22．关于“逐差法”

题目

利用重锤拖带纸带自由下落，用打点计时器在纸带上打出一系列点迹，可以测量重力加速度 g 的数值。图 1 所示的是打出的一条纸带，舍弃开始一段较密集的点迹，选取 A、B、C、D、E、F、G 共七个点，以 O 点为原点，水平向右为正方向建立直线坐标系 Ox。在纸带下方平行放一把刻度尺，使刻度尺的“0”刻度大致与图中起始点 O 对齐。读出上述七个点的位置坐标 x₀，x₁，…，x₆。

分别计算出相邻两点迹间的位移，即 Δx₁ = x₁ − x₀，Δx₂ = x₂ − x₁，…

由于重锤做的是自由落体运动，即初速度为零、加速度为 g 的匀变速直线运动，重力加速度 g = \(\dfrac{{\Delta x}}{{{T^2}}}\)。

为了更有效地利用所测量的数据，本题有下面两种处理数据的方法：

①利用相邻计数点的位移求多个 g 的值，再求平均值，即

g₁ = \(\dfrac{{\Delta {x_2} - \Delta {x_1}}}{{{T^2}}}\)，g₂ = \(\dfrac{{\Delta {x_3} - \Delta {x_2}}}{{{T^2}}}\)，…，g₅ = \(\dfrac{{\Delta {x_6} - \Delta {x_5}}}{{{T^2}}}\)，再求平均值，即 \(\bar g = \dfrac{{{g_1} + {g_2} +  \cdots  + {g_5}}}{5}\)。

②把上述所测得的数据分成两组，交叉相减，分别求 g 值，再求它们的平均值，即

g₁ = \(\dfrac{{\Delta {x_4} - \Delta {x_1}}}{{3{T^2}}}\)，g₂ = \(\dfrac{{\Delta {x_5} - \Delta {x_2}}}{{3{T^2}}}\)，…，g₃ = \(\dfrac{{\Delta {x_6} - \Delta {x_3}}}{{3{T^2}}}\)，再求平均值，即 \(\bar g = \frac{{{g_1} + {g_2} + {g_3}}}{3}\)。

试回答下面的问题：

（1）上述两种方法哪种较好？为什么？

（2）较好的方法叫什么名字？

原解答

（1）第②种方法较好。第①种方法最后的结果是

\[\bar g = \frac{{{g_1} + {g_2} +  \cdots  + {g_5}}}{5} = \frac{{\Delta {x_6} - \Delta {x_5}}}{{5{T^2}}}\]

实际上只有两端的 Δx₆ 和 Δx₁ 用上了，其余各数据都舍弃了。而第②种方法的最后结果是

\[\bar g = \frac{{{g_1} + {g_2} + {g_3}}}{3} = \frac{{(\Delta {x_6} + \Delta {x_5} + \Delta {x_4}) - (\Delta {x_3} + \Delta {x_2} + \Delta {x_1})}}{{9{T^2}}}\]

这种方法把所有数据都用上了，因此相对来讲较好。

（2）后面这种方法称为隔项逐差法。

商榷和建议

这种隔项逐差法的最后结果 \(\bar g = \dfrac{{{g_1} + {g_2} + {g_3}}}{3} = \dfrac{{(\Delta {x_6} + \Delta {x_5} + \Delta {x_4}) - (\Delta {x_3} + \Delta {x_2} + \Delta {x_1})}}{{9{T^2}}}\) ，从表面上看，从 Δx₁ 到 Δx₆ 都用上了，但这只是假象，因为 Δx 并不是原始数据，原始数据是各数据点的位置坐标，即 Δx₁ = x₁ – x₀，Δx₂ = x₂ – x₁，Δx₃ = x₃ – x₂，Δx₄ = x₄ – x₃，Δx₅ = x₅ – x₄，Δx₆ = x₆ – x₅。

把原始数据代入到上面的结果中，得到

\[\bar g = \frac{{(\Delta {x_6} + \Delta {x_5} + \Delta {x_4}) - (\Delta {x_3} + \Delta {x_2} + \Delta {x_1})}}{{9{T^2}}} = \frac{{({x_6} - {x_3}) - ({x_3} - {x_0})}}{{9{T^2}}}\]

