29．关于向心加速度

题目

甲、乙两个质点都做圆周运动，已知甲的向心加速度大于乙的向心加速度，即 a_向心甲 > a_向心乙，下面判断正确的是（    ）

A．甲受到的向心力大于乙受到的向心力

B．甲的质量小于乙的质量

C．甲的速度大小变化比乙的速度大小变化快

D．甲的速度方向变化比乙的速度方向变化快

原解答

根据牛顿第二定律，加速度正比于物体所受的合力，反比于物体的质量，本题只知道甲的向心加速度大于乙的向心加速度，可以推导出甲受到的向心力与其质量之比大于乙受到的向心力与其质量之比，但不能判定二者所受的向心力的大小及质量的大小，因此选项 A、B 都不正确。向心加速度的方向垂直于速度方向，它只改变速度的方向而不改变速度的大小，因此选项 C 不正确而选项 D 正确。故正确答案是选项 D。

商榷和建议

加速度是描述速度变化快慢和方向的物理量。向心加速度专指方向指向圆心且与速度方向垂直的加速度，它由质点受到的方向指向圆心的力（向心力）及质点的质量所决定。向心加速度的效果是只改变速度的方向而对速度的大小没有影响。这些分析都是正确的，但仅根据“向心加速度只改变速度的方向”就说“向心加速度是描述速度方向变化快慢的物理量”却是错误的！

速度是矢量，它有大小和方向，加速度是速度对时间的变化率．用矢量形式表示是

\[\overrightarrow a  = \frac{{{\rm{d}}\overrightarrow v }}{{{\rm{d}}t}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta \overrightarrow v }}{{\Delta t}}\]

其中，Δ 是速度的变化量，Δ\(\overrightarrow v \) = \(\overrightarrow v \)₂ − \(\overrightarrow v \)₁，由于速度是矢量，矢量的加减法遵守平行四边形定则，图 1 是 \(\overrightarrow v \)₂ − \(\overrightarrow v \)₁ 的矢量图，图中表示速度的有向线段 \(\overrightarrow v \)₁、\(\overrightarrow v \)₂ 与表示速度变化量的线段 Δ\(\overrightarrow v \) 三者组成一个三角形，Δ\(\overrightarrow v \) 就是 \(\overrightarrow v \)₂ 与 \(\overrightarrow v \)₁ 的矢量差。

图 2 中，在代表速度 \(\overrightarrow v \)₁ 的线段 OA 上截取与代表 \(\overrightarrow v \)₂ 的线段 OB 的长度相等的一段 OC，在三角形 CAB 中，CA 段表示 \(\overrightarrow v \)₁ 和 \(\overrightarrow v \)₂ 大小之差，即表示速度大小的变化量，CB 则是由于速度方向变化而引起的变化，这就说明从 \(\overrightarrow v \)₁ 到 \(\overrightarrow v \)₂ 的速度变化量 Δ\(\overrightarrow v \) 与速度大小的变化（CA 段）有关，也与速度方向的变化（CB 段）有关。

从另一个角度说明：当加速度的方向与速度的方向不在一条直线上时，可以把加速度沿速度方向和垂直于速度方向进行分解，如图 3 所示，其中与速度方向在一条直线上的分量称为切向加速度 \(\overrightarrow a \)_τ，而与速度方向垂直的分量称为法向加速度 \(\overrightarrow a \)_n。\(\overrightarrow a \)_τ 与速度方向在一条直线上，它的作用是改变速度的大小，而 \(\overrightarrow a \)_n 与速度方向垂直，它的作用是改变速度的方向。如果每时每刻 \(\overrightarrow a \)_τ = 0，只有 \(\overrightarrow a \)_n 存在，那么质点的速度大小不改变，匀速圆周运动就是这种情况，这时的 \(\overrightarrow a \)_n 就称为向心加速度，速度的改变完全是由于速度方向的变化而引起的。

如图 4 所示，一个转动圆盘上有 A、B 两点，它们以相同的角速度做匀速圆周运动，经过一小段时间，A 的速度由 \(\overrightarrow v \)_A 变到 \(\overrightarrow v \)_Aʹ，B 的速度由 \(\overrightarrow v \)_B 变到 \(\overrightarrow v \)_Bʹ，把 A、B 的速度变化矢量图画出来，不难看出，A 的速度变化量 Δ\(\overrightarrow v \)_A 大于 B 的速度变化量 Δ\(\overrightarrow v \)_B，而 \(\overrightarrow v \)_A 和 \(\overrightarrow v \)_B 的速度方向变化快慢相同，Δ\(\overrightarrow v \)_A > Δ\(\overrightarrow v \)_B 的原因不是 A 的速度方向变化快而 B 的速度方向变化慢，而是由于 \(\overrightarrow v \)_A > \(\overrightarrow v \)_B。从公式分析：向心加速度 a_向心 = ω²r，而 ωr = v，因此 a_向心 = ωv，用矢量式表示是 \(\overrightarrow a \) = \(\overrightarrow \omega  \)×\(\overrightarrow v \)。这与从图 4 得出的结论一致。

因此本文所列习题没有一个选项是正确的，这是一道错题。

还有一个问题需要讨论：向心加速度不是描述速度方向变化快慢的物理量，那么，谁才是描述速度方向变化快慢的物理量呢？是角速度 ω，它的单位是 rad/s，即弧度每秒，它表示做圆周运动的质点与圆心的连线（半径）每秒转过的角度（用弧度表示的角度值），而其速度方向总与圆周的半径垂直，因此速度方向每秒变化的数值等于角速度的数值。角速度 ω 也是矢量，它的方向是由右手螺旋法则确定的：用右手握住转动轴，四个手指指向转动的方向，则拇指的指向就是角速度的方向。例如，在 xOy 平面内沿逆时针方向转动的质点，角速度的方向沿 + z 方向，而在 xOy 平面内沿顺时针方向转动的质点，角速度的方向沿 − z 方向（中学阶段不讲角速度的方向，也不讲角速度是矢量）。

根据“向心加速度只改变速度的方向而不改变速度的大小”就直接得出“向心加速度是描述速度方向变化快慢的物理量”的结论，是很多学生爱犯的错误，必须纠正。建议把题目进行如下修改：

甲、乙两个质点都做匀速圆周运动，已知甲的角速度小于乙的角速度，而甲的向心加速度大于乙的向心加速度，即 ω_甲 < ω_乙，a_向心甲 > a_向心乙，下面判断正确的是（    ）

A．甲的速度方向变化比乙的速度方向变化快

B．甲的速度方向变化比乙的速度方向变化慢

C．甲的线速度大于乙的线速度

D．甲的线速度小于乙的线速度

本题的选项 A 和选项 B 容易判断，正确的是选项 B，因为角速度是描述速度方向变化快慢的物理量。至于选项 C 和选项 D，学生最先想到的是线速度与角速度的关系 v = ωr，但题目并未说明转动半径 r 的大小关系，因此无法根据它进行判断。进一步可以根据向心加速度等于角速度与线速度的乘积的关系式 a_向心 = ωv，再结合题目给的条件 ω_甲 < ω_乙，a_向心甲 > a_向心乙，可以判断出 v_甲 > v_乙，选项 C 正确。

发布时间：2026/9/17 8:01:00  阅读次数：31