杨氏双缝干涉条纹间距到底是不是相等的?

海军航空工程学院 李磊 梁吉峰 选自《物理教师》2008年第11期

在杨氏双缝干涉实验中,在现行的高中物理教科书中得出相邻的明纹(或者暗纹)中心间距为:\(\Delta x = \frac{L}{d}\lambda \),其中 L 为双缝与屏的间距,d 为双缝间距,对单色光而言,其波长 λ 为定值,所以我们得出的结论是干涉图样为等间距的一系列明暗相同的条纹,但是在现行的高中物理教科书中所给的干涉条纹的照片却并非如此,如图 1。我们可以看到只是在照片中央部分的干涉条纹是等间距的,但是在其边缘部分的条纹的间距明显与中央部分的条纹间距不同。问题到底出在哪里呢?

图1

首先我们来看现行的教科书上对于杨氏双缝干涉的解释,如图 2。

图2

设定双缝 S1、S2 的间距为 d,双缝所在平面与光屏P平行。双缝与屏之间的垂直距离为 L,我们在屏上任取一点 P1,设定点 P1与双缝 S1、S2 的距离分别为 r1 和 r2,O 为双缝 S1、S2 的中点,双缝 S1、S2 的连线的中垂线与屏的交点为 P0,设 P1 与 P0 的距离为 x,为了获得明显的干涉条纹,在通常情况下 Ld,在这种情况下由双缝 S1、S2 发出的光到达屏上 P1 点的光程差 Δr 为

\({S_2}M = {r_2} - {r_1} = d\sin \theta \)     (1)

其中 θ 也是 OP0 与 OP1 所成的角。因为 d≪L,θ 很小,所以

\(\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{x}{L}\)    (2)

因此\(\Delta r \approx d\sin \theta \approx d\frac{x}{L}\)。

当\(\Delta r \approx d\frac{x}{L} = \pm k\lambda \)时,屏上表现为明条纹,其中k=0,1,2,……, (3)

当\(\Delta r \approx d\frac{x}{L} = \pm (k + \frac{1}{2})\lambda \)时,屏上表现为暗条纹,其中是k=0,1,2,……。 (3′)

我们继续算得光屏上明条纹和暗条纹的中心位置。当\(x = \pm k\frac{L}{d}\lambda \)时,屏上表现为明条纹,其中k=0,1,2,…。 (4)

当\(x = \pm (k + \frac{1}{2})\frac{L}{d}\lambda \)时,屏上表现为暗条纹,其中k=0,1,2,…。 (4′)

我们还可以算出相邻明条纹(或者暗条纹)中心问的距离为

\(\Delta x = {x_{k + 1}} - {x_k} = \frac{L}{d}\lambda \)    (5)

至此我们得出结论:杨氏双缝干涉条纹是等间距的。

问题就在于以上的推导过程中,我们用过两次近似,第1次是在运用公式Δrr2r1dsinθ的时候,此式近似成立的条件是∠S1P1S2很小,因此有S1M⊥S2P1,S1M⊥OP1,因此∠P0OP1=∠S2S1M,如果要保证∠S1P1S2很小,只要满足dL即可,因此Δrdsinθ是满足的。

第2次近似是因为dLθ很小,所以sinθ≈tanθ。下面我们通过表1来比较sinθ与tanθ的数值。

表1

θ
sinθ 0.017452 0.034899 0.052359 0.069756 0.087155 0.104528
tanθ 0.017455 0.034920 0.052407 0.069926 0.087488 0.105104
θ 10° 11°  
sinθ 0.121869 0.139173 0.156434 0.173648 0.190808  
tanθ 0.122784 0.140540 0.158384 0.176326 0.194380  

从表1中我们可以看出当θ=6°时,\(\frac{{\tan \theta - \sin \theta }}{{\sin \theta }}\) ≈0.6%。因此当θ≥6°时,相对误差就超过了0.6%,因此我们通常说sinθ=tanθ成立的条件是θ≤5°,当θ>5°时,sinθ≈tanθ就不再成立。而在杨氏双缝干涉实验中,θ很小所对应的条件应该是xL,这应该对应于光屏上靠近P0的点,在此种情况下上述的推导过程是成立的,干涉条纹是等间距的。

而当x较大时,也就是光屏上离P0较远的点所对应的θ角也较大,当θ>5°时,sinθ≈tanθ就不再成立,上述推导过程也就不完全成立了,(2)式就不能再用了。

此时\(\sin \theta = \frac{x}{{\sqrt {{L^2} + {x^2}} }}\)

所以,\(\Delta r = d\sin \theta = \frac{{dx}}{{\sqrt {{L^2} + {x^2}} }} = \pm k\lambda \),屏上表现为明条纹,其中k=0,1,2,…,

\(\Delta r = d\sin \theta = \frac{{dx}}{{\sqrt {{L^2} + {x^2}} }} = \pm (k + \frac{1}{2})\lambda \),屏上表现为暗条纹,其中k=0,1,2,…。

因此可以得到光屏上明纹或者暗纹的中心位置为\(x = \pm \frac{{Lk\lambda }}{{\sqrt {{d^2} - {k^2}{\lambda ^2}} }}\) ,屏上表现为明条纹,其中k=0,1,2,…,

\(x = \pm \frac{{L(k + \frac{1}{2})\lambda }}{{\sqrt {{d^2} - {{(k + \frac{1}{2})}^2}{\lambda ^2}} }}\),屏上表现为暗条纹,其中k=0,1,2,…。

则相邻的明条纹中心间距为

Δxxk+1明xk明=\(\frac{{L(k + 1)\lambda }}{{\sqrt {{d^2} - {{(k + 1)}^2}{\lambda ^2}} }} - \frac{{Lk\lambda }}{{\sqrt {{d^2} - {k^2}{\lambda ^2}} }}\)

邻暗条纹中心间距为

Δxxk+1暗xk暗=\(\frac{{L(k + 1 + \frac{1}{2})\lambda }}{{\sqrt {{d^2} - {{(k + 1 + \frac{1}{2})}^2}{\lambda ^2}} }} - \frac{{L(k + \frac{1}{2})\lambda }}{{\sqrt {{d^2} - {{(k + \frac{1}{2})}^2}{\lambda ^2}} }}\)

由上式可见相邻的明、暗条纹就不再是等间距的了,这也正如教科书上的照片所示的条纹分布。

下面我们通过一个实例来定量计算等间距条纹的条数。

例1:用氦氖激光器(频率为4.74×1014Hz)的红光照射间距为2mm的双缝时,试求我们能观察到的等间距的条纹的条数。

解:因为\(\Delta r = d\sin \theta = k\lambda \),所以

\[k = \frac{{d\sin \theta }}{\lambda } = \frac{{\nu d\sin \theta }}{c} = \frac{{4.74 \times {{10}^{14}} \times 2 \times {{10}^{ - 3}} \times \sin 5^\circ }}{{3.0 \times {{10}^8}}} \approx 2.8\]

考虑到光屏的两侧,我们最终能够在光屏上观察到的等间距的条纹大致为5条。

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发布时间:2009/6/26 上午9:15:50  阅读次数:29650

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