中学物理和大学普通物理教科书中，功的定义有什么不同？

高中阶段物理教科书上对功的定义是：W = Flcosα。大学普通物理教科书上对功的定义是：W_1→2 = \(\int_1^2 {{\boldsymbol{f}} \cdot d{\boldsymbol{l}}} \) = \(\int_1^2 {f\cos \alpha  \cdot dl} \)。前者是恒力 F 所做的功；后者是变力 f 所做的功，是普遍意义上功的定义。

功是物理学中的重要概念，由于中学阶段不使用高等数学的知识，因此中学阶段功的定义与大学普通物理中功的定义有所不同。

一、功的定义在中学及大学普通物理教科书中的表述

高中阶段物理教科书对功的定义是：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积，用公式表示是：W = Flcosα。

大学普通物理教科书对功的定义是：力对物体所做的功，等于力与位移矢量的标积（即力沿位移方向的分量与位移的乘积）沿运动轨道的线积分，用公式表示是：W_1→2 = \(\int_1^2 {{\boldsymbol{f}} \cdot d{\boldsymbol{l}}} \) = \(\int_1^2 {f\cos \alpha  \cdot dl} \)。

不难看出，中学物理教科书上关于功的定义是恒力 F 做功的定义，或者说这是恒力的功的定义。而大学普通物理教科书上的定义是变力 f 做功的定义，其中 f·dl 表达的是一个无穷小的元过程，称为元功，力 f 沿运动轨道的线积分就是这段过程中力 f 对物体所做的功。

应该说，这两种表述的基本点是一致的：①功是力对受力物体做的，即做功的主体是力。有时候我们也说某某物体做了功，例如甲对乙做了功，这是一种通俗的说法，既然大家都这么说，我们也不便强行纠正，但必须要强调这只是一种简单的说法，它的真实含义仍是甲对乙的作用力对乙做了功。②功是一个过程量，即它总是与受力物体的空间位置的变化相联系，无限小的元功是这段位置变化趋近于零的极限。如果这段做功的过程中物体是沿直线向同一方向运动，则这段过程中的总功与这段位移相联系；如果这段做功的过程中物体是沿曲线运动，或者沿一条直线但有往复运动的情况，则这段过程中的总功与这段过程中的路程相联系。③功是标量，力与位移都是矢量，两个矢量的标积是标量。

中学物理只给出恒力功的表达式，是因为中学阶段物理教学不涉及高等数学知识，不能用积分表示和计算变力的功。在实际问题中，变力做功的情况更为普遍，因此大学普通物理教科书中对功的定义采用的矢量及积分的表达形式具有普遍意义。

二、中学物理中能计算哪些力的功？

首先是计算恒力的功。恒力是指力的大小和方向都保持不变的力，最常见的是地面附近重力场中的重力及匀强电场中的电场力。恒力功的计算式是 W = Flcosα，其中 l 是位移的大小，由于位移的大小和方向都只决定于物体的始末位置，与通过的路径无关，因此恒力的功与受力物体的运动路径无关，只与物体的始末位置有关。

对于变力做功，可以把该过程分为若干段，如果每一段小过程中受到的力都是恒力，则可以把这些小段中力所做的功计算出来，再把各小段的功相加即可。如果一个过程中受到的力随时间连续变化，则只有把整个过程分成无穷多小段，才可以把每一小段过程中的作用力认为是恒力，这样就必须用积分的知识才能求出总和，因此，超出了对中学生的能力要求范围。下面的例子中，力虽然属于变力，但它做功的情况却是中学生可以解决的。

在滑动摩擦力做功的过程中，滑动摩擦力的方向总与物体间相对运动方向相反，若一个物体在另一个物体表面上做曲线运动，则摩擦力的方向随速度方向的变化而变化，因此虽然摩擦力是变力，但只要这个过程中摩擦力的大小保持不变，它与位移（指微小位移）的方向总保持 180°。如果摩擦力的大小为 f_滑动，运动过程中的总路程为 s，则这段过程中滑动摩擦力所做的负功大小为 W_滑动 = f_滑动·s。这与用公式 W_1→2 = \(\int_1^2 {{\boldsymbol{f}} \cdot d{\boldsymbol{l}}} \) = \(\int_1^2 {f\cos \alpha  \cdot dl} \)  计算得出的结果一致，对于中学生来说，用 W_滑动 = f_滑动·s 计算滑动摩擦力的功是现实可行的。

下面的例题综合了恒力（匀强电场的电场力）及滑动摩擦力两种力做功的情况，具有一定的代表性。

例  一个质量为 m，带有电荷 – q 的小物体，可在水平轨道 Ox 上运动，O 端有一个与轨道垂直的固定墙。轨道处于匀强电场中，场强大小为 E，方向沿 x 轴正向，如图 1 所示。小物体以初速度 v₀ 从 x₀ 点沿 Ox 轨道运动，运动时受到大小不变的摩擦力 f 作用，且 f < qE。设小物体与墙壁碰撞时不损失机械能，且电量保持不变，求它在停止运动前所通过的总路程。

分析：该物体在水平轨道上运动，初位置在 x₀ 处，初速度大小为 v₀，方向可能向右或向左，但不论它开始的运动方向是向右或者向左，它做的都是沿 Ox 轨道往图 1 带电物体在匀强电场中的运动复的变速运动，凡向右都做减速运动，凡向左都做加速运动，与墙壁发生碰撞的过程不损失机械能，即会以碰前的速率反向弹回。由于有 f < qE 的条件存在，最终必停止在 x = 0 处，即紧靠墙壁处。

由于物体始终沿水平轨道运动，竖直方向的作用力都不做功，水平方向做功的作用力有两个：一个是匀强电场的电场力 F，它是恒力；另一个是滑动摩擦力 f，它的大小保持不变，但方向随运动方向的变化而变化，属于阶段性变化的变力。恒力做功只与物体的始末位置有关，即与位移有关，而与运动路径无关；滑动摩擦力做功则与运动的路程有关。

解：小物体整个运动过程中，电场力 F 做正功，W_电场 = qEx₀，滑动摩擦力 f 做负功，W_摩擦 = −fs，其中 s 是该物体整个运动过程中经过的总路程。

根据动能定理，有

\[qE{x_0} - fs = 0 - \frac{1}{2}mv_0^2\]

解得

\[s = \frac{{2Eq{x_0} + mv_0^2}}{{2f}}\]

与滑动摩擦力做功类似的还有一些，例如沿磨道推磨的推力所做的功，磨盘绕竖直轴转动，推磨的力的作用点做圆周运动，该作用力的方向始终沿圆周的切线方向，属于变力，但如果该力的大小始终为 F 保持不变，由于它与速度 v 的方向始终相同，该力所做的正功 W_F = F·s，同样 s 为沿圆周运动的路程。

发布时间：2024/11/12 上午7:35:03  阅读次数：212