全球定位系统（GPS）的相对论修正

郑庆璋    罗蔚茵

（中山大学物理系        广东广州        510275）

（收稿日期：2011-04-15）

摘要：讨论对全球定位系统（GPS）中卫星钟与地面钟的相对论修正，指出一天下来，卫星钟比地面钟的走时率要快约 38 μs，在这段时间内，光走过约 11 km 的距离，若不作修正，则结果是没有实用意义的。此外，进一步分析指出，运动效应使卫星钟比地面钟一天走慢约 7 μs；引力效应使卫星钟比地面钟一天走快约 45 μs。

关键词：全球定位系统        卫星钟    地面钟    相对论修正

1    引言

传统的观念认为，狭义相对论的运动学效应只有在微观世界中才明显出现，才有实际应用；而广义相对论则由于引力微弱，只有在宇观世界方显作用。然而，自从全球卫星定位系统（GPS）开发以来，情况大为改观。

全球定位系统 GPS（Global Positioning System）至少由 24 颗绕地极卫星所组成，分成6个轨道，运行于约 20 200 km 的高空，绕地球一周约12 h。由此可保证地面上任何地方、任何时刻的接收机，都能无障碍地接收到 4 颗卫星发射载有卫星轨道数据及时间的无线电信号，实时地计算出接收机所在位置的坐标、移动速度及时间。

由于信息传递速度即光速是不变量，因此精确定位的关键是卫星发射信号的时刻和接收机收到信号的时间差。准确度在 30 m 之内的 GPS 接受器就意味着它已经利用了相对论效应的修正。华盛顿大学物理学家 Clifford M.Will 指出[1]：“如果不考虑相对论效应，卫星上的时钟就和地面上的时钟不同步。”相对论认为，快速运动的钟走时率要比静止的慢；而在较强引力场中的钟也比在较弱引力场中的要慢。Will  进一步指出，由于运动原因，GPS 卫星钟每天要比地面钟大约慢 7 μs；而引力对两者施加了更大的相对论效应，使卫星钟大约每天要比地面钟快 45 μs。两种效应共产生 38 μs 的偏差，在这段时间内，光走过约 11 km 的距离，可谓“差之毫厘，谬之千里”。

本文在相对论的物理基础上，介绍对GPS时钟不同步修正的基本思想，并粗略做一些数值估算，目的是引起大家对相对论在日常生活应用中意义的重视。

2  估算相对论效应的物理基础

为突出主要矛盾，只考虑地球引力场所起的作用。这是我们估算相对论效应对GPS时钟不同步修正的物理基础。

首先，选地心系（坐标原点在地心，坐标轴指向远处恒星）为基本参考系。表面上看，地心绕日公转的加速度约为 a_地心 = 5.9×10⁻³ m/s² 不算很小，但注意到太阳的引力刚好与这点的惯性离心力抵消（等效原理）。因此可以说，相对于太阳引力场（甚至银河系和更远的星系团），地心系是一个局域惯性系。至于这个局域惯性系的适用范围有多大，要视研究问题的性质而定。

对于现在所讨论的问题，地心到日心的距离 R_日 = 1.49×10¹¹ m，GPS 卫星到日心的距离与 R_日 的最大差距为

ΔR_日 = R_地 + h_卫 = 2.66×10⁷ m

其中 R_地 = 6.4×10⁶ m 为地球的半径，h_卫 = 2.02×10⁷ m 为卫星离地面的高度。在这个范围内，太阳的引力场强最大误差值为

\[{\left| {\frac{{{\rm{d}}{g_日}}}{{{\rm{d}}r}} \cdot \Delta {R_日}} \right|_{r = {R_日}}} = {\left| {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}r}}\left( {\frac{{G{M_日}}}{{{r^2}}}} \right) \cdot \Delta {R_日}} \right|_{r = {R_日}}} = \frac{{G{M_日}}}{{R_日^2}} \cdot \frac{{2\Delta {R_日}}}{{{R_日}}} = {g_日} \cdot \frac{{2\Delta {R_日}}}{{{R_日}}} = 3.57 \times {10^{ - 4}}{g_日} = 3.57 \times {10^{ - 4}}{a_{地心}}\]

