什么是波动中的两个周期性?
沿 x 方向传播的一维简谐波的波动方程是时间 t 和位置坐标 x 的二元函数,其位移 y = Acos [2π(\(\frac{t}{T}\)− \(\frac{x}{\lambda }\))+ φ0],式中 T 称为时间周期,λ 称为空间周期(即波长)。对于确定的质元来说,其位置坐标 x 是常量,它的位移 y 只是 t 的函数,并且以 T 为周期按正弦(或余弦)规律变化,其图像即为振动图像;对于确定的时间点,t 为确定值,各质元的位移 y 只是 x 的函数,并且以 λ 为周期按正弦(或余弦)规律变化,其图像即为波动图像。
机械波是机械振动在介质中的传播,振源做简谐运动,其位移随时间按正弦或余弦规律做周期性变化,它带动周边的质元跟随其振动,周边质元的相位落后于振源的相位,但频率与振源的振动频率相等。周边的质元振动又会带动周边的质元,如此便形成了波。沿波的传播方向,各质元的振动相位依次落后,至某一距离,相位相差一个周期,因此,沿波的传播方向,各质元的振动随空间位置的变化呈现周期性。这就是波动中的两个周期性。
一、一维简谐波的波函数
设有一列沿 x 方向传播的简谐波,各质元相对于各处的平衡位置的位移 y(y 对于横波来说,是垂直于波传播方向的横向位移,对于纵波来说,是与波传播方向在同一条直线上的纵向位移)既与时间 t 有关,又与位置坐标 x 有关,或者说,y 是 t、x 的二元函数,其函数关系式又被称为波函数。
如果振源的位移随时间变化的关系是 y振源 = Acos(\({\frac{{2\pi }}{T}}\)t + φ0),沿波的传播方向距离振源为 x 的质元,相位比振源落后 2π \(\frac{x}{\lambda }\),因此该点的位移为
\[y(t,x) = A\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}t - \frac{{2\pi }}{\lambda }x + {\varphi _0}} \right)\tag{1}\label{1}\]
①式一般被称为波函数。
如果只讨论坐标 x = xi 的质元的振动状态,即上面①式中的 x = xi 为定值,那么它的位移为
\[{y_{{x_i}}} = A\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}t - \frac{{2\pi }}{\lambda }{x_i} + {\varphi _0}} \right) = A\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}t + {\varphi _{0{x_i}}}} \right)\tag{2}\label{2}\]
此即为点 xi 的振动方程,其中 φ0xi = φ0 − \({\frac{{2\pi }}{\lambda }}\) xi。
如果只讨论 t = ti 的时刻沿 x 方向各质元的振动状态,即上面波函数中的 t = ti 为定值,那么它的位移为
\[{y_{{t_i}}} = A\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}{t_i} - \frac{{2\pi }}{\lambda }x + {\varphi _0}} \right) = A\cos \left( { - \frac{{2\pi }}{\lambda }x + {\varphi _{0{t_i}}}} \right)\tag{3}\label{3}\]
此即为 ti 时刻的波动方程,其中 φ0ti = φ0 + \({\frac{{2\pi }}{T}}\) ti。
二、振动图像和波动图像
图像是直观、形象地描述物理量间变化规律的工具,但图像是画在平面上的,它只有两个坐标轴,只能描述两个物理量间的依存和变化规律。要用图像描述波动现象,无法在一幅图上描述出位移 y 与时间 t、位置坐标 x 三个物理量间的关系,因此只能分别描述在 x 保持一定的条件下 y 与 t 的关系,以及在 t 保持一定的条件下 y 与 x 的关系,前者即为振动图像,后者则为波动图像。
如图 1 所示为某质元的振动图像,它的横坐标为时间 t,纵坐标为位移 y,用函数式表示为 y = Acos\(\left( {\frac{{2\pi }}{T}t + {\varphi _{0{x_i}}}} \right)\),经过时间 T,状态恢复到初始时刻,即 t = 0 时刻,T 称为周期,φ0xi 为初相,它与振源的初相以及该点与振源的距离有关。
如图 2 所示为某 ti 时刻的波动图像,它的横坐标为位置坐标 x,纵坐标为位移 y,用函数式表示就是 y = Acos\(\left( {\frac{{2\pi }}{\lambda }x + {\varphi _{0{t_i}}}} \right)\),与原点 O 距离为 λ 的点振动状态与 O 点相同,λ 也是周期,为了与周期 T 区别,把 λ 称为空间周期(即波长),而 T 称为时间周期。φ0ti 为初相,它与振源 O 点在该时刻的相位相同。
关于波动图像与照片的关系:波动图像是描述沿波传播方向上各质元的相对平衡位置的位移 y 与其位置坐标 x 关系的图像,不是照片。首先,机械波分横波和纵波两种,对于横波,各质元的振动方向与波传播方向垂直,例如,沿绳传播的横波,其照片的确呈起伏状,有波峰和波谷,而对于纵波,其振动方向与波的传播方向在同一条直线上,例如,沿水平悬吊着的弹簧上传播的波,其照片呈疏密状分布,与波的图像很不相同。即使是横波,其照片与波动图像仍然不同:波动图像的横轴与纵轴虽然都是空间长度,但为了看得清楚,横轴与纵轴的单位一般不相同,例如,横轴可以以米为单位,而纵轴可以以厘米为单位,而照片则不是这样。横波的波动图像也可以看作经过处理后的照片(沿横轴或纵轴方向将其伸长或缩短而成的形状)。
三、简谐波两个周期间的联系
机械波是机械振动在介质中的传播,既与空间位置有关,也与时间有关,振动图像和波动图像各是从时间和空间两个不同的角度描述机械波,时间周期 T 和空间周期 λ 都是描述波动的物理量,它们之间存在着必然联系。
T 是简谐波传播过程振源以及其后各质元完成一次全振动所需的时间,而 λ 是振源在一个周期时间里传播的距离,λ 与 T 二者的商就等于波的传播速度 v,即 v = \(\frac{\lambda }{T}\)。波速 v 主要由介质决定,例如弹性固体介质,传播横波时的波速由剪切弹性模量决定,传播纵波时的波速由体变弹性模量决定。张紧的琴弦中的波速与张紧程度有关,而气体中的波速度则与气体密度及温度等有关。在波速 v 一定的条件下,λ 与 T 成正比。
如图 3 所示是沿 x 方向传播的某筒谐波的波动图像,为了简便,我们选取振源 O 点位于最大位移时为计时起点,即振源的振动方程为 y(O) =Acosωt = Acos\({\frac{{2\pi }}{T}}\)t。
如果振源连续地振动,则各质元都做简谐运动,其周期 T 及振幅 A 都与振源相同,只是相位有差别,图中的坐标为 x1 的质元,其振动方程为 y(x1) = Acos(ωt + φx1),其中 φx1 = 2π \(\frac{{{x_1}}}{\lambda }\)。
坐标为 x1 和 x2 的两个质元的振动周期 T 及振幅 A 相同,只是相位相差 Δφ = 2π \(\frac{{{x_2} - {x_1}}}{\lambda }\)。
如果振源只是短暂地振动,例如只振动几个周期即停止,它在介质中传播形成的波称为脉冲,那么沿波传播方向上的各质元将会延后一定时间开始振动,相应也会延后一定的时间停止振动。例如,图 3 中坐标为 x1 的质元,它延后的时间为 Δt1 = \(\frac{{{x_1}}}{v}\),式中 v 是波的传播速度。
文件下载(已下载 5 次)发布时间:2025/1/19 下午12:39:48 阅读次数:194