32．关于把变力当作恒力处理的问题

题目

蹦床是运动员在一张张紧的弹性网上蹦跳、翻滚并做各种空中动作的运动项目。一名质量为 60 kg 的运动员，从离水平网面 3.2 m 高处自由下落，着网后沿竖直方向蹦回到离水平网面 5.0 m 高处。已知运动员与网接触的时间为 1.2 s。若把在这段时间内网对运动员的作用力当作恒力处理，求此力的大小。（g = 10 m/s²）

原解答

把运动员看作质量为 m 的质点，从 h₁ 高处下落，刚接触网时速度的大小

\[{v_1} = \sqrt {2g{h_1}}  = 8\;{\rm{m/s}}\tag{1}\]

弹跳后到达的高度为h₂，刚离开网时速度的大小

\[{v_2} = \sqrt {2g{h_2}}  = 10\;{\rm{m/s}}\tag{2}\]

速度的改变量

\[\Delta v = {v_1} + {v_2}\tag{3}\]

以 a 表示加速度，Δt 表示接触时间，则

\[\Delta v = a\Delta t\tag{4}\]

在接触网过程中运动员受到向上的弹力F和向下的重力 mg。由牛顿第二定律得

\[F - mg = ma\tag{5}\]

由以上五式解得

\[F = mg + m\frac{{\sqrt {2g{h_1}}  + \sqrt {2g{h_2}} }}{{\Delta t}} = 1.5 \times {10^3}\;{\rm{N}}\]

商榷和建议

本题取材于一项运动项目——蹦床，它既是奥运会的正式比赛项目，又是很受年轻人喜爱的健身、娱乐项目。此题从题目的设问到解答过程，都存在值得商榷的地方。

首先，题目要求的是什么力？题目在交代完情境之后提出“若把在这段时间内网对运动员的作用力当作恒力处理，求此力的大小”，这里的“这段时间”指的是运动员与网接触并发生相互作用的时间，时间间隔 Δt = 1.2 s，因此要求的力是“网对运动员的作用力”，该力属于弹力，而弹力是与形变量的大小有关的，从而是变力，但题目告诉我们“把变力当作恒力处理”，即要求的是当作恒力的网对运动员的弹力。

解答过程首先指出要“把运动员看作质量为 m 的质点”，这也值得商榷。如果运动员在整个过程中真的可以看作一个质点，那么他在与网接触的整个过程中就不能有曲腿蹬踏的动作，即不能有内力做功。他从某一高度下降，与网接触并被弹起，那么弹起的高度一定不会大于他开始下落时的高度。他在与网接触的这段时间内受到的外力有两个：一个是重力，它属于恒力；另一个则是网对他的弹力。网的弹力一定是变力，在运动员与网接触的这 1.2 s 时间内的运动可分为向下和向上两个阶段：从脚下落到与网平面接触开始，到网发生形变至最甚，即脚下降到最低点，这个阶段称为下降阶段；从最低点开始向上运动，直到他的脚与网脱离接触为止，这个阶段称为上升阶段。这两个阶段运动员受到的重力的大小和方向始终保持不变，而网对他的弹力方向始终向上，大小则与网的形变量有关，即第一阶段是弹力从零逐渐变大的过程，而第二阶段是弹力从最大值逐渐减小到零的过程。在形变量相同的位置，不论是向下运动或是向上运动，弹力的大小都是相等的。在这种情况下，运动员刚接触网平面时的速度 v₁ 与离开网平面时的速度 v₂ 必定大小相等。说得更通俗一点，如果运动员是一个质点并且只受重力和网对他的弹力，他就不可能越弹越高。在现实情况下，蹦床运动员之所以能越弹越高，一定有其他力的作用，这个力不是外力，而是内力，即运动员在与网接触的这 1.2 s 时间内，必然要曲腿并用力蹬踏，这个过程内力做功，消耗体内化学能并将其转变为机械能。

原解答所得的答案 \(F = mg + m\dfrac{{\sqrt {2g{h_1}}  + \sqrt {2g{h_2}} }}{{\Delta t}} = 1.5 \times {10^3}\;{\rm{N}}\) 到底是什么力呢？应该是网对运动员的弹力在时间上的平均值，简称平均力。

题目给出“网对运动员的作用力当作恒力处理”，还会产生另外的副作用：既然把网对远动员的作用力当作恒力处理，那么运动员在这段时间内的运动就是匀变速直线运动，可以按原解答的方式求解，也可以运用动量定理解决问题。根据动量定理，运动员受到的合外力的冲量等于他的动量的增量，即

\[(F - mg)\Delta t = m\Delta v\]

