等量同种点电荷的电场,电场线分布情况如何?
等量同种点电荷的电场,其电场线图需要讨论的问题是,这两个点电荷的连线以及它们的中垂线画不画电场线?不管画不画,这两条线上各处是有电场的,即各点电场强度都有确定的值,但有两个特殊点:一是两点电荷连线的中点,该处的电场强度为零;另一处则在这两点电荷连线的垂直平分线上,从中心点开始向外,场强由零逐渐增大,而后再逐渐变小,因此会存在某一位置场强处于最大值,最大值的位置在何处,这是本文重点讨论的问题。
两个带等量正电的点电荷形成的电场,其电场线如图 1 所示,其中中间的四条线最为引人关注,两条线段分别从两点电荷出发相向而行,直至二者的中点处,另外两条射线则是从二者的中点处出发伸向无穷远处。两点电荷连线的中点处的场强等于零。
一、对两等量同号点电荷的电场线的一些误解和疑惑
很多中学物理教师是这样理解,并给学生讲解的:电场线的疏密反映了场强的大小,最靠近中垂线的两条电场线先逐渐靠近中垂线,至某处相距最近,而后又逐渐远离中垂线,而最靠近中垂线的位置就是中垂线上场强极大值处。
这其实是一种误解,下面我们通过数学推导加以说明:
(1)如图 2 所示,x 轴上相距原点 O 都等于 l/2的 C、D 两点处各有一个点电荷,电量都是 + Q,在 C、D 连线的垂直平分线(即 y 轴)上有一点 P,距离原点 O 为 r,根据电场的叠加原理,合场强大小 E(r) = 2kQ
上面的推导也可以把变量 r 换成 θ,即
将 E(θ) 对 θ 求导并使其等于 0,可得出 sinθ =
结论是:在两等量同号点电荷电场的垂直平分线上,r 由 0 至 ±
(2)如图 3 所示,在 y 轴左侧很近的位置任取一点 P,它的纵坐标为 y,PC 与 x 轴夹角为 θ1,则 C 点电荷的电场在 P 点的场强大小 E1 = kQ
同样,连接 PD,设其与 – x 方向的夹角为 θ2(θ2 < θ1),则 D 点电荷的电场在 P 点的场强大小 E2 = kQ
其合场强的 x 分量 Ex = E1x – E2x =
图 4 所示是 f(θ) 随 θ 变化的图像,不难看出,f(θ) 不是单调的函数,从 θ = 0 开始的阶段,f(θ) 随 θ 的增加而增加,至 θ 为某个数值时,f(θ) 达到最大值,而后 f(θ) 随 θ 的增加而减小。f(θ) 达到最大值的位置,正是两边的电场线最靠近 yOz 平面处,或说是两边的电场线相距最近处。下面就求这个位置:对 f(θ) 求导并令其等于 0,即得
得出当 cosθ =
从图中不难看出,y 轴上场强最大的位置是 A 点,而两边的电场线相距最近处则是 B 点。显然,“两边电场线最靠近中垂线的位置就是中垂线上场强极大值处”的说法是不正确的。
这是否说明“电场线的疏密反映电场的强弱”的说法也不正确呢?那么,又该如何解释上面出现的“佯谬”呢?
二、电场线本应是空间分布的
问题出在实际的电场线是在空间分布的,而我们画出的电场线图都是平面上的电场线分布图,它不能真正反映电场线的空间分布情况。
我们把前面的图 1 加上坐标轴,并把 A 点和 B 点标在上面,如图 6 所示,它表示的是两个带等量正电的点电荷的电场在 xOy 平面上的电场线分布情况,而在 yOz 平面内的电场线分布则如图 7 所示。(初看起来它很像孤立点电荷电场的电场线图,但孤立点电荷的电场线是空间对称分布的,而这里反映的只是在 yOz 平面内的分布。)
把图 6 和图 7 放在一起,我们就可以比较全面地了解电场线在空间的分布情况了。从 O 开始沿 y 轴方向到 A 再到 B,它附近的电场线沿 x 方向是逐渐靠近的,或说是逐渐变密的;而沿 z 轴方向则是逐渐远离的,或说是逐渐变稀疏的。但这仅仅是两个特殊平面上电场线的分布情况,而电场线的疏密要从立体上看,即要在垂直于电场的方向上选取一个小面元,看穿过该小面元的电场线条数,因此我们不能仅仅根据图 6 就认定电场线在 B 点附近比在 A 点附近更密集。
三、引入“电场管”概念