这实际上是把从 x₀ 到 x₆ 分成两段，实际有用的数据只有 x₀、x₃ 和 x₆ 三个，并不比第①种方法好多少。

有人可能会辩解说，可以直接测量相邻各点迹间的距离，即图中的 Δx₁，Δx₂，…而不测量各点迹的位置坐标，这样 Δx₁，Δx₂，…都是原始数据，第②种方法的最后结果就把所有测量得到的原始数据都用上了。但别忘了，实质上（Δx₆ + Δx₅ + Δx₄）就是 x₃ 到 x₆ 间的距离，即图1中 DG 间的距离，而（Δx₃ + Δx₂ + Δx₁）就是 x₀ 到 x₃ 间的距离，即图 1 中 AD 间的距离，这个事实是改变不了的。

另外，测量各数据点的位置坐标，比直接测量相邻各点迹间的距离误差要小。用刻度尺测量长度时产生的误差与所测距离的两端都有关系：起点处要与刻度尺的某一刻线对齐，但是否对齐，纯粹是靠眼睛观察的，这就难免会产生误差，末端读数也要靠眼睛观察和估计，必然也会产生误差，而读取各计数点的位置坐标，刻度尺的“0”刻线放在什么位置实际上无关紧要，误差只在末端读数时产生，因此它是本实验应采取的正确的测量数据的方法。

上面所谓的隔项逐差的处理数据的方法，在 20 世纪的高中物理教科书上曾经使用过，但进入 21 世纪，使用新课标教科书后，就把它删去了。但仍然有教师认为它是一种好的方法，在教学中仍向学生传授，并通过试题考查学生。

目前高中物理教科书更强调借助图像法处理数据，即把各数据点标注在平面直角坐标系上，其横坐标为时间轴，纵坐标为位移（或位置）轴。对于匀变速直线运动而言，各数据点的连线应该是一条直线，其斜率就表示加速度的数值。这种方法不但可以把各测量数据都用上，而且可以发现并舍弃其中的个别的错误数据。

当然，逐差法并不是不可用，只是前面的隔项逐差法不正确，使用下面的隔项二次逐差法就可以克服前面的问题，把更多的测量数据利用上。

设测量出的一系列相邻计数点的坐标分别为 x₀、x₁、x₂、x₃、x₄、x₅、x₆、x₇、x₈，相邻计数点间的时间间隔为 T，打 x₀ 点时的速度为 v₀，则有

x₁ – x₀ = v₀T + aT²/2

x₂ – x₀ = 2v₀T + a(2T)²/2

x₃ – x₀ = 3v₀T + a(3T)²/2

x₄ – x₀ = 4v₀T + a(4T)²/2

x₅ – x₀ = 5v₀T + a(5T)²/2

x₆ – x₀ = 6v₀T + a(6T)²/2

x₇ – x₀ = 7v₀T + a(7T)²/2

x₈ – x₀ = 8v₀T + a(8T)²/2

第一次逐差，可得出

x₅ – x₁ = 4v₀T + a(24T)²/2

x₆ – x₂ = 4v₀T + a(32T)²/2

x₇ – x₃ = 4v₀T + a(40T)²/2

x₈ – x₄ = 4v₀T + a(48T)²/2

第二次逐差，可得出

(x₇ – x₃) – (x₅ – x₁) = 8a₁T²

a₁ = (x₁ + x₇ – x₃ – x₅)/8T²

(x₈ – x₄) – (x₆ – x₂) = 8a₂T²

a₂ = (x₂ + x₈ – x₄ – x₆)/8T²

\[\bar a = \frac{{{a_1} + {a_2}}}{2} = \frac{1}{{16{T^2}}}({x_1} + {x_2} - {x_3} - {x_4} - {x_5} - {x_6} + {x_7} + {x_8})\]

这样，除去 x₀ 以外，其余的数据都用上了，应该是比较理想的方法。其缺点是过于烦琐，突出表现在两个方面：一方面是在原理的讲解上，即上述推导结论的过程比较复杂，在课堂上讲解要占用较长的时间，学生接受起来也有一定的困难；另一方面是计算过程比较烦琐，需要处理的数据比较多。但在今时今日，计算机技术已高度发展，并且在我国已相当普及，利用计算机处理这些数据，是非常容易和准确的，因此在条件允许的学校，不妨对这种隔项二次逐差法做些试验或推广，而对更多的普通学校则没有必要这么深入地讲解。

建议一般学校不讲逐差法，而是指导学生利用图像法来处理数据，这样即可以把所有的测量数据都用上，而且可以发现并剔除个别的错误数据。如果教师对逐差法情有独钟，学生基础也较好，讲述逐差法也不是不可以，但如果要讲就要讲清楚，而不能像原来那样把错误的方法讲给学生，更不应该出这样的题目考查学生。

发布时间：2026/9/3 20:31:12  阅读次数：44