在我们估算的精度（两位有效数字）范围内，只考虑地球引力场所起的作用是可以接受的。

3  史瓦西度规

在地心系中，可以不考虑地球的自转而只考虑引力效应，这是因为地球的自转效应与其引力效应相比可以忽略[2]，因此把地球附近的引力场近似地视为球对称的史瓦西（Schwarzschild）引力场，其时空间隔为^[1]

\[{\rm{d}}{s^2} =  - {\left( {1 - \frac{{{r_{\rm{S}}}}}{r}} \right)^{ - 1}}{c^2}{\rm{d}}{t^2} + {\left( {1 - \frac{{{r_{\rm{S}}}}}{r}} \right)^{ - 1}}{c^2}{\rm{d}}{r^2} + {r^2}({\rm{d}}{\theta ^2} + {\sin ^2}\theta {\rm{d}}{\varphi ^2})\tag{1}\]

其中 c 为真空中光速，r_S = \(\dfrac{{2GM}}{{{c^2}}}\) 称为史瓦西半径。

注意到 ds² = − c²dτ² 以及

\[{\rm{d}}{L^2} = {\left( {1 - \frac{{{r_{\rm{S}}}}}{r}} \right)^{ - 1}}{c^2}{\rm{d}}{r^2} + {r^2}({\rm{d}}{\theta ^2} + {\sin ^2}\theta {\rm{d}}{\varphi ^2})\]

其中 dL 为时空中相邻两点的固有距离^[2]，dτ 为固有时间间隔。（1）式又可写成

\[\begin{array}{l} - \dfrac{{{\rm{d}}{s^2}}}{{{c^2}{\rm{d}}{t^2}}} = \left( {1 - \dfrac{{{r_{\rm{S}}}}}{r}} \right) - \dfrac{{{\rm{d}}{L^2}}}{{{c^2}{\rm{d}}{t^2}}}\\\dfrac{{{\rm{d}}{\tau ^2}}}{{{\rm{d}}{t^2}}} = \left( {1 - \dfrac{{{r_{\rm{S}}}}}{r}} \right) - \dfrac{{{v^2}}}{{{c^2}}}\end{array}\tag{2}\]

其中 v 为时空点（这里是钟）的运动速度。[3]

4  卫星钟和地面钟的相对论修正

若 dτ_卫星 和 dτ_地面 分别为卫星钟和地面钟的固有时间间隔，则有

\[{\left( {\frac{{{\rm{d}}{\tau _{卫星}}}}{{{\rm{d}}{\tau _{地面}}}}} \right)^2} = \dfrac{{\left( {1 - \dfrac{{{r_{{\rm{S地}}}}}}{{{r_{卫星}}}}} \right) - \dfrac{{v_{卫星}^2}}{{{c^2}}}}}{{\left( {1 - \dfrac{{{r_{{\rm{S地}}}}}}{{{r_{地面}}}}} \right) - \dfrac{{v_{地面}^2}}{{{c^2}}}}}\tag{3}\]

其中 r_S地 = \(\frac{{2G{M_地}}}{{{c^2}}}\) = 8.9×10⁻³ m 为地球的史瓦西半径，r_卫星 和 r_地面 为卫星和地面至地心的距离，v_卫星 和 v_地面 为卫星钟和地面钟的运动速度（图 1）。

考虑到卫星速度比光速小很多，可用经典力学计算。由向心力公式

\[\frac{{Gm{M_地}}}{{r_{卫星}^2}} = m\frac{{v_{卫星}^2}}{{{r_{卫星}}}}\]

得

\[v_{卫星}^2 = \frac{{G{M_地}}}{{{r_{卫星}}}} = \frac{{2{c^2}G{M_地}}}{{2{c^2}{r_{卫星}}}} = \frac{{{c^2}{r_{{\rm{S地}}}}}}{{2{r_{卫星}}}}\]

即

\[\frac{{v_{卫星}^2}}{{{c^2}}} = \frac{{{r_{{\rm{S地}}}}}}{{2{r_{卫星}}}}\tag{4}\]

于是（3）式又可写成

\[{\left( {\frac{{{\rm{d}}{\tau _{卫星}}}}{{{\rm{d}}{\tau _{地面}}}}} \right)^2} = \dfrac{{\left( {1 - \dfrac{{{r_{{\rm{S地}}}}}}{{{r_{卫星}}}}} \right) - \dfrac{{{r_{{\rm{S地}}}}}}{{2{r_{卫星}}}}}}{{\left( {1 - \dfrac{{{r_{{\rm{S地}}}}}}{{{r_{地面}}}}} \right) - \dfrac{{v_{地面}^2}}{{{c^2}}}}} = \dfrac{{1 - \dfrac{{3{r_{{\rm{S地}}}}}}{{2{r_{卫星}}}}}}{{\left( {1 - \dfrac{{{r_{{\rm{S地}}}}}}{{{r_{地面}}}}} \right) - \dfrac{{v_{地面}^2}}{{{c^2}}}}}\tag{5}\]

