等量同种点电荷的电场，电场线分布情况如何？

等量同种点电荷的电场，其电场线图需要讨论的问题是，这两个点电荷的连线以及它们的中垂线画不画电场线？不管画不画，这两条线上各处是有电场的，即各点电场强度都有确定的值，但有两个特殊点：一是两点电荷连线的中点，该处的电场强度为零；另一处则在这两点电荷连线的垂直平分线上，从中心点开始向外，场强由零逐渐增大，而后再逐渐变小，因此会存在某一位置场强处于最大值，最大值的位置在何处，这是本文重点讨论的问题。

两个带等量正电的点电荷形成的电场，其电场线如图 1 所示，其中中间的四条线最为引人关注，两条线段分别从两点电荷出发相向而行，直至二者的中点处，另外两条射线则是从二者的中点处出发伸向无穷远处。两点电荷连线的中点处的场强等于零。

一、对两等量同号点电荷的电场线的一些误解和疑惑

很多中学物理教师是这样理解，并给学生讲解的：电场线的疏密反映了场强的大小，最靠近中垂线的两条电场线先逐渐靠近中垂线，至某处相距最近，而后又逐渐远离中垂线，而最靠近中垂线的位置就是中垂线上场强极大值处。

这其实是一种误解，下面我们通过数学推导加以说明：

（1）如图 2 所示，x 轴上相距原点 O 都等于 l/2的 C、D 两点处各有一个点电荷，电量都是 + Q，在 C、D 连线的垂直平分线（即 y 轴）上有一点 P，距离原点 O 为 r，根据电场的叠加原理，合场强大小 E(r) = 2kQ $\frac{r\sqrt{r^2+l^2/4}}{{(r^2+l^2/4)}^2}$，E 随 r 的取值不同有不同值，将 E(r) 对 r 求导并使其等于零，可得出 r = $\frac{\sqrt{2}}{4}$ l 处存在着极大值 E_max = $\frac{16\sqrt{3}kQ}{9l^2}$。

上面的推导也可以把变量 r 换成 θ，即

$$E(\theta )=8kQ\frac{{\cos }^2\theta \sin \theta }{l^2}=\frac{8kQ}{l^2}(1-{\sin }^2\theta )\sin \theta$$

将 E(θ) 对 θ 求导并使其等于 0，可得出 sinθ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时，即 r = $\frac{\sqrt{2}}{4}$ l 处存在着极大值 E_max = $\frac{16\sqrt{3}kQ}{9l^2}$，与上面所得的结果相同。

结论是：在两等量同号点电荷电场的垂直平分线上，r 由 0 至 ± $\frac{\sqrt{2}}{4}$ l （下面我们把 r = $\frac{\sqrt{2}}{4}$ l 的点标注为 A 点），场强 E 值从 0 逐渐增大到上述极大值，随后，r 值从 A 点增大直至趋于无穷远，相应的 E 值由极大值逐渐减小最后趋于 0。

（2）如图 3 所示，在 y 轴左侧很近的位置任取一点 P，它的纵坐标为 y，PC 与 x 轴夹角为 θ₁，则 C 点电荷的电场在 P 点的场强大小 E₁ = kQ $\frac{{\sin }^2{\theta }_1}{y^2}$，将其正交分解，其 x 轴分量

$$E_{1x}=kQ\frac{{\sin }^2{\theta }_1\cos {\theta }_1}{y^2}=\frac{kQ}{y^2}(1-{\cos }^2{\theta }_1)\cos {\theta }_1$$

同样，连接 PD，设其与 – x 方向的夹角为 θ₂（θ₂ < θ₁），则 D 点电荷的电场在 P 点的场强大小 E₂ = kQ $\frac{{\sin }^2{\theta }_2}{y^2}$，将其正交分解，其 x 轴分量

$$E_{2x}=kQ\frac{{\sin }^2{\theta }_2\cos {\theta }_2}{y^2}=\frac{kQ}{y^2}(1-{\cos }^2{\theta }_2)\cos {\theta }_2$$