因此

\[F = mg + m\frac{{\sqrt {2g{h_1}}  + \sqrt {2g{h_2}} }}{{\Delta t}}\]

这与原题的解答实质相同，但既然按恒力处理，那么运动员的运动就是匀变速直线运动，应用动能定理解决问题应该也是可以的。根据动能定理，运动员受到的合外力所做的功等于运动员动能的增量，即

\[(F - mg)\Delta x = \Delta {E_{\rm{k}}} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2\]

解得

\[F = mg + m\frac{{2g\Delta {h_2} - 2g\Delta {h_1}}}{{2\Delta x}}\]

然而，在这个具体问题中，因为“网平面”的位置是不变的，即在这 1.2 s 时间里，脚与网开始接触时的位置与脚刚离开网时的位置是相同的，即上式中 Δh₂ = Δh₁，因此整个过程中位移 Δx = 0，即上式中右边的第二项的分子与分母都等于零，无意义！

问题出在哪里？出在把“网对运动员的作用力当作恒力处理”。其实，认真想一想，原题的解答也是经不起推敲的：一个起点和终点是同一点的沿直线的往复运动，加速度恒定，但初速度比末速度要小，是什么样的加速度可以得到这样的结果呢？什么样的加速度也不可以！运动员下落到刚与网接触时的速度大小为 v₁，与网接触后，加速度 a 大小不变，方向向上，运动员做匀减速直线运动，经过位移 Δx，速度减为零，即到达最低点，然后他将以相同的加速度向上做匀加速运动，经过同祥大小的位移后网变成平面，运动员的速度大小恢复到 v₁，再开始下一阶段的运动——竖直上抛运动。如果要在脱离网平面时刻的速度大于 v₁，也必定发生较大的位移（即脱离网的位置必在网平面以上），这是不可能发生的。因此，我们得到的结论是，变力不能当作恒力处理，至少在这个具体问题中，不能把人受到的变力当作恒力处理。

建议把题目及解答按如下修改。

题目：蹦床是运动员在一张张紧的弹性网上蹦跳、翻滚并做各种空中动作的运动项目。一名质量为 60 kg 的运动员，从离水平网面 3.2 m 高处自由下落，着网后沿竖直方向蹦回到离水平网面 5.0 m 高处。已知运动员与网接触的时间为 1.2 s，求该运动员受到网的向上的作用力的平均值。（g = 10 m/s²）

解答：在运动员未与网平面接触的时间里，可以把运动员看作质量为 m 的质点，从 h₁ 高处下落，刚接触网时速度的大小

\[{v_1} = \sqrt {2g{h_1}}  = 8\;{\rm{m/s}}\tag{1}\]

弹跳后到达的高度为h₂，刚离开网时速度的大小

\[{v_2} = \sqrt {2g{h_2}}  = 10\;{\rm{m/s}}\tag{2}\]

在运动员与网接触的 Δt 时间内速度的改变量

\[\Delta v = {v_1} + {v_2}\tag{3}\]

在 Δt 时间段，根据动量定理，运动员所受合力的冲量等于其动量的增量，即

\[(F - mg)\Delta t = m\Delta v = m{v_1} + m{v_2}\tag{4}\]

其中，F 为运动员在与网接触这段时间内所受的网给予的方向向上的力的平均值。

由以上四式解得

\[F = mg + m\frac{{\sqrt {2g{h_1}}  + \sqrt {2g{h_2}} }}{{\Delta t}} = 1.5 \times {10^3}\;{\rm{N}}\]

题目本身的改动主要是去掉“若把在这段时间内网对运动员的作用力当作恒力处理”这句话，改为求“作用力的平均值”。

解答过程的改变主要有两点。（1）强调只有在未与网接触的腾空的时间里“把运动员看作质量为m的质点”，而在与网接触的时间里，则不能把运动员看成质点，因为在这个过程中有内力做功，而内力做功是通过先屈腿降低重心，而后用力向上跳起来实现的。人的身体的各部分有相对运动，人体的重心（质心）的位置要发生改变。（2）运用的公式不再是匀变速直线运动的速度、加速度与时间的关系式以及牛顿第二定律的公式，而是动量定理，根据动量定理求出的力是力对时间的平均值。

发布时间：2026/9/27 9:12:12  阅读次数：41