“位置变化”，所以对一般意义的“运动”的描述实际上就是对“位置变化”情况的描述：针对着某一段时间，通常要求将物体“位置变化的多少”、“位置变化的快慢”和“位置变化的方向”这3种情况描述清楚，物理学中为此给出了“位移”和“平均速度”这两个矢量——用“位移的大小”描述这段时间内“位置变化的多少”、用“平均速度的大小”描述这段时间内“位置变化的快慢”、用“位移”和“平均速度”这两个矢量的方向共同描述这段时间内“位置变化的方向”；针对着某一个时刻，由于物体“位置变化的多少”必然为零而不需要另行描述，所以要求给出具体描述的就只剩下“位置变化的快慢”和“位置变化的方向”这2种情况，物理学为此又给出了“瞬时速度”这个矢量——用“瞬时速度的大小”描述这一时刻“位置变化的快慢”、用“瞬时速度的方向”描述这一时刻“位置变化的方向”。

（2）圆周运动两种“速度”的正确定义

对于“圆周运动”来说，既可以将其理解为是一般意义上的“运动”所对应的“位置变化”，又应该针对其“位置变化”被局限在“圆周”上这一重要特征而关注到其“运动”的特殊表现形式——“转动”。因此，“圆周运动”就应该有两种不同形式的快慢，即用“速度”概念所描述的“运动的快慢”和用“角速度”概念所描述的“转动的快慢”。只是为了与“角速度”的“角”字对应，通常又在“速度”概念的名称之前加上一个“线”字而称为“线速度”。圆周运动的“角速度”和“线速度”的正确定义如下：如图4所示，若物体在时间Δt内从A点沿圆弧运动到B点的过程中，物体发生的位移和半径转过的角度分别记为Δs和Δθ，则将“位移与时间的比值”和“角度与时间的比值”分别定义为“平均线速度”和“平均角速度”，即

v＝Δs/Δt 和 ω＝Δθ/Δt 。 （2）

前者表示物体从A点沿圆弧运动到B点过程中“运动的平均快慢”，后者则表示物体从A点沿圆弧运动到B点过程中“转动的平均快慢”。若对（2）式取“时间Δt趋近于零”的极限，则“平均线速度”和“平均角速度”将分别趋近于“瞬时线速度”和“瞬时角速度”，即

v＝lim_Δt→0 Δs/Δt，ω＝lim_Δt→0 Δθ/Δt （3）

前者表示物体沿圆弧运动到A点时“运动的瞬时快慢”，后者则表示物体沿圆弧运动到A点时“转动的瞬时快慢”。

4．教材错误定义“线速度”的原因分析

教材之所以给出形如（1）式的“线速度”定义，究其原因主要有如下2条。

（1）忽视了“运动”概念的准确指认而与“跑动”混淆

上述分析表明：教材之所以给出了“线速度”概念的错误定义，其中一个很重要的原因就是忽视了“运动”的本质是“位置变化”这一准确的指认，从而把“弧长与时间的比值”误认为是描述圆周运动快慢的“线速度”。其实，“弧长与时间的比值”只是描述了物体沿圆周“跑动”的快慢而并非是描述物体做圆周“运动”的快慢，“跑动”的实际情况应该由“路程”（即“弧长”）反映，而“运动”的实际效果则应该以“位移”描述。若物体沿圆周运动恰好通过一圈，则其“跑动”的实际情况是通过的“路程”等于周长；其“运动”的实际效果是发生的“位移”等于零。形如（1）式的定义实质上只是“路程与时间的比值”而只能描述做圆周运动的物体沿着圆周“跑动”的快慢，而绝不是描述做圆周运动的物体沿着圆周“运动”的快慢——即“位置变化”的快慢。

（2）受到了“匀速圆周运动”的干扰而给出了错误定义

回顾以前的中学物理教材，似乎在针对“匀速圆周运动”的“线速度”的概念就一直是沿用了形如（1）式的“弧长与时间的比值”来定义的，而本文所提及的教材之所以对“圆周运动”的“线速度”给出了形如（1）式的错误定义，看来就是受到了以前的教材中对“匀速圆周运动”的“线速度”的定义方式的干扰所致。尽管对“匀速圆周运动”和“圆周运动”来说，若将（1）式作为其“线速度”的定义式，均将同样的犯有“以标量取代矢量”的根本性错误，但相比较而言，（1）式所给出的“弧长与时间的比值”毕竟与“匀速圆周运动”的“线速度”总还是有一些关联，而与“圆周运动”的“线速度”则没有任何关联。

笔者从教以来多次针对“匀速圆周运动”的“线速度”实施教学，教学过程中相应的处理通常把握了如下所述的几个要点：

①用于描述“匀速圆周运动”的“线速度”其实就是用于描述一般意义上的“运动”的“速度”。

②既然“线速度”就是“速度”，那么就应该借助于“位移”而给出定义。

③用“位移与时间的比值”给出的是形如（2）式的“匀速圆周运动”的“平均线速度”定义式，“平均线速度”的大小比教材上所给出的形如（1）式的“弧长与时间的比值”要小。

④针对“匀速圆周运动”的“平均线速度”取“时间Δt趋近于零”的极限，则将获得形如（3）式的“匀速圆周运动”的“瞬时线速度”定义式，“瞬时线速度”的大小与教材上所给出的形如（1）式的“弧长与时间的比值”相等。

⑤一方面由于在取“时间Δt趋近于零”的极限时相应的“弦长”与“弧长”间已经没有差别，另一方面由于“匀速圆周运动”具备着“任意相等的时间内通过的弧长都相等”的特征，所以形如（1）式的“弧长与时间的比值”其物理本质就应该被理解为是“匀速圆周运动”的“瞬时线速度”的大小。

⑥综合上述要点可以判断：“匀速圆周运动”的“平均线速度”应由（2）式定义；“匀速圆周运动”的“瞬时线速度”应由（3）式定义；教材所给出的（1）式绝对不是“匀速圆周运动”的“线速度”定义式，更不是“圆周运动”的“线速度”定义式，而其物理意义只能被理解为是“匀速圆周运动”的“线速度”大小的计算式。

由此看来，教材之所以受到“匀速圆周运动”的“线速度”定义方式的干扰而针对“圆周运动”的“线速度”给出（1）式所示的错误定义，实在是由于没有能够领悟到上述要点之故。希望此文能够对教材的建设、乃至对相应的教学起到一点积极的作用。

发布时间：2010/3/12 上午10:05:23  阅读次数：18920