行波和驻波是什么?
从振源向外传播的机械波,虽然各质元都在各自的平衡位置附近振动,并不向外迁移,但其波形(波峰及波谷,或者密部及疏部)及能量都由振源处向外传播,称为行波。还有一种波,各质元都在原地振动,其波形及能量都不向外传播,称为驻波。
驻波,顾名思义是在原地振动而不向外传播的波,它是怎么产生的?与由振源产生而向外传播的行波有什么不同?这些便是本文要讨论的问题。
一、通过实验观察驻波
如图 1 所示,在导轨的一端 A 点固定一根细线,线的另一端 B 点与电磁打点计时器的振针相连,靠近固定端设置一个支架 O 把线支起。启动打点计时器,振针带动 B 点开始做简谐运动,可以观察到线上有扰动产生,慢慢地把支架向振针一边移动,至某一位置,可以看到线上产生了在原地而不向前传播的振动,即驻波。
其中右边与支架接触的 O 点是固定端,而左端的 B 点与打点计时器的振针连接,随它做简谐运动,线上产生的驻波中有一些点始终保持静止,称为波节,O 点就是右边第一个波节,而相邻波节中间振幅最大的点称为波腹,波节与波腹相间隔,二者间的距离是波长 λ 的 1/4,相邻的两个波节成者相邻的两个波腹间的距离都等于 λ/2。
二、驻波是怎样形成的?
振针带动细线的 B 点振动,产生向右传播的一列横波,传到最右端的 O 点时要发生反射。图 2(a)中的实线表示向右传播的这列波的部分波形,其前端刚传到 O 点。如果没有 O 点的阻碍,这部分波将继续向右传播,波形如图中右边的虚线所示,我们把它镜像反转过来,变成向左传播的波,如图 2(a)中 O 点左侧的虚线所示,它与继续从向右传播的波叠加的结果将完全抵消而成为一条直线,这不符合实际情况。实际情况是:当波在固定端 O 点反射回来后,其相位差了 π,即相差半个波长,如图 2(b)中 O 点左侧的虚线所示。这样的两列振幅和波长都相等、向相反方向传播的波叠加的结果,即为我们看到的驻波,如图 2(b)中的粗实线所示。
这种在固定端反射后,波“失去了”半个波长的现象,一般称为“半波损失”,简称“半波损”。
设向右传播的波的函数为 y1 = Acos(\(\frac{{2\pi }}{T}\)t − \(\frac{{2\pi }}{\lambda }\)x),反射回来的波的函数为 y2 = Acos(\(\frac{{2\pi }}{T}\)t + \(\frac{{2\pi }}{\lambda }\)x),二者叠加,y = y1 + y2 =A[cos(\(\frac{{2\pi }}{T}\)t − \(\frac{{2\pi }}{\lambda }\)x)+cos(\(\frac{{2\pi }}{T}\)t + \(\frac{{2\pi }}{\lambda }\)x)]。应用三角函数的和差化积公式,得出驻波的波函数为 y = 2Acos\(\frac{{2\pi }}{\lambda }\)x cos\(\frac{{2\pi }}{T}\)t。对于某一确定的时刻,即 t = ti 为某一确定值,则 y = 2A cos\(\frac{{2\pi }}{T}\)ti·cos\(\frac{{2\pi }}{\lambda }\)x,即为振幅小于等于 2A 的简谐波,其振幅的大小与时间 ti 的值有关。对于空间的某一确定的点,即 x = xi 为某一确定值,则 y = 2A cos\(\frac{{2\pi }}{\lambda }\)xi·cos\(\frac{{2\pi }}{T}\)t,即为振幅小于等于 2A 的简谐运动,其振幅的大小与位置 xi 的值有关。
驻波与行波的比较
二者都是周期性的波动现象,介质的各个质元都在其平衡位置附近振动,对于简谐波来说,各质元的振动都是简谐运动,其位移随时间按正弦或余弦规律变化,各质元受到的合力的大小都与位移成正比,方向与位移相反,即指向各自的平衡位置。
有如下几点不同:
①产生的原因不同:由振源的振动带动周围介质跟随振动,向外传播形成行波;由两列传播方向相反、振幅和波长相等的波叠加形成驻波。
②行波的波形图(波动图像)随时间变化,我们看到的就是其波形沿波的传播方向匀速移动;而驻波的波节保持不动,其余各点都做简谐运动,各点振动的周期都相同,两个相邻波节之间各点的相位相同,但振幅不相同,波节两侧点的相位相反。
③行波沿波的传播方向传输能量,这点在前面一篇中已经论述过;而驻波是原地振动,不向哪个方向传输能量。
下面对驻波的能量问题做定量的讨论:驻波的波函数为 y = Acoskx cosωt,设单位长度的质量为 ρ,则一小段长为 dl 的质元的动能
\[\Delta {E_{\rm{k}}} = \frac{1}{2}\rho \cdot dl{\left( {\frac{{\partial y}}{{\partial t}}} \right)^2} = \frac{1}{2}\rho \cdot dl{\omega ^2}{A^2}{\cos ^2}kx{\sin ^2}\omega t\tag{1}\label{1}\]
它的势能为
\[\Delta {E_p} = \frac{1}{2}\rho \cdot dl{\omega ^2}{A^2}{\sin ^2}kx{\cos ^2}\omega t\tag{2}\label{2}\]
比较上面的①②两式,同一小段绳上质元的动能和势能的峰值相等,但相位不同:时间上相差 T/4,空间上相差 λ/4。这说明,当所有质元都回到平衡位置的时刻,即 y = 0 的时刻,波腹点达到自己的最大速度,因而动能达到最大,除波节点以外的其他各质元同样达到各自的最大速度,动能达到最大,即驻波的能量以动能的形式存在,而动能的大部分都集中在波腹附近。当各质元到达各自的最大位移处时,速度为零,动能全部转化为势能,而波节处的质元的势能密度最大,因为波节处的 最大,波腹处的 为零,也就是这个时刻驻波的能量全部以势能的形式存在,而势能集中在波节附近。
概括一下,驻波的能量在相邻的两个波节点之间发生能量形式的转化和位置的转移,各质元从最大位移处向平衡位置运动的 T/4 时间段内,势能向动能转化,并且从波节处向波腹处转移,而在各质元从平衡位置处向最大位移处运动的下一个 T/4 时间段内,动能向势能转化,并且从波腹处向波节处转移,如果没有能量损耗,将维持稳定的振动状态。
文件下载(已下载 7 次)发布时间:2025/1/25 下午9:43:02 阅读次数:167