杨氏双缝干涉条纹间距到底是不是相等的？

海军航空工程学院 李磊 梁吉峰 选自《物理教师》2008年第11期

在杨氏双缝干涉实验中，在现行的高中物理教科书中得出相邻的明纹（或者暗纹）中心间距为：\(\Delta x = \frac{L}{d}\lambda \)，其中 L 为双缝与屏的间距，d 为双缝间距，对单色光而言，其波长 λ 为定值，所以我们得出的结论是干涉图样为等间距的一系列明暗相同的条纹，但是在现行的高中物理教科书中所给的干涉条纹的照片却并非如此，如图 1。我们可以看到只是在照片中央部分的干涉条纹是等间距的，但是在其边缘部分的条纹的间距明显与中央部分的条纹间距不同。问题到底出在哪里呢？

首先我们来看现行的教科书上对于杨氏双缝干涉的解释，如图 2。

设定双缝 S₁、S₂ 的间距为 d，双缝所在平面与光屏 P 平行。双缝与屏之间的垂直距离为 L，我们在屏上任取一点 P₁，设定点 P₁与双缝 S₁、S₂ 的距离分别为 r₁ 和 r₂，O 为双缝 S₁、S₂ 的中点，双缝 S₁、S₂ 的连线的中垂线与屏的交点为 P₀，设 P₁ 与 P₀ 的距离为 x，为了获得明显的干涉条纹，在通常情况下 L ≫ d，在这种情况下由双缝 S₁、S₂ 发出的光到达屏上 P₁ 点的光程差 Δr 为

\({S_2}M = {r_2} - {r_1} = d\sin \theta \)     （1）

其中 θ 也是 OP₀ 与 OP1 所成的角。因为 d ≪ L，θ 很小，所以

\(\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{x}{L}\)    （2）

因此 \(\Delta r \approx d\sin \theta \approx d\frac{x}{L}\)。

当 \(\Delta r \approx d\frac{x}{L} = \pm k\lambda \)时，屏上表现为明条纹，其中 k ＝ 0，1，2，……， （3）

当 \(\Delta r \approx d\frac{x}{L} = \pm (k + \frac{1}{2})\lambda \)时，屏上表现为暗条纹，其中是 k ＝ 0，1，2，……。 （3′）

我们继续算得光屏上明条纹和暗条纹的中心位置。当 \(x = \pm k\frac{L}{d}\lambda \) 时，屏上表现为明条纹，其中 k ＝ 0，1，2，…。 （4）

当 \(x = \pm (k + \frac{1}{2})\frac{L}{d}\lambda \)时，屏上表现为暗条纹，其中 k ＝ 0，1，2，…。 （4′）

我们还可以算出相邻明条纹（或者暗条纹）中心问的距离为

\(\Delta x = {x_{k + 1}} - {x_k} = \frac{L}{d}\lambda \)    （5）

至此我们得出结论：杨氏双缝干涉条纹是等间距的。

问题就在于以上的推导过程中，我们用过两次近似，第 1 次是在运用公式 Δr＝ r₂－r₁ ≈ dsinθ 的时候，此式近似成立的条件是 ∠S₁P₁S₂ 很小，因此有 S₁M⊥S₂P₁，S₁M⊥OP₁，因此 ∠P₀OP₁＝∠S₂S₁M，如果要保证 ∠S₁P₁S₂ 很小，只要满足 d≪L 即可，因此 Δr≈dsinθ 是满足的。

第 2 次近似是因为 d≪L，θ 很小，所以 sinθ ≈ tanθ。下面我们通过表 1 来比较 sinθ 与 tanθ 的数值。

表1

从表 1 中我们可以看出当 θ＝6° 时，\(\frac{{\tan \theta - \sin \theta }}{{\sin \theta }}\)  ≈ 0.6%。因此当 θ ≥ 6° 时，相对误差就超过了 0.6%，因此我们通常说 sinθ ＝ tanθ 成立的条件是 θ ≤ 5°，当 θ ＞ 5° 时，sinθ ≈ tanθ 就不再成立。而在杨氏双缝干涉实验中，θ 很小所对应的条件应该是 x ≪ L，这应该对应于光屏上靠近 P₀ 的点，在此种情况下上述的推导过程是成立的，干涉条纹是等间距的。

而当 x 较大时，也就是光屏上离 P₀ 较远的点所对应的 θ 角也较大，当 θ ＞ 5° 时，sinθ ≈ tanθ 就不再成立，上述推导过程也就不完全成立了，（2）式就不能再用了。

此时 \(\sin \theta = \frac{x}{{\sqrt {{L^2} + {x^2}} }}\)

所以，\(\Delta r = d\sin \theta = \frac{{dx}}{{\sqrt {{L^2} + {x^2}} }} = \pm k\lambda \)，屏上表现为明条纹，其中 k ＝ 0，1，2，…，

\(\Delta r = d\sin \theta = \frac{{dx}}{{\sqrt {{L^2} + {x^2}} }} = \pm (k + \frac{1}{2})\lambda \)，屏上表现为暗条纹，其中 k ＝ 0，1，2，…。

因此可以得到光屏上明纹或者暗纹的中心位置为 \(x = \pm \frac{{Lk\lambda }}{{\sqrt {{d^2} - {k^2}{\lambda ^2}} }}\) ，屏上表现为明条纹，其中 k ＝ 0，1，2，…，

\(x = \pm \frac{{L(k + \frac{1}{2})\lambda }}{{\sqrt {{d^2} - {{(k + \frac{1}{2})}^2}{\lambda ^2}} }}\)，屏上表现为暗条纹，其中 k ＝ 0，1，2，…。

则相邻的明条纹中心间距为

Δx_明 ＝ x_k＋1明 一 x_k明 ＝ \(\frac{{L(k + 1)\lambda }}{{\sqrt {{d^2} - {{(k + 1)}^2}{\lambda ^2}} }} - \frac{{Lk\lambda }}{{\sqrt {{d^2} - {k^2}{\lambda ^2}} }}\)

邻暗条纹中心间距为

Δx_暗 ＝ x_k＋1暗 一 x_k暗 ＝ \(\frac{{L(k + 1 + \frac{1}{2})\lambda }}{{\sqrt {{d^2} - {{(k + 1 + \frac{1}{2})}^2}{\lambda ^2}} }} - \frac{{L(k + \frac{1}{2})\lambda }}{{\sqrt {{d^2} - {{(k + \frac{1}{2})}^2}{\lambda ^2}} }}\)

由上式可见相邻的明、暗条纹就不再是等间距的了，这也正如教科书上的照片所示的条纹分布。

下面我们通过一个实例来定量计算等间距条纹的条数。

例 1：用氦氖激光器（频率为 4.74×10¹⁴ Hz）的红光照射间距为 2mm 的双缝时，试求我们能观察到的等间距的条纹的条数。

解：因为 \(\Delta r = d\sin \theta = k\lambda \)，所以

\[k = \frac{{d\sin \theta }}{\lambda } = \frac{{\nu d\sin \theta }}{c} = \frac{{4.74 \times {{10}^{14}} \times 2 \times {{10}^{ - 3}} \times \sin 5^\circ }}{{3.0 \times {{10}^8}}} \approx 2.8\]

考虑到光屏的两侧，我们最终能够在光屏上观察到的等间距的条纹大致为 5 条。

发布时间：2009/6/26 上午9:15:50  阅读次数：32894