正功与负功的物理意义是什么？

功是标量，没有方向，它的正负表示物体动能是增加还是减少，即正功使物体动能增加，负功使物体动能减少。功的正负不表示能量传递的方向，说甲对乙做正功就是甲给乙能量，而甲对乙做负功就是乙给甲能量，这是不正确的。

功的计算式是 W = Flcosθ，当力 F 与位移 l 间的夹角 θ < 90° 时，功 W 为正值；反之，当 90° < θ ≤ 180° 时，功 W 为负值。如何理解这个正值和负值呢？

一、正功与负功的物理意义

如图 1（a）所示，力 F 与位移 l 间的夹角 θ < 90°，把力 F 沿位移方向及垂直于位移方向进行正交分解，其中 F_⊥ 不做功，既做正功，它使得受力物体的运动速度增大，从而动能增加，因此称为动力；如图l（b）所示，力 F 与位移 l 间的夹角 90° < θ ≤ 180°，同样把力 F 沿位移方向及垂直于位移方向正交分解，其中 F_⊥ 不做功，F_∥ 做负功，它使得受力物体的运动速度减小，从而动能减少，因此称为阻力。

正功又称动力功，负功又称阻力功。它们表示的意思是：当只有一个力对物体做功时，正功使物体动能增加，负功使物体动能减少。如果有几个力对同一个物体做功，该物体的动能增加还是减少，要看这些力做功的总和是正还是负，总功是正功则物体动能增大，总功是负功则物体动能减少。动能定理是对此关系确切的数学表述，∑W = ΔE_k = E_k2 – E_k1，当 ∑W 为正值时，E_k2 > E_k1，即动能增加；当 ∑W 为负值时，E_k2 < E_k1，即动能减少。

功和动能都与参考系有关。我们说正功和负功，都是对某个确定的参考系说的，如果转换成另一个参考系，可能情况就不一样了。例如，站立在电梯地板上随电梯上升的人，以电梯为参考系，地板对他的支持力是不做功的；改为地面参考系，这个支持力就是做正功的；改换成相对该电梯以更快速度上升的另一电梯为参考系，这个支持力又是做负功的。

二、正功与负功不表示能量传递的方向

有一种说法，认为正功或负功表示能量传递的方向，例如，甲对乙做正功，就表示甲向乙传递能量；反之，甲对乙做负功，就表示乙向甲传递能量，这是不正确的。

功的正负与物体动能的增加或减少相联系，但动能只是能量的一种形式，动能增加不等于物体的能量增加。动能以及功的正负都与参考系有关，对某一参考系，力对物体做的是正功，物体动能增加，但换成另一参考系，该力对物体可能就做负功，它的动能就会减少。再者，乙对甲做正功，即使甲的动能增加，也不见得乙的动能一定减少，更不能确定乙的动能减少量等于甲的动能增加量。可以说，功的正负与动能的增加或减少都只具有相对意义。

下面举一个具体的例子：

如图 2 所示，在一列匀速行驶的列车车厢内，桌面上一个重球与列车倮持相对静止。坐在它前方的人用力推一下重球，它将向列车的后部运动。

选择重球为研究对象，以列车为参考系，人对球的作用力做正功，球的动能由零增加，这时说人向球传递能量，合情合理。

但若改换成以地面为参考系（这是中学物理教学中最常用的参考系），人对球的作用力对重球做负功，重球的速度由 v₀ 变为 v（一般来说，速度方向不变，但 v < v₀），动能减少，这时如果说是重球向人传递了能量，就显得很荒唐了。

当我们选择重球为研究对象时，人对球的作用力是外力，外力做功的正负决定了球的动能增加或减少，但那是对某一个选定的参考系而言的。功的正负不代表能量传递的方向。

如果我们把球与人二者作为一个系统，则人对球的作用力与球对人的作用力就是一对相互作用的内力，讨论内力的功就不是讨论某一个力的功而是一对力做功的总和，它引起的动能变化也是整个系统总动能的变化。如果人不与车厢发生相互作用，仅把人和球作为一个孤立系统对待，那么当人对球施加向后的作用力时，球的动能发生改变，同时，人的动能也要发生改变。至于各个物体的动能怎样变化，则与选择的参考系有关。