代入有关数据，可以算出卫星钟相对于地面钟每秒走快约 0.44 ns；其中运动效应走慢约 0.08 ns，引力效应走快约 0.52 ns。

由于该误差是累积的，因此，要准确定位，就不能不考虑相对论修正。

5  结语

（1）相对论的应用不再只是微观世界高速运动的粒子，或宇观世界大尺度时空的“专利”，而是深入到日常生活中的 GPS 或其他需要精密计算的领域。

（2）卫星钟到地心的距离约为地面钟到地心距离的 4 倍，而引力场强约为 16 倍，引力效应使它比地面钟走快很多，每天走快约 45 μs；而地面钟与地面连在一起，它的运动速度远小于卫星速度，这就使得卫星钟比地面钟每天走慢约 7 μs。总的效应是使卫星钟比地面钟每天走快约 38 μs。为什么通常十分微弱的引力在 GPS 的修正中起主要作用？这是因为运动效应在此情况下更微弱。从（4）、（5）式就容易看到，即使卫星钟运动速度快如卫星，它的运动学效应也只有引力效应的一半。

（3）由于传播信号的速度是光速，38 μs 这段时差内，信号传播约 11 km 的距离，因此如不作修正，对精确定位是没有意义的。当然，本文所作的分析和讨论（包括附录中的数值估算），也只是给出相对论修正的主要结果。如要更进一步提高定位的精度，还要考虑卫星沿着一个偏心轨道，有时离地球较近，有时又离得较远；要考虑地面钟的运动以及太阳引力梯度的影响等，作更深入的分析和细致的精密计算。

附录：

（1）有关数值估算

首先估算卫星钟的运动速度。由（4）式知

\[{v_{卫星}} = \sqrt {\frac{{{r_{{\rm{S地}}}}}}{{2{r_{卫星}}}}} c = 3.88 \times {10^3}\;{\rm{m/s}}\]

其次考虑地面钟，地面钟与所处的地理位置及 相对于地面的运动有关，若它停在赤道上，则

\[{v_{地面}} = \frac{{2\pi {r_{地面}}}}{T} = 4.56 \times {10^2}\;{\rm{m/s}}\]

与卫星钟相差一个数量级；而相对论运动学效应则是由 确定的，即其效应实际相差两个数量级。因此暂时忽略地面钟的运动也不会对我们的粗略估算产生太大的影响。考虑到 \(\dfrac{{{v^2}}}{{{c^2}}}\) 是非常小的微量，其高次项可以忽略，（5）式可以化简为

\[{\left( {\frac{{{\rm{d}}{\tau _{卫星}}}}{{{\rm{d}}{\tau _{地面}}}}} \right)^2} = \dfrac{{\left( {1 - \dfrac{{{r_{{\rm{S地}}}}}}{{{r_{卫星}}}}} \right) - \dfrac{{v_{卫星}^2}}{{{c^2}}}}}{{1 - \dfrac{{{r_{{\rm{S地}}}}}}{{{r_{地面}}}}}} = \dfrac{{1 - \dfrac{{3{r_{{\rm{S地}}}}}}{{2{r_{卫星}}}}}}{{1 - \dfrac{{{r_{{\rm{S地}}}}}}{{{r_{地面}}}}}} \approx \left( {1 - \dfrac{{3{r_{{\rm{S地}}}}}}{{2{r_{卫星}}}}} \right)\left( {1 + \dfrac{{{r_{{\rm{S地}}}}}}{{{r_{地面}}}}} \right) \approx 1 - \dfrac{{3{r_{{\rm{S地}}}}}}{{2{r_{卫星}}}} + \dfrac{{{r_{{\rm{S地}}}}}}{{{r_{地面}}}}\]

\[\frac{{{\rm{d}}{\tau _{卫星}}}}{{{\rm{d}}{\tau _{地面}}}} \approx 1 + \frac{1}{2}\left( { - \frac{{3{r_{{\rm{S地}}}}}}{{2{r_{卫星}}}} + \frac{{{r_{{\rm{S地}}}}}}{{{r_{地面}}}}} \right) = 1 - \frac{{3{r_{{\rm{S地}}}}}}{{4{r_{卫星}}}} + \frac{{{r_{{\rm{S地}}}}}}{{2{r_{地面}}}}\tag{6}\]