赵凯华、陈熙谋二位先生合著的《电磁学》(下面简称《电磁学》)第 4 版第 34 页引入了“电场管”的概念,“我们先引入一个概念——电场管。由一束电场线围成的管状区域,叫作电场管。由于电场线总是平行于电场管的侧壁,因而没有电场强度通量穿过侧壁。”
电场管其实是电场线概念的扩展,我们可以把原来数目有限的每一条电场线都扩展成一根电场管,每个电场管内有很多条电场线,这样就相当于把原来的一条电场线“细化”为电场管内的多条电场线。下面我们就按照这个思路进行讨论。
设 O 点固定一个孤立的点电荷 + Q,则它的电场线在空间呈均匀放射状分布,设共有 N 条电场线,我们将其扩展成 N 根电场管,每根电场管的侧壁都是一个圆锥面,其顶点为 O 点,立体角为 4π/N。
现在有两个电荷量都是 + Q 的点电荷,分别位于 x 轴上 – l/2 和 + l/2 处,两电荷周围空间各有 N 根电场管,空间共 2N 根电场管。由于两个电场的叠加,所以这些电场管的形状都发生了改变。除了沿 x 轴方向相向的电场管以外,其余各根电场管的侧壁都变弯曲了,但并没有更大的改变;沿 x 轴方向相向的两根电场管却发生了翻天覆地的变化:原来两根独立的、相向而行的电场管分别向四周扩展,完全融合在一起,成为一个“电场饼”,这个“电场饼”是关于 yOz 平面对称的,它的源头分别在两个点电荷处,其样子有点像两朵盛开的喇叭花,花蕊相对,两边花瓣相距最近处,即“电场饼”的最“薄”处应该在离 O 点距离 r =
这个“电场饼”内有很多条电场线,这些电场线分别由 C 点和 D 点处的点电荷发出,它们中有些仍分别在 yOz 平面的两侧向无穷远延伸,但也有些真正“融合”在一起,在 yOz 平面内呈放射状排布。可以这样说:引入电场管的概念,相当于拿一个“放大镜”观察电场线图,由于“放大镜”的作用,我们看到了更多、更细致的电场线。
引入电场管概念的好处之一,是可以更方便地选取“高斯面”:由于电场管的侧壁没有电场线穿过,因此对于同一根电场管,穿过它的任意截面的电场线条数,即电场强度通量都相等,而电场管的截面越大的地方电场线的数密度越小,即电场强度越小;反之,电场管截面越小的地方,电场线数密度越大,即电场强度越大。下面我们为了简便,沿着等势面截取电场管,由于该电场管内的所有电场线都垂直穿过那些截面,我们把这些截面称为“高斯面的有效部分”,在同一个电场管上截取的所有“高斯面的有效部分”都垂直穿过相同数量的电场强度通量,因此我们可以根据这些“高斯面的有效部分”的面积的大小判定该处场强的大小。
如图 9 所示是《电磁学》上的图 1–47(b),图中电场线用虚线表示,而等势面则用实线表示。我们只研究从两个点电荷出发相向而行,并最终完全融合在一起的那两根电场管,并在图 9 中所画出的等势面的位置截取 5 个“高斯面的有效部分”,如图 10 所示,是它在 xOy 平面的平面图,其中标注着①—⑤的就是在等势面位置处所截取的 5 个“高斯面的有效都分”。可以看出,①—③这三个“高斯面的有效部分”是独立的,它们的形状都是类似球冠的曲面,穿过它们的电场强度通量都等于 Q/Nε0,由于这三个“高斯面的有效部分”的面积逐渐增大,因此它们所在处的场强逐渐减小。而④和⑤处两个正电荷的电场管已经融合成一个,它们的形状是一个圆环状,穿过它们的电场强度通量都等于 2Q/Nε0,如图 11 和图 12 所示,是它们的立体图(示意图),可以看出④处“高斯面的有效部分”与⑤处“高斯面的有效部分”很相似,只是④是“凹”下去的,而⑤则基本是“平”的,再有就是宽度 d 和半径 r 不相同。④的表面“凹”下去,表明穿过它的电场线是向里聚拢的,而⑤的表面基本是“平”的,表明穿过它的电场线是平行的,也就是说该位置大致就是这个“电场饼”的最薄处。④和⑤的“面积”与 d 和 r 的大小以及表面的形状都有关系,因此不能仅根据 d 的大小而确定其面积的大小,也就是不能仅根据两边的电场线的间距确定电场线的疏密,并进一步判定场强的大小。
如果我们再向外画出⑥处“高斯面的有效部分”,它与④和⑤的形状也类似,但它的表面是“凸”出来的,这表明通过该处的电场线是向外发散的。
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