41．关于汽车的额定功率（二）

题目

一辆小汽车质量 m = 1.5 t，发动机输出的额定功率 P = 60 kW，在水平直公路上行驶时受到的阻力 f = 3 000 N 并保持不变，它从静止开始保持发动机的输出功率等于其额定功率做变加速直线运动，其速度 v 随时间 t 的变化关系大致如图 1 所示。从 t = t₀ 时开始做速度为 v₀ 的匀速运动。

（1）求速度 v₀ 的大小。

（2）如果汽车从静止开始行驶了 Δx = 21 900 m，速度增加到 v₀，求它在做变加速运动这段时间内汽车的平均加速度。

原解答

（1）汽车做匀速直线运动时，处于平衡状态，因此有 \(\dfrac{P}{{{v_0}}}\) = f 解得

\[{v_0} = \frac{P}{f} = \frac{{60\;000}}{{3\;000}}\;{\rm{m/s}} = 20\;{\rm{m/s}}\]

（2）根据功能关系，发动机对汽车做的功等于它动能的增量与克服阻力所做的功之和，即

P·Δt = ΔE_k + f·Δx（式中 Δt 为汽车做变加速运动所用的时间）

解得

\[\Delta t = \frac{{\frac{1}{2}mv_0^2 + f\Delta x}}{P} = \frac{{\frac{1}{2} \times 1\;500 \times {{20}^2} + 3\;000 \times 21\;900}}{{60\;000}}\;{\rm{s}} = 1100\;{\rm{s}}\]

它在做变加速运动这段时间内汽车的平均加速度 \(\bar a = \dfrac{{\Delta v}}{{\Delta t}} = \dfrac{{20}}{{1\;100}}\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2} = 1.8 \times {10^{ - 2}}\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}\)。

商榷和建议

本题与前面的“关于汽车的额定功率（一）”，都涉及汽车保持额定功率不变时做变加速直线运动的问题，因此有很多共同点。由于发动机的输出功率保持不变，那么对汽车产生的驱动力则是变化的，解答这个问题的基本方程是牛顿第二定律，即

\[\frac{P}{v} - f = ma\tag{1}\]

写成微分方程形式为

\[m\frac{{{\rm{d}}v}}{{{\rm{d}}t}} = \frac{P}{v} - f\]

分离变量后得到

\[m\frac{{{\rm{d}}v}}{{P - fv}} = {\rm{d}}t\tag{2}\]

两边积分，得到

\[\left. {m\frac{1}{{{f^2}}}\left[ {P - fv - P\ln (P - fv)} \right]} \right|_{{v_1}}^{{v_2}} = \Delta t\tag{3}\]

其中，积分上限 v₂ = 20 m/s，若代入数值计算，则 P − fv₂ = 0，而 ln 0 没有意义，因此无法计算。改用很接近 v₂ 的 v₂ʹ 代替，使得 P − fv₂ʹ = 1，则可计算出 Δt = 1 099.2 s。题目给出 Δx = 21 900 m，利用功能关系计算得出 Δt =1 100 s，该值在合理的范围内，没有问题。

但汽车从静止开始保持额定功率不变的说法似可商榷。

首先，解答这个问题要用到牛顿第二定律，即前面的①式 \(\dfrac{P}{v}\) − f = ma，汽车开始运动的时刻速度为零，式中发动机对汽车的驱动力为 \(\dfrac{P}{v}\)，显然作为分母的 v 如果等于零，驱动力将无穷大，从而汽车的加速度为无穷大，这没有意义，因此这个式子不成立。

其次，汽车发动机不可能从开始运动就保持额定功率不变。

讨论汽车行驶的过程，虽然在某些问题（例如讨论汽车运动过程中速度与位移的关系等）中可以把汽车看作质点，但涉及发动机的功率等问题时，则不能简单地把汽车看成质点，因为汽车在启动过程中的“动力”不是外力而是内力。汽车启动时要先使发动机工作，以传统的汽油发动机为例，四冲程汽油机中的活塞往复运动，通过一套曲柄连杆装置把平动转化为转动，而后再通过一套更复杂的传动机构带动车轴转动，车轴转动对车轴产生一个“扭矩”，作用于车轮，车轮开始转动。如果车轮与地面没有摩擦，则车轮空转而车不能前进，即单纯的内力不能使汽车前进，必须借助地面的静摩擦力作用。由于静摩擦力阻止了车轮与地面接触点间的相对滑动，使得车轴产生向前的加速度，而车轴是与汽车整体连在一起的，因此汽车开始加速运动。

发动机对汽车的作用，可以等效为一个向前的“驱动力”（说“牵引力”不合适，因为它是内力，说汽车自己牵引自己，并不恰当），该力即为①式中的 \(\dfrac{P}{v}\)，其中的功率 P 等于发动机对汽车的驱动力与速度的乘积，驱动力的大小与“扭矩”有关，而“扭矩”与发动机的转速有关，转速太小或太大，扭矩都不能达到最大，当汽车从静止开始启动时，发动机的转速也要从零开始加速，没有可能一开始就达到较大的扭矩，更没有可能一开始输出功率就达到额定功率并保持不变。

对于电动汽车，其发动机不使用传统的内燃机而改用电动机，省去了把活塞的平动转化为曲轴转动的传动装置，而由电动机直接带动驱动轴转动，同样靠“扭矩”作用于车轴并借助地面的静摩擦力而使汽车产生向前的加速度，因此也不可能从一开始输出功率就达到额定功率并保持不变。

P = Fv 是学生应该掌握的关系式，学生也应该知道在发动机输出功率不可能无限增加的情况下，想要增大驱动力 F，常常采用减小速度 v 的办法，这在实际中有很多应用。但频繁出现“发动机的输出功率保持不变”的习题却没有必要，尤其是汽车从静止开始就保持发动机功率为额定功率的题目，更不应该出现在学生的测试卷上。

发布时间：2026/10/25 14:36:41  阅读次数：27