其合场强的 x 分量 E_x = E_1x – E_2x = $\frac{kQ}{y^2}$ [(1 – cos²θ₁)cosθ₁ − (1 – cos²θ₂)cosθ₂]，若 E_x > 0，则合场强的 x 轴分量向右，通过该点的电场线将逐渐靠近 y 轴；若 E_x < 0，则合场强的 x 轴分量向左，通过该点的电场线将远离 y 轴。我们主要关心的是 E_x 的正负，其中 y 虽然也是变量，但它总是正的，因此 E_x 的正负只决定于上面式子中括号内的部分，由于总有 θ₁ 大于 θ₂，因此 E_x 的正负决定于函数 f(θ) = (1 – cos²θ)cosθ 的性质，若 f(θ) 是单调的增函数，则 E_x > 0；若 f(θ) 是单调的减函数，则 E_x < 0。

图 4 所示是 f(θ) 随 θ 变化的图像，不难看出，f(θ) 不是单调的函数，从 θ = 0 开始的阶段，f(θ) 随 θ 的增加而增加，至 θ 为某个数值时，f(θ) 达到最大值，而后 f(θ) 随 θ 的增加而减小。f(θ) 达到最大值的位置，正是两边的电场线最靠近 yOz 平面处，或说是两边的电场线相距最近处。下面就求这个位置：对 f(θ) 求导并令其等于 0，即得

$$-\sin \theta +3{\cos }^2\theta \sin \theta =0$$

得出当 cosθ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$（即 θ = 54.7°，0.954 弧度）时，f(θ) 达到最大值 $\frac{2\sqrt{3}}{9}$（约 0.385），这时两边的电场线最靠近 y 轴，如图 5 所示，我们把 y 轴上的该点标注为 B 点，B 点在 y 轴上的坐标为 r = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ l。

从图中不难看出，y 轴上场强最大的位置是 A 点，而两边的电场线相距最近处则是 B 点。显然，“两边电场线最靠近中垂线的位置就是中垂线上场强极大值处”的说法是不正确的。

这是否说明“电场线的疏密反映电场的强弱”的说法也不正确呢？那么，又该如何解释上面出现的“佯谬”呢？

二、电场线本应是空间分布的

问题出在实际的电场线是在空间分布的，而我们画出的电场线图都是平面上的电场线分布图，它不能真正反映电场线的空间分布情况。

我们把前面的图 1 加上坐标轴，并把 A 点和 B 点标在上面，如图 6 所示，它表示的是两个带等量正电的点电荷的电场在 xOy 平面上的电场线分布情况，而在 yOz 平面内的电场线分布则如图 7 所示。（初看起来它很像孤立点电荷电场的电场线图，但孤立点电荷的电场线是空间对称分布的，而这里反映的只是在 yOz 平面内的分布。）

把图 6 和图 7 放在一起，我们就可以比较全面地了解电场线在空间的分布情况了。从 O 开始沿 y 轴方向到 A 再到 B，它附近的电场线沿 x 方向是逐渐靠近的，或说是逐渐变密的；而沿 z 轴方向则是逐渐远离的，或说是逐渐变稀疏的。但这仅仅是两个特殊平面上电场线的分布情况，而电场线的疏密要从立体上看，即要在垂直于电场的方向上选取一个小面元，看穿过该小面元的电场线条数，因此我们不能仅仅根据图 6 就认定电场线在 B 点附近比在 A 点附近更密集。

三、引入“电场管”概念

赵凯华、陈熙谋二位先生合著的《电磁学》（下面简称《电磁学》）第 4 版第 34 页引入了“电场管”的概念，“我们先引入一个概念——电场管。由一束电场线围成的管状区域，叫作电场管。由于电场线总是平行于电场管的侧壁，因而没有电场强度通量穿过侧壁。”

电场管其实是电场线概念的扩展，我们可以把原来数目有限的每一条电场线都扩展成一根电场管，每个电场管内有很多条电场线，这样就相当于把原来的一条电场线“细化”为电场管内的多条电场线。下面我们就按照这个思路进行讨论。

设 O 点固定一个孤立的点电荷 + Q，则它的电场线在空间呈均匀放射状分布，设共有 N 条电场线，我们将其扩展成 N 根电场管，每根电场管的侧壁都是一个圆锥面，其顶点为 O 点，立体角为 4π/N。

