38．关于铁链在重力作用下的运动

题目

一根质量分布均匀的铁链全长为 l，其中的 \(\dfrac{5}{8}\) 被手平按在光滑的水平桌面上，另外的 \(\dfrac{3}{8}\) 则悬在桌边外，如图 1 所示。松开手让它从静止开始向下滑动，求铁链末端刚离开桌边时的速度。

原解答

在松开手后的运动过程中，由于铁链与水平桌面间的摩擦可以忽略，只有重力做功，因此铁链（与地球）的机械能守恒。

如图 1 所示为运动的初始状态，图 2 为铁链末端刚离开桌面的瞬间。以图 2 为末状态，把这时的铁链分为两段，上段为全长的 \(\dfrac{5}{8}\)，它即为开始时位于桌面上的部分，此时上段的重心为图中的 C₁；下段为全长的 \(\dfrac{3}{8}\)，它即为原来悬于桌边外的部分，此时下段的重心为图中的 C₂。这时铁链的速度为 v，方向竖直向下。

设整条铁链的质量为 m，末状态与初状态相比较，两段的重力势能分别减少

\[\Delta {E_{{\rm{p}}1}} = \frac{5}{8}mg \cdot \frac{5}{{16}}l = \frac{{25}}{{128}}mgl\]

\[\Delta {E_{{\rm{p2}}}} = \frac{3}{8}mg \cdot \frac{5}{8}l = \frac{{15}}{{64}}mgl\]

根据机械能守恒定律，系统减少的重力势能等于增加的动能，得到

\[\frac{{25}}{{128}}mgl + \frac{{15}}{{64}}mgl = \frac{1}{2}m{v^2}\]

解得

\[v = \frac{{\sqrt {55gl} }}{8}\]

商榷和建议

本题在解答过程中认为对铁链来说“只有重力做功”，符合机械能守恒的条件，看似合理，但经不起推敲。中学物理中所说的物体，多数情况下指的是可以看作质点的物体，当我们说“某物体的机械能守恒”时，这里的“物体”就是指可以看作质点的物体，它各处的运动情况相同，始终具有相同的速度。但是，本题中的铁链并不是这样的物体。

开始时铁链静止，松开手后，由于垂在桌边外的那段铁链受重力的作用，这部分铁链将产生向下的加速度，从而开始运动。铁链原静止在桌面上的那段，受到下面一段铁链的拉扯随之开始运动，它先沿水平方向向右运动，运动到桌边的质元由于惯性会保持原有的向右的运动状态，因此，虽然它受到右边相邻质元的向下的拉力作用，却不会立即向下运动。随着铁链逐渐下落，水平桌面上的铁链的水平速度也逐渐增大，当铁链的末端刚离开桌边的瞬间，铁链在空中的各部分大致处于如图3所示的状态，显然是不能得出原题给出的答案的。

把原题稍加改动，可能会避免前述的问题：如图4所示，在水平桌面的边缘固定一个直角形弯头，一条由细小圆环组成的质量均匀分布的铁链从弯头中穿过．其全长的 \(\dfrac{5}{8}\) 位于水平桌面上，另外 \(\dfrac{3}{8}\) 悬于下方，用手握住铁链的水平部分，使它保持静止状态。已知铁链的直径稍小于弯头的内径，铁链与水平桌面及与弯头内部的摩擦都可忽略。松开手让它向下滑动，求铁链末端刚离开桌边弯头时的速度有多大？

铁链悬垂部分在重力的作用下开始向下运动，牵引其水平部分向右运动，这些向右运动的质元经过直角弯头，受到弯头内壁的弹力作用而产生向心加速度，做圆周运动，产生切向加速度的力则由下部铁链提供，整条铁链各部分的运动速率保持相同，最后则如图 2 所示的那样，位于弯头口的正下方，呈沿竖直方向的一条直线，得到的结果仍为 \(v = \dfrac{{\sqrt {55gl} }}{8}\)。

当然，也可以不用弯头，如图 5 所示，换作在右侧增加一块沿竖直方向放置的平板，并说明平板与铁链间不计摩擦，也可以达到相同的效果。

发布时间：2026/10/19 18:50:57  阅读次数：31