若选择匀速运动的车厢为参考系，人与球二者相互作用的结果力球由静止变为向后运动，人则由静止变为向前运动，二者动能都增加了，这增加的能量来自人的内力做功，是人体内的化学能转化为机械能，最终体现为动能的增加。

若选择地面参考系，人对球的作用力做负功，球的动能减少，球对人的作用力则做正功，人的动能增加。这一对相互作用的内力做功的总和为正值，即系统的总动能增加，其能量来源仍是人体内的化学能转化的。

下面我们定量计算一下两个不同参考系下的情况：设球的质量为 m、人的质量为 M，相互作用前球和人都相对车厢静止，车厢的速度为 v₀，相互作用后球相对车厢的速度为 v₀，方向与 v₀ 相反。

选择车厢参考系：球的初速度为 0，末速度为 v，方向向后，人的初速度也为 0，末速度为 V，方向向前。根据动量守恒，有 MV = mv，得 V = \(\frac{m}{M}\)v。

人对球的作用力做功等于球的动能的增量，即 W₁ = \(\frac{1}{2}\)mv²，

球对人的反作用力做功等于人的动能的增量，即 W₂ = \(\frac{1}{2}\)MV² = \(\frac{m}{M}\)\(\frac{1}{2}\)mv²，

这一对内力做功的总和为

\[W = {W_1} + {W_2} = \frac{{m + M}}{M}\frac{1}{2}m{v^2}\]

②选择地面参考系：球的初速度为 v₀，末速度为（v₀ − v），方向向前，人的初速度也为 v₀，末速度为 Vʹ，方向向前。根据动量守恒，有

\[MV' - M{v_0} = mv\]

得

\[V' = \frac{m}{M}v + {v_0}\]

人对球的作用力做功等于球的动能的增量，即

\[{W_1}^\prime  = \frac{1}{2}m{({v_0} - v)^2} - \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}m{v^2} - m{v_0}v\]

球对人的反作用力做功等于人的动能的增量，即

\[{W_2}^\prime  = \frac{1}{2}M{V^2} - \frac{1}{2}Mv_0^2 = \frac{m}{M}\frac{1}{2}m{v^2} + m{v_0}v\]

这一对内力做功的总和为

\[W = {W_1}^\prime  + {W_2}^\prime  = \frac{{m + M}}{M}\frac{1}{2}m{v^2}\]

不难看出，变换参考系后，每一个力所做的功数值都发生了变化，相应地，受力质点的动能增量也发生了变化，但一对内力做功的总和却没有变化，即系统总动能的增量没有变化。

当然，人是坐在车厢内的座椅上，当人向后推重球的过程中，人不可能与车厢没有相互作用，因此更合理的是把人与车厢作为一个整体，再加上重球作为研究对象（系统）。即上面的系统由整个列车及上面的人作为相互作用的一方，其质量为 M，相互作用的另一方为重球，其质量为 m，显然，M ≫ m。根据动量守恒，两部分的动量变化量大小相等、方向相反，则 M 的速度变化量要远远小于 m 的速度变化量，即列车（包括车内的人，下同）的速度变化可以忽略，认为列车仍然以原来的速度匀速行驶，但列车增加的动能却不可忽略。

若选择列车参考系，人推重球做功所消耗的能量，主要是增加了重球的动能；若选择地面参考系，重球的动能减少了，人做功消耗的能量体现在增加了列车的动能。一对相互作用的内力所做的总功，反映的是其他能量与系统总动能之间的转化量。

发布时间：2024/11/16 下午8:15:58  阅读次数：85