万有引力定律和库仑定律类比研究

江西赣县中学 廖洪忠 选自《物理教学》2009年第6期

摘要：本文以万有引力定律和库仑定律为例，说明两者之间如何以类比方法为动力，互相启迪，探索前进的。

关键词：万有引力定律库仑定律，电磁场，引力场

类比方法也称类比推理方法，它是根据两个对象的某些属性相同，推出它们的其它属性也可能相同的一种逻辑推理方法。虽然类比推理是一种或然性推理，其结论是否真实还待实践证明，但它是一种最富有创造性的推理方法，在物理学的发展中起着积极的推动作用。

一、从类比中发现库仑定律

1686年牛顿以开普勒三定律为实验基础，通过数学推导提出了著名的万有引力定律，其数学表达式为：

F＝Gm₁m₂/r²

从此定律出发，通过积分计算得到一个重要结果；一密度均匀的球壳，对其内部质点的引力为零。

1755年，美国物理学家富兰克林发现放在绝缘架上的带电银质桶内表面不存在电荷，并且在此桶内，用丝线吊住的直径约为一英寸的软木球不受到电的吸引作用。

大约十年后，富兰克林将上面这个“奇怪的事实”写信告诉他的朋友普利斯特里。1767年普利斯特里核实了富兰克林的实验，并以非凡的洞察力领悟到从上述“奇怪的事实”可以得到电力反平方定律。他说，当富兰克林的软木球放在很深的金属桶内时，没有电力作用在这个球上，这个事实是与没有万有引力作用于物质球壳内部的质点上这个事实相类似的。由于万有引力服从反平方定律，也许电力也服从反平方定律。

1785年，在上述实验事实和推测的启发下，库仑进一步用扭秤对点电荷之间的引力和斥力作了定量的测定，得到库仑定律，其数学表达式为：

F＝kq₁q₂/r²

二、万有引力和库仑力的类同处

万有引力定律和库仑定律在形式上极其相似，这种形式上的相似决定了万有引力和库仑力具有一系列类同的性质。

（1）万有引力定律和库仑定律分别适用于质点和点电荷。

（2）万有引力和库仑力都是场力。电荷间相互作用的库仑力是通过它们各自产生的电场来传递的；而物体间相互作用的万有引力是通过它们各自产生的引力场来进行的。电场和引力场都是物质存在的一种形式，其基本特性之一是对放在其中的电荷和物体有力的作用，其强度可以分别用电场强度E＝F/q 和引力场强度g＝F/m 来表示。

（3）一密度均匀的球壳对球外一质点的引力犹如它的所有质量都集中在它的球心时的引力；而对球壳内的质点的引力为零。

电荷均匀分布的球壳形带电体对球壳外一点电荷的库仑力犹如它的所有电量都集中在它的球心时的库仑力，而对球壳内点电荷的库仑力为零。

（4）万有引力和库仑力都是有心力。在惯性参照系中受万有引力（或库仑力）作用的运动质点（或运动电荷）对力心的角动量守恒。质点（或电荷）始终在通过力心的某个平面中运动，并且由力心作出的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。

