30．关于卫星发射问题中的参考系

题目

在地面某处发射一颗质量为 m 的卫星，使它能够脱离地球引力的束缚。已知发射场所在地绕地球自转的速度大小为 v_A，第二宇宙速度大小为 v₂，发射卫星过程中至少要对卫星做的功形有下面两种答案：①W = \(\dfrac{1}{2}\)m(v₂² − v_A²)，②W = \(\dfrac{1}{2}\)m(v₂ − v_A)²。

你认为哪个正确？请说明理由。

原解答

第②种答案正确。根据动能定理，合力对物体所做的功等于物体动能的增量。由于发射卫星是在地球表面进行的，应该以发射场所在处的地面为参考系，未发射前卫星静止在发射场地面处，要想脱离地球引力的束缚，卫星的速度至少要达到第二宇宙速度 v₂，即发射出去的卫星相对地心的速度为 v₂，这时它相对于发射场地面的速度大小就等于 v₂ − v_A，因此正确答案是 W = \(\dfrac{1}{2}\)m(v₂ − v_A)²。

商榷和建议

解答本题的依据是动能定理 W = ΔE_k = \(\dfrac{1}{2}\)mv₂² − \(\dfrac{1}{2}\)mv₁²。同样一个物理过程，在不同的参考系中，功 W 的数值是不同的，这是因为位移的数值与参考系有关。初动能和末动能的数值在不同的参考系中也不相等，同样是因为初速度和末速度都与参考系有关，但功的数值与动能的增量的数值仍然相等，即动能定理在不同的惯性参考系中都成立。本题是通过动能的变化求动，不同的参考系所得的结果会不相同，因此解答本题选用哪个参考系就显得尤为重要。

经典力学的核心是牛顿三个运动定律，但牛顿三个运动定律都只在惯性参考系中才成立，而动能定理是在牛顿运动定律的基础上，引入功及动能的概念后推导出来的，因此动能定理也只在惯性参考系中才成立。

世界上一切物体都在运动着，绝对的惯性参考系并不存在。我们平时使用最多的就是地面参考系，这是因为我们研究讨论的多是地球表面上的物体的运动及相互作用。地球在绕地轴自转，如果把地心作为惯性参考系，则地球表面就不是惯性参考系；地球在绕太阳公转，若以太阳中心作为惯性参考系，则地心参考系也不是惯性参考系；太阳围绕着银河系中心旋转，若以银河系中心为惯性参考系，则太阳中心参考系（日心系）也不是惯性参考系……可以说，地心参考系是比地面参考系更高一级的惯性参考系，日心参考系又比地心参考系更高一级……

我们研究地球表面上物体的运动及物体间相互作用的问题时，地面参考系作为惯性参考系已经足够精确了，这是因为这类问题涉及的空间范围较小，时间间隔也不大。在有限的空间范围内，地面完全可以看成平面，如足球场甚至更大的飞机跑道和停机坪都完全可以看成平面；在较短的时间间隔内，地面上的物体随地球自转而运动的路径都可以看成短短的一条直线。但如果讨论和研究的是卫星的发射与运转等问题，它们涉及的空间范围要大得多，时间间隔也长得多。在这个更大的空间范围内，地面已经不再能看作是一个平面，而是一个定轴转动的球形物体的表面；在这段较长的时间里，地面上的各点随地球自转的运动也不能再看作直线运动，而是在做圆周运动。因此在讨论卫星发射和运动等问题时，地面参考系不能再作为惯性参考系，而应该选择地心参考系。如果发射的卫星是要脱离太阳引力范围飞出太阳系的航天器，那么地心参考系也不再是惯性参考系，而应该选择日心参考系。例如我们在推导第一和第二宇宙速度时，都选用地心参考系，而在推导第三宇宙速度时，还要用到日心参考系。

因此，本题说“发射卫星是在地球表面进行的，应该以发射场所在处的地面为参考系”的说法不正确。

题目告诉我们的卫星发射场所在地随地球自转的速度大小 v_A、第二宇宙速度的大小 v₂（等于 11.2 km/s）都是相对地心参考系而言的。对于本题，我们换一个思路分析，解答如下：

把卫星与地球作为一个系统，选择地心参考系，卫星未发射前（初态）系统的引力势能 E_p = − G\(\dfrac{{{M_{地球}}m}}{R}\)，式中 R 为地球半径，卫星的初动能 E_k = \(\dfrac{1}{2}\)mv_A²。

末态系统的引力势能变为 0，动能只要大于 0 即可，在这个过程中系统机械能的增量即为外力做功的最小值，即

\[W = \Delta E = \left[ {0 - \left( { - G\frac{{{M_{11}}m}}{R}} \right)} \right] - \frac{1}{2}mv_{\rm{A}}^2\tag{1}\]

其中，方括号内表示的是整个发射过程中增加的引力势能，第二宇宙速度就是棍据它计算得出的：如果发射的卫星具有初速度 v₂（相对地心参考系），发射后它恰好能够依靠惯性飞行而克服地球的引力，即满足

\[0 - \left( { - G\frac{{{M_{地球}}m}}{R}} \right) = \frac{1}{2}mv_2^2\tag{2}\]

解得

\[{v_2} = \sqrt {2G\frac{{{M_{地球}}}}{R}}  = \sqrt {2 \times 6.67 \times {{10}^{ - 11}} \times \frac{{5.98 \times {{10}^{24}}}}{{6.4 \times {{10}^6}}}} \;{\rm{m/s}} \approx {\rm{11.2}}\;{\rm{km/s}}\]

这就是第二宇宙速度。

将（2）式代入（1）式，得到 W = \(\dfrac{1}{2}\)mv₂² − \(\dfrac{1}{2}\)mv_A²，这恰是原题中的第①种答案。

由于高中物理课程不要求讲引力势能的公式（注：现在上海高考需要考这个公式），因此教科书中不出现第二宇宙速度的推导过程，而只给出最后结果，但对于基础较好且对物理学习有兴趣的学生，告诉他们引力势能的公式并且实际推导第二宇宙速度的数值并没有太大的困难。即使为了不增加学生的负担，不涉及引力势能问题，也应该明确在讨论研究有关卫星发射、宇宙航行等空间范围较大、历时较长的问题时，不能再把地面参考系当作惯性系，而应选用地心参考系来解决问题。

发布时间：2026/9/21 18:39:34  阅读次数：36