现在有两个电荷量都是 + Q 的点电荷，分别位于 x 轴上 – l/2 和 + l/2 处，两电荷周围空间各有 N 根电场管，空间共 2N 根电场管。由于两个电场的叠加，所以这些电场管的形状都发生了改变。除了沿 x 轴方向相向的电场管以外，其余各根电场管的侧壁都变弯曲了，但并没有更大的改变；沿 x 轴方向相向的两根电场管却发生了翻天覆地的变化：原来两根独立的、相向而行的电场管分别向四周扩展，完全融合在一起，成为一个“电场饼”，这个“电场饼”是关于 yOz 平面对称的，它的源头分别在两个点电荷处，其样子有点像两朵盛开的喇叭花，花蕊相对，两边花瓣相距最近处，即“电场饼”的最“薄”处应该在离 O 点距离 r = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ l 处的圆周上，而后随着 r 距离变大又逐渐变“厚”。如图 8 所示，是这个“电场饼”在 xOy 平面内的截面图，其中画斜线的部分即是它的内部，该图形绕 x 轴旋转一周所得到的旋转体就是这个“电场饼”的全貌。

这个“电场饼”内有很多条电场线，这些电场线分别由 C 点和 D 点处的点电荷发出，它们中有些仍分别在 yOz 平面的两侧向无穷远延伸，但也有些真正“融合”在一起，在 yOz 平面内呈放射状排布。可以这样说：引入电场管的概念，相当于拿一个“放大镜”观察电场线图，由于“放大镜”的作用，我们看到了更多、更细致的电场线。

引入电场管概念的好处之一，是可以更方便地选取“高斯面”：由于电场管的侧壁没有电场线穿过，因此对于同一根电场管，穿过它的任意截面的电场线条数，即电场强度通量都相等，而电场管的截面越大的地方电场线的数密度越小，即电场强度越小；反之，电场管截面越小的地方，电场线数密度越大，即电场强度越大。下面我们为了简便，沿着等势面截取电场管，由于该电场管内的所有电场线都垂直穿过那些截面，我们把这些截面称为“高斯面的有效部分”，在同一个电场管上截取的所有“高斯面的有效部分”都垂直穿过相同数量的电场强度通量，因此我们可以根据这些“高斯面的有效部分”的面积的大小判定该处场强的大小。

如图 9 所示是《电磁学》上的图 1–47（b），图中电场线用虚线表示，而等势面则用实线表示。我们只研究从两个点电荷出发相向而行，并最终完全融合在一起的那两根电场管，并在图 9 中所画出的等势面的位置截取 5 个“高斯面的有效部分”，如图 10 所示，是它在 xOy 平面的平面图，其中标注着①—⑤的就是在等势面位置处所截取的 5 个“高斯面的有效都分”。可以看出，①—③这三个“高斯面的有效部分”是独立的，它们的形状都是类似球冠的曲面，穿过它们的电场强度通量都等于 Q/Nε₀，由于这三个“高斯面的有效部分”的面积逐渐增大，因此它们所在处的场强逐渐减小。而④和⑤处两个正电荷的电场管已经融合成一个，它们的形状是一个圆环状，穿过它们的电场强度通量都等于 2Q/Nε₀，如图 11 和图 12 所示，是它们的立体图（示意图），可以看出④处“高斯面的有效部分”与⑤处“高斯面的有效部分”很相似，只是④是“凹”下去的，而⑤则基本是“平”的，再有就是宽度 d 和半径 r 不相同。④的表面“凹”下去，表明穿过它的电场线是向里聚拢的，而⑤的表面基本是“平”的，表明穿过它的电场线是平行的，也就是说该位置大致就是这个“电场饼”的最薄处。④和⑤的“面积”与 d 和 r 的大小以及表面的形状都有关系，因此不能仅根据 d 的大小而确定其面积的大小，也就是不能仅根据两边的电场线的间距确定电场线的疏密，并进一步判定场强的大小。

如果我们再向外画出⑥处“高斯面的有效部分”，它与④和⑤的形状也类似，但它的表面是“凸”出来的，这表明通过该处的电场线是向外发散的。

发布时间：2024/8/6 下午4:01:46  阅读次数：2772