把 r_S地 = \(\dfrac{{2G{M_地}}}{{{c^2}}}\) = 8.9×10⁻³ m 和 r_地面 = 6.4×10⁶ 以及 r_卫星 = 2.66×10⁷ m 代入（6）式，得

\[\frac{{{\rm{d}}{\tau _{卫星}}}}{{{\rm{d}}{\tau _{地面}}}} \approx 1 - \frac{{3{r_{{\rm{S地}}}}}}{{4{r_{卫星}}}} + \frac{{{r_{{\rm{S地}}}}}}{{2{r_{地面}}}} = 1 + 4.44 \times {10^{ - 10}}\]

由此可得

\[\frac{{\Delta \tau }}{\tau } = \frac{{{\rm{d}}{\tau _{卫星}} - {\rm{d}}{\tau _{地面}}}}{{{\rm{d}}{\tau _{地面}}}} = 4.44 \times {10^{ - 10}}\]

可见卫星钟在 1 s 内，比地面钟走快约 0.444 ns，而在一天（86 400 s）内走快 38.4 μs。

（2）分别考虑引力效应和运动效应

1）考虑引力效应

\[{\left( {\frac{{\Delta \tau }}{\tau }} \right)_G} = {\left( {\dfrac{{{\rm{d}}{\tau _{卫星}} - {\rm{d}}{\tau _{地面}}}}{{{\rm{d}}{\tau _{地面}}}}} \right)_G} = {\left( {\dfrac{{{\rm{d}}{\tau _{卫星}}}}{{{\rm{d}}{\tau _{地面地面}}}}} \right)_G} - 1 = \dfrac{{{{\left( {1 - \dfrac{{{r_{{\rm{S地}}}}}}{{{r_{卫星}}}}} \right)}^{1/2}}}}{{{{\left( {1 - \dfrac{{{r_{{\rm{S地}}}}}}{{{r_{地面}}}}} \right)}^{1/2}}}} - 1 \approx \left( {1 - \dfrac{{3{r_{{\rm{S地}}}}}}{{2{r_{卫星}}}}} \right)\left( {1 + \dfrac{{{r_{{\rm{S地}}}}}}{{{r_{地面}}}}} \right) - 1 \approx \dfrac{{{r_{{\rm{S地}}}}({r_{卫星}} - {r_{地面}})}}{{2{r_{卫星}}{r_{地面}}}} = 5.28 \times {10^{ - 10}}\]

即卫星钟在 1 s 内，引力效应使它比地面钟走快约 0.528 ns，而在一天（86 400 s）内走快 45.4 μs。

2）考虑运动效应

\[{\left( {\frac{{\Delta \tau }}{\tau }} \right)_{\rm{m}}} = {\left( {\dfrac{{{\rm{d}}{\tau _{卫星}} - {\rm{d}}{\tau _{地面}}}}{{{\rm{d}}{\tau _{地面}}}}} \right)_{\rm{m}}} = {\left( {\dfrac{{{\rm{d}}{\tau _{卫星}}}}{{{\rm{d}}{\tau _{地面}}}}} \right)_{\rm{m}}} - 1 = \dfrac{{{{\left( {1 - \dfrac{{v_{卫星}^2}}{{{c^2}}}} \right)}^{1/2}}}}{{{{\left( {1 - \dfrac{{v_{地面}^2}}{{{c^2}}}} \right)}^{1/2}}}} - 1 \approx \left( {1 - \dfrac{{v_{卫星}^2}}{{2{c^2}}}} \right)\left( {1 + \dfrac{{v_{地面}^2}}{{2{c^2}}}} \right) - 1 \approx  - \dfrac{{v_{卫星}^2}}{{2{c^2}}} =  - \frac{{{r_{{\rm{S地}}}}}}{{4{r_卫星}}} =  - 8.36 \times {10^{ - 11}}\]

这就是说，卫星钟在 1 s 内，运动效应使它比地面钟走慢约 0.084 ns，而在一天（86 400 s）内走慢约 7.3 μs。

总之，卫星钟在 1 s 内，由于引力和运动效应，使它比地面钟走快约 0.444 ns，一天（86 400 s）内约走快 38.4 μs。

参考文献

1  郑庆璋，崔世治。广义相对论引论基本教程。广州：中山大学出版社，1991.266

2  俞允强。广义相对论引论（第二版）。北京：北京大学出版社，1997.81

发布时间：2025/10/12 上午11:54:47  阅读次数：174