（5）万有引力和库仑力都是保守力，它们对质点或电荷所作的功只与质点或电荷的初末位置有关，而与由起点到终点的运动路径无关。在质点的引力场中，引力势

φ＝－GM/r

在点电荷的电场中，电势

U＝kQ/r

在万有引力作用下的质点动能和引力势能总和守恒；在库仑力作用下的电荷动能和电势能总和守恒。

（6）万有引力和库仑力都是平方反比力，质点（或点电荷）在平方反比力作用下的运动轨迹是圆锥曲线。

质点（或点电荷）的运动轨迹到底是圆锥曲线中的椭圆、抛物线，还是双曲线，则是由如下表所示的质点（或点电荷）所具有的总能量决定的：

三、“2”的思考

万有引力定律和库仑定律都是以力与距离r的2次方成反比的形式出现的，正是这个“2”使我们宇宙中万物，小至原子，大到天体，各就各位，井然有序。

以库仑定律为例，我们知道：

（1）电场的强弱可以用电场线的疏密来描述。依库仑定律得到点电荷的场强

E＝kq/r²

（2）我们把穿过某一闭合曲面的电场线的条数称为通过该闭合曲面的电通量，其数学表达是

∮E•dS

（3）根据静电力与距离r的2次方成反比的库仑定律可以得到高斯定律：

∮E•dS＝4πkq

从高斯定律可知，对于一个包含等量正顶电荷体系的闭曲面，穿过它的电通量为零，没有净电场线（流进闭曲面和流出闭曲面的电场线之差）穿过闭曲面，从电学的性质讲，它是稳定的。例如，氢原子的原子核中只有一个带正电的质子，所以核外只有一个带负电的电子才能组成稳定结构。其它各种元素的原子无不如此。

倘如自然界的静电规律不符合库仑定律，例如静电力不与距离的2次方成反比，而是与距离的2.1次方成反比，则上述的一切都要反过来书写，今日宇宙中的一切都将面目全非。同理，我们可以推断，万有引力定律中距离r的指数也一定是“2”，而不可能是其它任何与2接近的数。

万有引力定律和库仑定律各自都有其坚实的实验基础。万有引力定律最有力的实验证明来自天文观测：基于牛顿引力理论的天体力学预言了海王星和冥王星的存在及其运行位置，并被准确地观测到。在实验室里验证万有引力定律始于1798年卡文迪许测定引力常数G的实验，后来坡印亭和波依斯于19世纪对该实验作了重大改进。1909年厄缶设计了一个测量引力的精确度达到十亿份之五的仪器。1964年迪克和其协作者报导了厄缶实验的改进情况，他们将实验精确度又提高了数百倍。

历史上对库仑定律的检验是用ε表征的，它的定义是：

F＝kq₁q₂/r^2+ε

其中ε表征了电的相互作用力对反平方定律的偏离程度。到目前为止，检验库仑定律的实验所确立的最好上限是；ε≤6×10-16。

表2 历史上各次实验的结果

四、从电磁场到引力场

在法拉第之前，人们认为物体之间的万有引力和电荷之间的库仑力都是一种“超距作用”，这种相互作用以无限大速度在两体之间传递。法拉第最早由实验证实：不相接触的物体间的相互作用不是直接传递的，而是通过中间的介质以有限的速度传递。这种形式的相互作用是“场”的概念的起源。过了几十年，英国物理学家麦克斯韦进一步从理论上对电磁场作了深入研究，提出了著名的麦克斯韦方程组。从此，人类对电磁场本质的认识突飞猛进，迄今，在人类对自然界基本相互作用的认识中，认识最完备、最深入，应用也最广泛的是电磁相互作用。对电磁相互作用的深刻认识，反过来又引导人们去进一步探索引力相互作用的本质，通过类比了解引力场的方方面面。

（1）引力场的本质

电磁理论研究表明，电磁场是一种客观存在，是物质存在的一种形式。与任何实物都是由基本粒子构成的一样，电磁场也是由基本粒子构成的。构成电磁场的基本粒子是光子。两个带电粒子间的电磁力是通过交换光子来传递的。譬如说，一个电子放出一个光子，这个光子又被另一个电子吸收，这两个电子之间便产生了电磁力。电磁力的这种传递方式可以用图1来描写：它就像篮球场上两名运动员，一边向前奔跑，一边彼此传球一样。根据这个图象所计算的电子碰撞后飞行方向的分布，与实验取得了惊人的符合。以此类推，人们认为引力场也是物质存在的一种普遍形式，并假设引力场是由“引力子”所构成。两个质点之间引力作用的本质是它们不断交换引力子的结果。

