35．关于克服重力做功

题目

某同学在跳绳比赛中，1 min 跳了 120 次，每次起跳中有 \(\dfrac{4}{5}\) 的时间腾空。已知该同学质量为 50 kg，取 g = 10 m/s²。该同学在跳绳中克服重力做功的平均功率是多少？

补充：此题的原题应该来自于 1994 年上海高考。

跳绳是一种健身运动。设某运动员的质量是 50 千克，他一分钟跳绳 180 次。假定在每次跳跃中，脚与地面的接触时间占跳跃一次所需时间的 \(\dfrac{2}{5}\)，则该运动员跳绳时克服重力做功的平均功率是【75】瓦。

原解答

该同学在 1 min 时间内跳了 120次，其中约 \(\dfrac{4}{5}\) 的时间腾空，腾空的这段时间内，有一半时间该同学在上升，另一半时间在下降，可以计算出每次上升或下降的时间为

\[\Delta t = \frac{{60}}{{120}} \times \frac{4}{5} \div 2\;{\rm{s}} = 2\;{\rm{s}}\]

在这 0.2 s 时间内，人体重心上升的高度

\[\Delta h = \frac{1}{2}g \cdot \Delta {t^2} = \frac{1}{2} \times 10 \times {0.2^2}\;{\rm{J}} = 0.2\;{\rm{m}}\]

每次克服重力做功

\[{W_1} = mg \cdot \Delta h = 50 \times 10 \times 0.2\;{\rm{J}} = 100\;{\rm{J}}\]

在 1 min 时间内，克服重力做的总功

\[W = n{W_1} = 120 \times 100\;{\rm{J}} = 1.2 \times {10^4}\;{\rm{J}}\]

该同学在跳绳中克服重力做功的平均功率是

\[\bar P = \frac{W}{t} = \frac{{1.2 \times {{10}^4}}}{{60}}\;{\rm{W}} = 200\;{\rm{W}}\]

商榷和建议

首先要知道什么是“克服重力做功”。在高中物理教科书的表述中，某力对物体做负功，往往表达为“物体克服某力做功”（取绝对值）。这两种说法的意义是等同的。

本题要求的是“该同学在跳绳中克服重力做功的平均功率”，按照上面的理解，也可以说本题要求的是“该同学在跳绳中重力做负功的平均功率”，二者的意义是等同的。

跳绳是一种周期性的运动，该同学在 1 min 时间内跳了 120 次，即运动了 120 个周期，其中 \(\dfrac{4}{5}\) 的时间为腾空，另外 \(\dfrac{1}{5}\) 的时间为脚着地。如果我们忽略脚着地的 \(\dfrac{1}{5}\) 时间内重力所做的功，只需考虑腾空的那 \(\dfrac{4}{5}\) 的时间，那么这 \(\dfrac{4}{5}\) 的时间内有一半时间该同学在上升，另一半时间在下降，也就是一半时间重力做负功，另外一半时间重力做正功，整体上看重力做功为零，也就是克服重力做功为零。

其实，那不腾空的 \(\dfrac{1}{5}\) 时间，虽然脚没有离开地面，但人的重心所在的位置是有变化的，不能说重力没有做功。我们把一个完整周期时间内人的姿态的几个时间节点画成如图l所示的示意图。其中，（a）为人的重心下降到最低点时刻，双腿稍稍弯曲，准备起跳；（b）为人的双腿刚刚伸直，即将离开地面且开始腾空的时刻；（c）为人整体上升到最高点时刻；（d）为人下落到脚刚接触她面，结束腾空的时刻；（e）为双腿稍稍弯曲，重心降低至最低点时刻。从（a）到（e），刚好是一个完整的周期。

把这一完整的周期分为 4 个阶段：（a）到（b）为第 1 阶段，人没有腾空，属于脚着地时间段，但双腿由弯曲变到伸直，人的重心有所上升；（b）到（c）为第 2 阶段，属于腾空时间段，人整体向上升；（c）到（d）为第 3 阶段，也属于腾空时间段，人整体向下降，是第 2 阶段的逆过程；（d）到（e）为第 4 阶段，属于脚着地时间段，双腿由伸直变到弯曲，人的重心有所下降，是第 1 段的逆过程。其中第 1 阶段和第 2 阶段为上升的半个周期，第 3 阶段和第 4 阶段为下降的半个周期。第 1 阶段和第 4 阶段，人身体的各部分间的相对运动不能忽略，或者说，在这两个阶段中不能将人看作质点。第 2 阶段和第 3 阶段，人身体各部分（除了摇绳的手腕以外）的相对运动可以忽略，即可以把人看作质点。

