第十二节、透镜成像公式
一、透镜成像公式
透镜成像的物距、像距和焦距之间的关系,也可以用公式表示出来,下面我们来推导这个公式。
在图 5–47 中,AB 是物体,它到凸透镜的距离为 u;A′B′ 是 AB 的像,像到凸透镜的距离为 v;凸透镜的焦距为 f。从图中可以看出,△COF′ ∽ △A′B′F′,所以
\[\frac{{CO}}{{A'B'}} = \frac{{OF'}}{{B'F'}}\]

另外,△ABO ∽ △A′B′O,所以
\[\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BO}}{{B'O}}\]
因为 CO = AB,所以上面两式的左边相等,因而这两个式子的右边也相等,即
\[\frac{{OF'}}{{B'F'}} = \frac{{BO}}{{B'O}}\]
而 OF′ = f,B′F′ = v − f,BO = u,B′O = v,把这些代入上式,可得
\[\frac{f}{{v - f}} = \frac{u}{v}\]
这个式子用起来不方便,变形后得到
\[fv + fu = uv\]
再用 uvf 除等式两边,就得到凸透镜成像的公式:
\[\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f}\]
上面的公式也适用于凹透镜成像(同学们可在后面的练习中自己证明)。在运用透镜成像的公式时,需要注意:凸透镜的焦距 f 取正值,凹透镜的焦距 f 取负值;物体到透镜的距离 u 总取正值;实像的像距 v 取正值,虚像的像距 v 取负值。
二、像的放大率
透镜所成的像跟物体相比,可以是放大或缩小的,也可以跟物体大小相等。为了说明像的放大情况,我们把像的长度 A′B′ 跟物体的长度 AB 之比,叫做像的放大率,并且用 m 表示,即放大率
\[m = \frac{{A'B'}}{{AB}}\]
从图 5–47 可知,\(\frac{{A'B'}}{{AB}}\) = \(\frac{v}{u}\),所以
\[m = \frac{v}{u}\]
即像的放大率等于像距与物距的比值。计算放大率时像距 v 取绝对值,所以放大率 m 总是正值。
【例题】下面是一种测量凸透镜焦距的方法:如图 5–48 所示,使蜡烛和光屏相距一定的距离 L,将凸透镜从蜡烛向光屏移动,移动到位置 A 时,在光屏上得到蜡烛放大的实像;移动到位置 B 时,在光屏上得到蜡烛缩小的实像,测出 A、B 间的距离 d,利用测得的 L 和 d 即可求出凸透镜的焦距。试求出这个焦距。

设凸透镜的焦距为 f,透镜在 A 时物距为 u1,像距为 v1,透镜在 B 时物距为 u2,像距为 v2。利用透镜成像公式可得:
\[\frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{v_1}}} = \frac{1}{f}\tag{1}\label{1}\]
\[\frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{v_2}}} = \frac{1}{f}\tag{2}\label{2}\]
由(1)(2)两式得
\[\frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{v_1}}} = \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{v_2}}}\]
从图上可知,v1 = L − u1,u2 = u1 + d,v2 = L − u1 − d,代入上式,以消去 v1、u2 和 v2,得
\[\frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{L - {u_1}}} = \frac{1}{{{u_1} + d}} + \frac{1}{{L - {u_1} - d}}\]
把上式整理化简,可得
\[{u_1} = \frac{1}{2}(L - d)\]
把上式和 v1 = L − u1 代入 (5.3) 式,化简后可得
\[f = \frac{{{L^2} - {d^2}}}{{4L}}\]
这就是所求的计算凸透镜焦距的公式。这个公式在后面测定凸透镜焦距的实验中将要用到。
练习十
(1)试证明:\(\frac{1}{u}\) + \(\frac{1}{v}\) = \(\frac{1}{f}\) 也适用于凹透镜成像。(提示:对于凹透镜 f 和 v 应取负值)
(2)利用公式 \(\frac{1}{u}\) + \(\frac{1}{v}\) = \(\frac{1}{f}\) ,试讨论:
①对于凸透镜,物距 u 在什么范围内变化时,v 为正值,成实像?在什么范围内变化时,v 为负值,成虚像?
②对于凹透镜,v 能否为正值?
(3)一支蜡烛,距凸透镜 24 厘米,在离凸透镜 12 厘米的屏上得到清晰的像。这个凸透镜的焦距是多长?像是放大的还是缩小的?画出成像光路图。
(4)照相机的镜头相当于一个凸透镜,如果镜头的焦距为 10 厘米,底片长 3.6 厘米,要想给身高 1.8 米的人拍一张全身像,人到镜头的距离至少为多少米?
(5)用焦距为 10 厘米的凸透镜作放大镜来看微小的物体,要想使像成在离镜25 厘米的地方,镜到物的距离应为多少?这时看到的像放大了多少倍?
(6)物体位于离凹透镜 15 厘米处,凹透镜的焦距是 7.5 厘米,像距是多大?像的放大率是多大?
(7)幻灯机的镜头也相当于一个凸透镜,如果不改变幻灯机的镜头,当幻灯机到幕的距离增大时,应该怎样调节镜头到幻灯片的距离,才能得到清晰的像?这时幕上的像是变大还是变小?
发布时间:2025/5/23 下午2:57:01 阅读次数:1499