第十二节、透镜成像公式

一、透镜成像公式

透镜成像的物距、像距和焦距之间的关系，也可以用公式表示出来，下面我们来推导这个公式。

在图 5–47 中，AB 是物体，它到凸透镜的距离为 u；A′B′ 是 AB 的像，像到凸透镜的距离为 v；凸透镜的焦距为 f。从图中可以看出，△COF′ ∽ △A′B′F′，所以

\[\frac{{CO}}{{A'B'}} = \frac{{OF'}}{{B'F'}}\]

另外，△ABO ∽ △A′B′O，所以

\[\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BO}}{{B'O}}\]

因为 CO = AB，所以上面两式的左边相等，因而这两个式子的右边也相等，即

\[\frac{{OF'}}{{B'F'}} = \frac{{BO}}{{B'O}}\]

而 OF′ = f，B′F′ = v − f，BO = u，B′O = v，把这些代入上式，可得

\[\frac{f}{{v - f}} = \frac{u}{v}\]

这个式子用起来不方便，变形后得到

\[fv + fu = uv\]

再用 uvf 除等式两边，就得到凸透镜成像的公式：

\[\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f}\]

上面的公式也适用于凹透镜成像（同学们可在后面的练习中自己证明）。在运用透镜成像的公式时，需要注意：凸透镜的焦距 f 取正值，凹透镜的焦距 f 取负值；物体到透镜的距离 u 总取正值；实像的像距 v 取正值，虚像的像距 v 取负值。

二、像的放大率

透镜所成的像跟物体相比，可以是放大或缩小的，也可以跟物体大小相等。为了说明像的放大情况，我们把像的长度 A′B′ 跟物体的长度 AB 之比，叫做像的放大率，并且用 m 表示，即放大率

\[m = \frac{{A'B'}}{{AB}}\]

从图 5–47 可知，\(\frac{{A'B'}}{{AB}}\) = \(\frac{v}{u}\)，所以

\[m = \frac{v}{u}\]

即像的放大率等于像距与物距的比值。计算放大率时像距 v 取绝对值，所以放大率 m 总是正值。

【例题】下面是一种测量凸透镜焦距的方法：如图 5–48 所示，使蜡烛和光屏相距一定的距离 L，将凸透镜从蜡烛向光屏移动，移动到位置 A 时，在光屏上得到蜡烛放大的实像；移动到位置 B 时，在光屏上得到蜡烛缩小的实像，测出 A、B 间的距离 d，利用测得的 L 和 d 即可求出凸透镜的焦距。试求出这个焦距。

设凸透镜的焦距为 f，透镜在 A 时物距为 u₁，像距为 v₁，透镜在 B 时物距为 u₂，像距为 v₂。利用透镜成像公式可得：

\[\frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{v_1}}} = \frac{1}{f}\tag{1}\label{1}\]

\[\frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{v_2}}} = \frac{1}{f}\tag{2}\label{2}\]

由（1）（2）两式得

\[\frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{v_1}}} = \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{v_2}}}\]

从图上可知，v₁ = L − u₁，u₂ = u₁ + d，v₂ = L − u₁ − d，代入上式，以消去 v₁、u₂ 和 v₂，得

\[\frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{L - {u_1}}} = \frac{1}{{{u_1} + d}} + \frac{1}{{L - {u_1} - d}}\]

把上式整理化简，可得

\[{u_1} = \frac{1}{2}(L - d)\]

把上式和 v₁ = L − u₁ 代入 (5.3) 式，化简后可得

\[f = \frac{{{L^2} - {d^2}}}{{4L}}\]

这就是所求的计算凸透镜焦距的公式。这个公式在后面测定凸透镜焦距的实验中将要用到。

练习十

（1）试证明：\(\frac{1}{u}\) + \(\frac{1}{v}\) = \(\frac{1}{f}\) 也适用于凹透镜成像。（提示：对于凹透镜 f 和 v 应取负值）

（2）利用公式 \(\frac{1}{u}\) + \(\frac{1}{v}\) = \(\frac{1}{f}\) ，试讨论：

①对于凸透镜，物距 u 在什么范围内变化时，v 为正值，成实像？在什么范围内变化时，v 为负值，成虚像？

②对于凹透镜，v 能否为正值？

（3）一支蜡烛，距凸透镜 24 厘米，在离凸透镜 12 厘米的屏上得到清晰的像。这个凸透镜的焦距是多长？像是放大的还是缩小的？画出成像光路图。

（4）照相机的镜头相当于一个凸透镜，如果镜头的焦距为 10 厘米，底片长 3.6 厘米，要想给身高 1.8 米的人拍一张全身像，人到镜头的距离至少为多少米？

（5）用焦距为 10 厘米的凸透镜作放大镜来看微小的物体，要想使像成在离镜25 厘米的地方，镜到物的距离应为多少？这时看到的像放大了多少倍？

（6）物体位于离凹透镜 15 厘米处，凹透镜的焦距是 7.5 厘米，像距是多大？像的放大率是多大？

（7）幻灯机的镜头也相当于一个凸透镜，如果不改变幻灯机的镜头，当幻灯机到幕的距离增大时，应该怎样调节镜头到幻灯片的距离，才能得到清晰的像？这时幕上的像是变大还是变小？

发布时间：2025/5/23 下午2:57:01  阅读次数：1889