这种划分为 4 个阶段的过程，与实际相符，如果没有第 1 阶段和第 4 阶段，人是不可能跳起来腾空的。从做功与能量转化的角度看，第 1 阶段人的内力和所受的重力做功，消耗体内的化学能而转化为人整体的机械能，这部分机械能包括由于重心升高而增加的重力势能和由于速度变大而增加的动能两部分，萁中重力势能部分由于重心升高的高度很小，在估算时常常可以忽略掉，但增加的动能却是不能忽略的，正是人体有了这部分动能，才能在第 2 阶段克服重力做功而上升到最高点。第 3 阶段则与第 2 阶段相反，重力做正功，重力势能转化为动能，在（d）时刻人体的动能与（b）时刻刚要离开地面时的动能相等（忽略空气阻力）。第 4 阶段人屈腿用力，内力再次做功，但这次做的是负功，使人体的这部分动能最终转化为内能被消耗掉，从而回到开始（a）时刻的状态，以便再次重复前面的过程。

如果不考虑人的内力做功，只考虑重力做功，那么无论是否把第 1 阶段和第 4 阶段计算在内，整个周期重力做功都等于零，因此求得的“该同学在跳绳中克服重力做功的平均功率”都应该是零。

“该同学在跳绳中克服重力做功的平均功率是零”这个答案，显然不是命题者想要的。那么，命题者出这个题目的本意是什么呢？

我们猜想有两种可能。一种可能是命题者认为只有上升阶段才是“克服重力做功”，下降阶段重力做正功，不属于“克服重力做功”，因此给出的解答只计算上升阶段“克服重力做的功”；另一种可能是命题者认为“克服重力做功”需要有其他力做功，在跳绳这个具体问题中，是跳绳者的内力“克服重力做功”，想让学生求的其实是“重力以外的另外一个力（这里指人体的内力）克服重力所做的功”。

问题出在题目的设问上，原来的设问方式不能准确地表达命题者的意图，会严生歧义或者争议。如果命题者的真实意图是第一种，建议修改设问，如“估算该同学 1 min 时间内在上升阶段克服重力所做的总功”。

改动有两点：①明确说明要求的是“在上升阶段克服重力做的功”。只是求“功”，而不是求“平均功率”，如果要求平均功率，那么就要把下降阶段也包括在内。如果不计前面分析中的第 1 阶段和第 4 阶段，只算腾空的第 2 阶段和第 3 阶段，上升阶段重力做负功，下降阶段重力做正功，整个周期内重力做功为零。如果算上不腾空的第1阶段和第 4 阶段，那么第 1 阶段和第 2 阶段都要克服重力做功，而第 3 阶段和第 4 阶段重力都做正功，整个周期内重力做功仍然是零。②把“求”字改为“估算”。虽然明确了只求“上升阶段”克服重力所做的功，但我们能求的只是腾空上升的第 2 阶段克服重力所做的功，而不包括腾空前第 1 阶段的人的重心上升时克服重力所做的功。从能量转化的角度说，人的内力在第 1 阶段克服重力所做的功，等于人在这阶段增加的重力势能和动能，我们只计算了其中的动能，而忽略了增加的势能。忽略的这部分重力势能等于人的质量 m、重力加速度 g 及这个阶段重心升高的高度 Δh 的乘积，即 ΔE_p = mgΔh，由于这个阶段人体重心高度的变化 Δh 很小，忽咯这部分是可以的，我们用“估算”描述比较准确。

如果命题者的真实意图是第二种，也建议修改设问，如：“估算该同学内力克服重力做功的平均功率”。

这里的“内力克服重力做功”指的是第 1 阶段，即从图中位置（a）到位置（b）的过程，内力做正功，而重力做负功，从能量转化的角度看，把人体内释放的化学能转化为重力势能，我们把它简称为“内力克服重力做功”。其他三个阶段中，第 2 阶段和第 3 阶段都没有内力做功，而第4阶段重力做的是正功，内力也做正功，因此不属于“内力克服重力做功”。把第 1 阶段里内力做的功近似等于第 2 阶段上升过程中重力所做的负功的绝对值，得到上面解答中的结果，此结果由于忽略了第 1 阶段增加的重力势能的值，因此是近似值，说“估算”更为合理。

发布时间：2026/10/11 11:18:59  阅读次数：41