45．关于回复力

题目

做简谐运动的物体（质点）都会受到回复力F的作用，下面关于回复力F的说法中正确的是（    ）

A．回复力 F 指的是该物体受到的外力的合力

B．回复力 F 指的是该物体受到的外力的合力或其中某一个力的一个分力

C．回复力 F 的大小与位移 x 成正比

D．回复力 F 的方向与位移 x 方向相反，指向平衡位置

原解答

选项 B、C、D 正确。选项 A 多数情况都正确，但对单摆来说，其回复力 F 是重力 G 垂直于摆动半径的分力，因此选项 A 不全面。

商榷和建议

物体是否做简谐运动，其动力学判据就是回复力 F = − kx，选项 C 和 D 说的就是它，因此选项 C 和 D 正确。根据牛顿第二定律 F = ma，写成微分形式为

\[ - kx = m\frac{{{{\rm{d}}^2}x}}{{{\rm{d}}{t^2}}}\]

解此微分方程，可得 x = Acosωt，这是物体做简谐运动的运动学判据。其中的F就是物体受到的外力的合力，因此，对于做简谐运动的质点来说，受到的回复力就是它受到的外力的合力，简称合外力，选项 A 是正确的。

单摆成为这道题争议的焦点。为此先要说明单摆的运动是一种怎样的运动。

单摆是一种理想模型，它是在复摆的基础上进一步理想化的模型。我们先说明一下什么是复摆，它的运动遵循怎样的规律。

如图 1 所示是一个复摆在摆动过程中位于某一位置的示意图，G 表示它受到的重力，C 为它的重心，此时它与悬点 O 的连线偏离平衡位置的角度为 θ。

图 1  复摆

复摆可以看作一个刚体的运动，描述刚体转动的物理量与描述质点平动的物理量有如下的对应关系：

角位移 θ——位移 x

角速度 ω——速度 v

角加速度 β——加速度 a

力矩 M——力 F

转动惯量 I——质量 m

动力学方程 M = Iβ——牛顿第二定律 F = ma

做简谐运动的动力学条件 M = − kθ——F = − kx

其中转动惯量I既与物体的质量有关，也与物体质量的分布有关，具体关系表达式为 I = ∑m_ir_i²，其中 r_i 为质量 m_i 的质元离转动轴的距离。

对于如图 1 所示的复摆，其力矩 M = − Glsinθ，其中的负号表示力矩的方向为沿顺时针转动方向，与转动角位移θ的方向相反。在满足小角度的条件下，有 sinθ ≈ θ，即 M = − Glθ。

由于 G 和 l 都是恒量，因此 M ≈ − kθ，即力矩 M 与角位移 θ 成正比且方向与 θ 相反，满足做简谐运动的条件。

由于 M = Iβ，而 β = \(\dfrac{{{{\rm{d}}^2}\theta }}{{{\rm{d}}{t^2}}}\)，因此有 − kθ = I \(\dfrac{{{{\rm{d}}^2}\theta }}{{{\rm{d}}{t^2}}}\)，

解此微分方程，可得 θ = Acosωt，其中 A = θ_m，ω = \(\sqrt {\dfrac{{mgl}}{I}} \)。

复摆随时间按正弦规律变化的物理量不是位移 x 而是角位移 θ，因此，复摆在满足小角度摆动的条件下，近似是角简谐运动。

单摆可以看成特殊的复撄，如图 2 所示，它的质量完全集中在最下端，不计轻绳的形变，单摆完全可以从整体上看作一个刚体，在满足小角度摆动的条件下，它的运动可近似为角简谐运动，其运动学规律是 θ = Acosωt，其中 A = θ_m，ω = \(\sqrt {\dfrac{{mgl}}{I}} \) = \(\sqrt {\dfrac{{mgl}}{{m{l^2}}}} \) = \(\sqrt {\dfrac{g}{l}} \)。

图 2  单摆

中学阶段不讲刚体的运动，甚至连力矩的概念都不出现，因此不能这样讲解。可以把单摆中的振子（小球）单独作为研究对象，建立质点模型，但该质点做的是沿一条圆弧的曲线运动，其位移（即从平衡位置处开始到其瞬时位置处的有向线段）的方向时刻在变化着，它的运动可以看成两个分运动的叠加：一个是以轻绳上端的悬挂点 O 为圆心的变速圆周运动，另一个是以平衡位置 Oʹ 为起点的简谐运动，前者需要向心力（是方向指向圆心的变力），后者需要回复力，这样一来，说“受到的合外力是回复力”就不正确了，只能说回复力是“某一个力（重力）的一个分力”。

但这种说法有两点不妥。第一，“重力的一个分力”这种说法不明确，合力与分力是等效替代关系，一个合力可以用两个（或几个）分力替代，这两个分力共同作用的效果才与原来的合力相同，只说“一个分力”而不说“另一个分力”，是不准确的。即使改为“重力沿圆周切线方向的分力”仍然不准确，因为一个分力沿切线方向，另一个分力可以为任意方向，而另一个分力的方向不同，沿切线方向的分力的大小也就不同。因此必须说“把重力正交分解，沿切线方向的那个分力”才算准确。第二，即使明确了“把重力正交分解，沿切线方向的那个分力”，但这个分力并不指向平衡位置，因此它并不是回复力。只有当摆角 θ 很小时，那个分力的方向才近似指向平衡位置，才可近似认为是回复力。

对于做简谐运动的物体，回复力 F = − kx，这里的回复力指的就是物体所受外力的合力，简称合外力。对于单摆而言，把重力正交分解，沿圆周切线方向的分力可以近似认为是它的回复力，但这不是普遍规律，不能与做简谐运动的物体受到的回复力是它受到的合外力的说法相提并论。

发布时间：2026/11/4 9:49:08  阅读次数：15