37．关于轻绳从松弛到绷紧的过程

题目

在光滑水平面上，有一个质量 m₁ = 20 kg 的小车 A，通过一根几乎不可伸长的轻绳与另一个质量 m₂ = 25 kg 的拖车 B 相连接，质量 m₃ = 5 kg 的物体 C 放在拖车的平板上，物体 C 与平板间的动摩擦因数 μ = 0.20，开始时拖车 B 及 C 静止，连接 A、B 的绳未拉紧，如图 1 所示。小车 A 以 v₀ = 3 m/s 的速度匀速前进，求最终物体 C 在拖车 B 平板上移动的距离。

补充：这道题的原题应该是 1988 年上海高考压轴题。

在光滑水平面上，有一质量 m₁ = 20 千克的小车，通过一根几乎不可伸长的轻绳与另一个质量为 m₂ = 25 千克的拖车相连接。一质量 m₃ = 15 千克的物体放在拖车的平板上。物体与平板间的滑动摩擦系数为 μ = 0.20。开始时，拖车静止，绳未拉紧（如图所示），小车以 v₀ = 3 米/秒的速度向前运动。求：

（1）当 m₁、m₂、m₃ 以同一速度前进时，速度的大小；【v = 1 m/s】

（2）物体在拖车平板上移动的距离。（g 取 10 米/秒²）【Δs = 0.33 m】

原解答

题目说“在光滑水平面上”，意味着水平面与车的摩擦可以忽略不计，因此小车 A 开始阶段做匀速直线运动，直到绳被拉紧。绳拉紧瞬间，小车 A 与拖车 B 通过绳相互作用，由于题目说明连接二者的是“几乎不可伸长的轻绳”，因此相互作用时间极短，参与相互作用的由 A、B 组成的系统动量守恒（C 没有参与相互作用），设相互作用后二者的共同速度为 v₁，则满足

\[{m_1}{v_0} = ({m_1} + {m_2}){v_1}\]

得到

\[{v_1} = \frac{{{m_1}{v_0}}}{{{m_1} + {m_2}}}\]

拖车 B 开始运动后，物块 C 与拖车 B 由于存在着滑动摩擦力，则 C 与 A、B 组成的系统满足动量守恒，设最后系统的速度为 v₂，则满足

\[({m_1} + {m_2}){v_1} = ({m_1} + {m_2} + {m_3}){v_2}\]

得到

\[{v_2} = \frac{{({m_1} + {m_2}){v_1}}}{{{m_1} + {m_2} + {m_3}}} = \frac{{{m_1}{v_0}}}{{{m_1} + {m_2} + {m_3}}}\]

根据功能关系，A、B、C 组成的系统损失的机械能等于 C 在 B 的平板上滑动过程中一对相互作用的滑动摩擦力做的总功，设 C 在 B 表面滑动的距离为x，则满足

\[\mu {m_3}g \cdot x = \frac{1}{2}({m_1} + {m_2})v_1^2 - \frac{1}{2}({m_1} + {m_2} + {m_3})v_2^2\]

\[x = \frac{{({m_1} + {m_2})v_1^2 - ({m_1} + {m_2} + {m_3})v_2^2}}{{2\mu {m_3}g}}\]

代入数值计算，得 x = 0.4 m。

商榷和建议

本题值得商榷的关键点在于绳子的性质没有交代清楚。题目说连接 A、B 的是“一根几乎不可伸长的轻绳”，这里明确了两点：①绳子质量可以忽略不计；②绳子几乎不可伸长，即它的长度变化可以忽略。当然，绳子弹力的产生归根结底还是由于发生了弹性形变，只是这个形变量在我们讨论的问题中可以忽略。对于绳子，仅此两点还不够，还有一个关键问题，即绳子受力时发生的是弹性形变还是范性形变。再说具体一点，当连接 A、B 两车的绳子由松弛变为绷紧的过程，可以看作是两车通过绳子相互作用的过程，由于题目中说绳子是“几乎不可伸长的轻绳”，绳子本身的质量很小可以忽略，参与相互作用的只是绳子两端的小车 A 与拖车 B，这种相互作用可以认为历时很短，在相互作用过程中，B 上面的物体 C 来不及运动，因此可以认为它不参与相互作用。在相互作用过程中，A、B 组成的系统动量是守恒的，但系统的机械能是否守恒则无从知晓，这与绳子的“性质”有关：如果绳子是完全弹性的，则相互作用过程中系统的机械能没有损失，这种相互作用过程与“弹性碰撞”相似；如果绳子是完全范性的，则相互作用后系统将以相同的速度运动，机械能损失最大，这种相互作用过程与“完全非弹性碰撞”相似。当然，真实的绳子一般是介于上述两种情况之间的。本题的命题者可能认为世界上所有的绳子都属于后者，即在相互作用后两车即以相同的速度运动，并且学生也都与自己的看法一致，因此没有必要在题目中说明。但这显然是不对的。

有必要在题目中明确说明绳子的性质，如说明“绳子一旦绷直，A、B 两车即具有相同的速度”，或者说明“A、B 两车通过绳子相互作用的过程中，系统的机械能没有损失”，当然也可以是其他情况，但一定要明确相互作用过程中绳子的特点，否则本题是无法求解的。

类似的题目还有不少，例如下面的题目。

如图 2 所示，长为 l 的轻绳一端系于固定点 O，另一端与质量为 m 的小球连接，将小球从 O 点正下方 \(\dfrac{l}{4}\) 处，以一定的初速度水平向右抛出，经过一定时间绳被拉直，这时绳与竖直方向的夹角为 60°。以后小球以 O 为悬点在竖直平面内摆动。求：

（1）小球水平抛出时的初速度 v₀。

（2）在绳刚被拉直的瞬间，固定点 O 受到的冲量 I 的大小。

（答案：（1）v₀ = \(\dfrac{{\sqrt {6gl} }}{2}\)，（2）I = m\(\sqrt {2gl} \)）

本题精心设计，使小球沿抛物线轨迹运动，当绳刚被拉直时，小球的速度方向恰好沿绳的方向。但为什么绳一拉直小球的瞬时速度立即变为零？这与实际不符，题目也没有明示或暗示，因此本题是没有确定答案的。命题者必须要在题目中告诉读者，“在绳被拉直的瞬间，小球的速度立即减为零”。

补充：此题的原题应该是 1991 年上海高考第  29 题压轴题。

如图所示，长为 l 的轻绳一端系于固定点 O，另一端系质量为 m 的小球。将小球从 O 点正下方 l/4 处，以一定初速水平向右抛出，经一定时间绳被拉直，以后小球将以 O 为支点在竖直平面内摆动。已知绳刚被拉直时，绳与竖直线成 60° 角。求：

（1）小球水平抛出时的初速 v₀。

（2）在绳被拉紧的瞬间，支点 O 受到的冲量 I。

（3）小球摆到最低点时，绳所受的拉力 T。

【答案】

（1）v₀ = \(\dfrac{{\sqrt {6gl} }}{2}\)

（2）I = m\(\sqrt {2gl} \)

（3）T = 2mg

发布时间：2026/10/17 9:04:23  阅读次数：24