21．关于平均力

题目

一架喷气式飞机的质量是 5.0×10³ kg，起飞过程中从静止开始滑行的路程是 5.3×10² m时，达到起飞速度 60 m/s。在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机所受重力的 0.02 倍，求飞机的驱动力。

原解答

以飞机为研究对象，建立质点模型，它受到 4 个力的作用，即重力 mg、地面的支持力 N，以及水平方向的驱动力 F、阻力 f，受力分析示意图如图 1 所示。水平方向的合力为

F_合 = F − f = F − μmg

根据匀变速直线运动的关系式

v² − v₀² = 2as

得到加速度           a = \(\dfrac{{{v^2} - v_0^2}}{{2s}}\)

根据牛顿第二定律       F_合 = ma

得到 F = m\(\dfrac{{{v^2} - v_0^2}}{{2s}}\) + μmg。

代入数据解得 F = 1.8×10⁴ N。

商榷和建议

本题被很多人认为是一道很平常的题，学生做起来也没有大的困难。值得商榷的问题在于题目中出现的“平均阻力”的概念。

题目描述“在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机所受重力的 0.02 倍”，这是在告诉学生，该飞机在这次起飞过程中受到的阻力不是恒力，而是变力。这个过程中飞机的“驱动力”是恒力还是变力呢？题目要“求飞机的驱动力”，但既没有说明它是恒力，也没有说明让求的是“平均驱动力”，在题目没有明确说明也没有暗示的情况下，只有请读者自己去遐想了。如果这个“驱动力”是恒力，由于阻力是变力，那么合力就一定是变力，飞机做的就不是匀变速运动。但如果这个“驱动力”是变力，那么它与阻力的变化规律是否相同，也是未知数，一般来说，二者变化规律完全相同的概率很小，因此飞机做匀变速运动的概率很小。

如果飞机做的不是匀变速运动，那么就不应该用匀变速直线运动的公式求解。一切都无从谈起。看来，使用匀变速直线运动的公式解答本题，就是默认或者是假设飞机做的是匀变速直线运动，而这应该在解题过程中说明白。

下面再来讨论有关平均值的问题。

很多物理量都有平均值的概念，中学生自从开始学习物理，平均速度就是他们接触最多的概念之一，它指的是速度对时间的平均值。但实际上，某物理量不但可以对时间取平均，而且可以对其他自变量取平均，一般来说，如果物理量 y 是 x 的函数，我们记作  y(x)，则 y 对 x 在 0 ~ x 这一段内的平均值的定义为 \({\left. {\overline {y(x)} } \right|_{0 - x}} = \dfrac{{\int_0^x {y(x)dx} }}{x}\)。

在本书前面第 9 个习题“关于速度 v 与位移 x 成正比的假设”中，我们讨论过如果速度与位移成正比，也就是说速度是位移的正比例函数，那么平均速度就是速度对位移的平均而不是用得最多的对时间的平均。

对于力，直到学习匀变速运动的时候都没有讲过平均力的概念，但在讲弹簧的弹力与它的伸长量成正比时，学生应该学过或见过弹簧在伸长（或压缩）过程中的 F–x 图像，这时的平均力 \({\left. {\overline {F(x)} } \right|_{0 - x}} = \dfrac{1}{2}kx\)。这就是力 F 对位移 x 在位移为 0 ~ x 这段过程中的平均值。

但如果教师没有在课堂上讲过这些，那么学生头脑里的平均值，特别是在没有明确说明对什么的平均的情况下，一般都认为是对时间的平均。

在后续课程中，学生会学习到由牛顿定律推导动量定理和动能定理，其中动量定理一般表述为 F·Δt = Δmv，变形得到 F = \(\dfrac{{\Delta mv}}{{\Delta t}}\)，这里的 F 就是力 F 在 Δt 这段时间内的平均值，简称平均力。动能定理的表达式是 F·Δx = Δ（\(\dfrac{1}{2}\)mv²），变形得到 F = \(\dfrac{{\Delta (\dfrac{1}{2}m{v^2})}}{{\Delta x}}\)，这里的 F 就是力 F 对位移 Δx 的平均值。这两种平均力中，常把前者简称为平均力，这是因为物理上说的平均值以对时间的平均最多，为了简便，可以把“对时间”三个字省略，称为平均力，但后者就不能再这样省略了。这点在教科书中是有体现的，例如讲变化率，我们用得最多的是对时间的变化率，因此可以省略“对时间”，只说变化率，如速度是位置的变化率、加速度是速度的变化率，等等。但如果不是对时间的变化率，则必须说明是“对××”的变化率。

本题只说“平均阻力”，那么一般就应该理解为是对时间的平均，而不是对位移的平均。但这个题的解答过程中，用的是力对位移的平均值。

我们再对前面的解题结果 F = m\(\dfrac{{{v^2} - v_0^2}}{{2s}}\) + μmg 讨论一下：前面分析过，题目中没有说明飞机做的是匀变速直线运动，如果飞机做的不是匀变速直线运动，这个结果是否还有意义呢？当然有！该结果包括两项：第一项 m\(\dfrac{{{v^2} - v_0^2}}{{2s}}\)，把它变形为 \(\dfrac{{\dfrac{1}{2}m{v^2} - \dfrac{1}{2}mv_0^2}}{s}\)，分子的 \(\dfrac{1}{2}\)mv² − \(\dfrac{1}{2}\)mv₀² 物理意义是末动能与初动能之差，即 ΔE_k，再除以 s（即 Δx），得到的就是产生加速度的力对位移的平均值；第二项 μmg 是阻力的平均值，这个平均阻力必须是阻力对位移的平均值，否则整个答案将没有意义。

总结如下：这个题目中用平均阻力的说法，只能起到节外生枝的效果，如果不深究，按照前面解答那样糊弄过去，对培养高素质人才肯定不利，对今后的进一步学习也会产生不利的影响，而如果深究，则脱离了学生当前的实际，费时又费力，还不一定能得到好的效果。

在学生学习高中物理教科书必修第一册的阶段，教师最好采用一些比较简单的物理情境，不要引入一些现阶段学生不清楚的概念、名词。建议把原题改为：一架喷气式飞机的质量是 5.0×10³ kg，起飞过程中从静止开始滑行的路程是 5.3×10² m时，达到起飞速度 60 m/s。假设在此过程中飞机受到的阻力恒定，是飞机所受重力的 0.02 倍，试估算飞机的驱动力。

改动主要有两点：（1）把“在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机所受重力的 0.02 倍”改为“假设在此过程中飞机受到的阻力恒定，是飞机所受重力的 0.02 倍”，前面加一个“假设”，并从“平均力”变为“恒力”；（2）不是“求飞机的驱动力”，而是“估算飞机的驱动力”。

如果阻力是恒力，那么问题就简单多了，但飞机在实际起飞过程中受到的阻力确实不是恒力而是变力，因此前面加一个“假设”。正是因为这个“假设”与实际不一致，才使得我们求得的是一个估计值而不是精确值。

发布时间：2026/9/1 14:20:26  阅读次数：40