（2）探测引力波

麦克斯韦电磁理论指出：电荷的加速运动或振荡引起的扰动会向四周传播，形成电磁波；电磁波是横波，其传播速度等于光速。类比使人们推想：作加速运动的物质系统向外辐射引力波；引力波也是横波，也以光速向外传播。1916年爱因斯坦在他的广义相对论中首次预言了这种引力波的存在。它的强度与物体的质量和加速度成正比。按此理论计算，一般的各种引力辐射源的辐射功率不够大，如蟹状星云中的脉冲星NP-532的辐射功率约10³⁸尔格/秒，且距离地球遥远，因此检验一般天体发出的引力辐射是很困难的。只有巨大星体的引力坍缩、超新星爆发或物质集团被黑洞吸积等过程才有可能发出在地球上可被观测到的引力辐射。第一位设计检测引力波的实验是J•韦伯。他从1960年就开始引力波检测实验，并于1969年宣布已检测到从银河系中心发来的波长为320公里的引力波，但是至今还没有其他人用同样的实验检测到这一引力波。1974～1978年间，J•泰勒对脉冲双星PSR1913+16的观测，被认为是检测到引力波的定量证据。现在普遍认为引力波是存在的，我国也开始了引力波检测的实验研究。

（3）寻找负物质

库仑定律中的q和万有引力定律中的m是两个相对应的物理量，库仑力有引力和斥力两种，而在万有引力场中，力总是吸引力。这个现象是与我们知道的物体所带电荷有正、负两种，而物体的质量（表观上）却只有一种这个事实相对应的。在电荷q和质量m的类比中。很自然地会提出这样一个问题：自然界中是否存在着“负物质”？1992年，厄阜等人进行了细致的实验，试图找出物体的重力加速度值是随不同材料（如不同物质或不同化学结构）而不同。当然实验结果表明这种差异是非常微小的，大约有1％的变化。一般物理学家认为，厄阜实验并没有表明什么新情况。但是1986年1月6日美国人菲施巴赫等在《物理学评论快报》上发表文章，坚持认为厄阜实验已表明不同物质、不同化学结构的物体的重力加速度是不同的。更为吃惊的是，他们认为造成这种重力加速度值偏小的原因是：地球和物体之间除引力之外还存在微小的斥力，它只在两物体间距离小于200米时才表现出来。这种力可能是除了人类已知的四种力之外的第五种自然力。开始称这种斥力为“超电荷力”，后来美国正式命名它为“超负载力”。人们猜测，超负载力的发现是与负物质的存在相连系的。从1957年英国科学家H•Bondi（稳恒态宇宙论的创始人）第一个探讨负物质开始，至今还不能从逻辑上否定物质的存在。但是，如果它真的存在，其表现出来的行为将是十分奇特的。

五、未成功的尝试

在氢原子中，电子与核之间的库仑引力是万有引力的10³⁹倍！虽然这两种力的大小在着如此巨大的差别，但是库仑定律和万有引力定律从形式到内容的相似不断地诱导人们去探求这两种自然力的统一。

早在1850年，法拉第就试图用实验证明引力和电力的关系。虽然结果是失败了，可他仍然坚信它们之间有联系。他在一篇论文中写到：“现在我暂时结束我的实验，实验的结果是否定的。这并不能动摇我对引力和电力之间的存在着某种关系的强烈感觉，虽然实验并没有提供这种关系存在的证明。”

从理论上研究电磁场和引力场的统一始于爱因斯坦及魏耳。在广义相对论的初期，人们只认识到自然界中有引力和电磁力，引力场反映了时空的几何结构，而电磁场却与时空的几何结构没有关系。由于引力场理论几何化的极大成功，爱因斯坦和魏耳及其他物理学家企图把电磁场也几何化，从而可以统一解决整个物理学问题。在统一场论的研究中，有时候爱因斯坦觉得好象已经抓到了引向解决问题的线索。1945年11月，他在给英费尔德的信中写到：“我想我是发现了引力和电力相互间是怎样联系起来的，虽然离开物理学的肯定还很远。”可是，直到1955年爱因斯坦逝世时，统一电磁力和引力的工作仍旧没有取得成功。

发布时间：2010/1/27 下午12:59:00  阅读次数：14396