什么是位移共振及速度共振？

受迫振动时位移达到最大值称为位移共振，速度达到最大值称为速度共振。

对于一个固有频率为 ω₀ 的振动系统而言，是否达到共振与驱动力的频率 ω 有关，速度共振的条件是 ω = ω₀，而位移共振的条件则稍有不同，它是 ω ≈ ω₀，ω 与 ω₀ 的差值与阻尼有关，一般来说，阻尼越大，其差值也越大，但总体来讲，二者差值不大。

受迫振动时，满足一定条件，振幅达到最大值，称为共振。我们这里说的振幅，指的是位移峰值达到最大，称为位移共振。还有一种情况，即满足一定条件，速度的峰值达到最大，称为速度共振。二者需要满足的条件稍有不同。

一、位移共振的条件

根据受迫振动的动力学方程 m \(\frac{{{{\rm{d}}^2}x}}{{{\rm{d}}{t^2}}}\) + γ \(\frac{{{\rm{d}}x}}{{{\rm{d}}t}}\) + kx = F₀cosωt 解出的结果，稳定后的振动方程为 x（t）= Acos（ωt + φ），其中 ω 是外界驱动力的圆频率，振幅 A = \(\frac{{{F_0}}}{{m\sqrt {{{(\omega _0^2 - {\omega ^2})}^2} + 4{\beta ^2}{\omega ^2}} }}\)，式中 F₀ 是驱动力的峰值，m 是振子的质量，ω₀ 是振动系统的固有圆频率，ω 是驱动力的圆频率，β = γ/2m，γ 即阻力常数，而 β 称为阻尼常量，它反映阻尼的大小。

对于一个确定的振动系统，ω₀ 和 m 是常量，如果 β 保持不变，则振幅 A 是 ω 的函数，满足 \(\frac{{{\rm{d}}A}}{{{\rm{d}}\omega }}\) = 0 时的 ω 值即力位移共振条件，可得

\[\frac{{{\rm{d}}A}}{{{\rm{d}}\omega }} = \frac{{{F_0}}}{m}\left( { - \frac{1}{2}} \right){\left[ {(\omega _0^2 - {\omega ^2}) + 4{\beta ^2}{\omega ^2}} \right]^{ - \frac{3}{2}}}\left[ {2(\omega _0^2 - {\omega ^2})( - 2\omega ) + 8{\beta ^2}\omega } \right]\]

解得位移共振的条件是 ω = \(\sqrt {\omega _0^2 - 2{\beta ^2}} \)，振幅的最大值 A_max = \(\frac{{{F_0}}}{{2m\beta \sqrt {\omega _0^2 - {\beta ^2}} }}\)。

由上面的两个式子可以看出：①位移共振的条件并不是 ω = ω₀，而是 ω 稍小于 ω₀，ω 与 ω₀ 的差值跟阻尼常量 β 有关，β 越小，二者越接近，β 越大，二者偏离越大。如图 1 所示为共振曲线，它表示位移峰值 A 随驱动力频率 ω 变化的关系，共振曲线的尖峰位于稍小于固有频率 ω₀ 处。由于我们讨论的阻尼振动是 ω₀² > β² 的情况，因此该尖峰偏离 ω₀ 的程度并不是很大，说“驱动力的频率接近其固有频率时发生共振”是正确的。

②共振时振幅的最大值 A_max 也与 β 有关：β 越小，A_max 越大，即共振曲线的尖峰越尖；β 越大，A_max 越小，即共振曲线的尖峰越平缓。

补充：

根据函数式 A = \(\frac{{{F_0}}}{{m\sqrt {{{(\omega _0^2 - {\omega ^2})}^2} + 4{\beta ^2}{\omega ^2}} }}\) 绘制 A–ω 图像，其中 \(\frac{{{F_0}}}{m}\)、ω₀ 都取 1，可以动态改变 β 的值，看看函数的变化情况。

二、速度共振及其条件

在受迫振动达到稳定后，其运动是简谐运动，它的速度随时间变化的规律也是简谐的，我们把速度的峰值 V 称为速度振幅，它等于振幅 A 与圆频率 ω 的乘积，即有

\[V = \omega A = \frac{{\omega {F_0}}}{{m\sqrt {{{(\omega _0^2 - {\omega ^2})}^2} + 4{\beta ^2}{\omega ^2}} }}\]

同样，满足 \(\frac{{{\rm{d}}V}}{{{\rm{d}}\omega }}\) = 0 时的 ω 值即为速度共振条件。解得速度共振的条件是 ω = ω₀，振幅的最大值 V_max = \(\frac{{{F_0}}}{{2m\beta }}\)。

速度共振与位移共振的条件不同，它与阻尼常量 β 无关，总等于其固有频率 ω₀。但速度振幅的最大值 V_max 仍与 β 有关：β 越小，V_max 越大，即共振曲线的尖峰越尖；β 越大，V_max 越小，即共振曲线的尖峰越平缓，这方面与位移共振是相似的。

三、位移共振与速度共振哪个更重要？

在力学部分讨论受迫振动问题时，机械振动系统的固有频率 ω₀ 往往是固定的，而驱动力的频率 ω 是可调的，同时，在机械振动系统中，位移比较容易观察并且更直接地产生效果，因此着重考查振动系统位移随驱动力频率 ω 的变化规律，这就是我们前面所画的共振曲线都以驱动力的频率 ω 为自变量的原因。但在实际问题中，也不都是如此。例如，在讨论建筑物防震问题时，地震波作为驱动力，其频率大致在某一范围内，我们在进行建筑物的设计时，需要考虑让其固有频率尽量远离地震波的频率范围。

简谐运动并不限于机械振动，凡是某物理量随时间按正弦或余弦规律变化的，都是简谐运动，在电学中，电磁振荡是重要的简谐运动。而在讨论电学中电磁振荡问题时，外界的驱动频率 ω 常常是固定的，而电路的固有频率 ω₀ 却是可调的，因此我们需要把 ω₀ 作为自变量。同时，在电路中电流 I 是重要的物理量，因此在电学中常常讨论的是电流 I 随电路的固有频率 ω₀ 的变化规律，而电流相当于力学中的速度，即讨论的是速度共振问题。

发布时间：2025/1/8 下午9:00:28  阅读次数：123