任何一个复杂运动都可以分解为两个简单的分运动吗？

物体的运动与初始条件以及受力情况都有关系，初始条件决定初始位置及初始速度，而受到的力决定了它的加速度，即速度的变化率。在初始条件一定的条件下，一个复杂的运动能否分解为几个简单的分运动，与它受到的力随时间变化的规律有关。一般来说，恒力作用下的运动，或者受到随时间按照简单规律变化的作用力的物体，其运动往往可以分解为简单的运动，从而使得运动学问题的求解变得简单。

描述物体运动状态的物理量，主要是位置矢量（位矢）及速度，它们是机械运动的两个状态参量，位置（相对位置）决定势能，速度决定动能，势能和动能合称机械能。加速度是速度的变化率，它描述的是速度随时间变化的快慢和方向。这些物理量都是矢量，遵循矢量分解与合成的平行四边形定则，把它们沿空间直角坐标系的三个坐标轴方向进行分解，就可以得到它们的三个分量，而这三个分量随时间变化的规律就是合运动的三个分运动。

一、分运动之间独立与简单的关系

力与运动的基本联系是牛顿第二定律，在中学教学中一般把它写作 F = ma，它是瞬时对应关系，若与一个过程联系，它适合求解匀变速运动问题。由于加速度是位矢的二阶导数，因此大学普通物理教科书一般把牛顿第二定律写成如下的二阶微分方程形式：m \(\frac{{{{\rm{d}}^2}\boldsymbol{r}}}{{{\rm{d}}{t^2}}}\)= F，如果已知作用力随时间变化的规律 F(t)，理论上就可以通过解此微分方程求出 r(t)。

把一个复杂的运动分解为两个简单的运动，最先想到的就是沿空间的不同方向进行分解。例如，沿直角坐标系的坐标轴进行分解，这就要把作用力 F 沿坐标轴方向分解为三个沿不同方向的分量，从而建立三个微分方程：

\[m\frac{{{{\rm{d}}^2}x}}{{{\rm{d}}{t^2}}} = {F_x}\;,\;m\frac{{{{\rm{d}}^2}y}}{{{\rm{d}}{t^2}}} = {F_y}\;,\;m\frac{{{{\rm{d}}^2}z}}{{{\rm{d}}{t^2}}} = {F_z}\]

如果这三个分量方程都各自独立，即每一个分量方程中都不含有其他分量的参数，解出的结果一般就是简单的，即分解所得的分运动是独立简单的。

下面我们通过几个简单的例子说明分运动之间独立与简单的关系。

例 1   设某物体以初速度 v₀ 沿水平方向抛出，重力加速度为 g。由于它的运动是在竖直平面内，只需建立平面直角坐标系 O–xy，列出两个分量方程

\[\frac{{{{\rm{d}}^2}x}}{{{\rm{d}}{t^2}}} = 0\;,\;m\frac{{{{\rm{d}}^2}y}}{{{\rm{d}}{t^2}}} = mg\]

这两个方程是独立的，可以分别通过积分求解，代入初条件确定积分常数后解得的结果是

\[x = {v_0}t\;,\;y = \frac{1}{2}g{t^2}\]

这就是分解所得的两个分运动的运动规律，它们都是简单的，并且是相互独立的：当初速度 v₀ 的数值发生改变时，影响的只是水平方向的分运动，对竖直方向的分运动没有影响；反之，当重力加速度的数值发生变化时，也仅影响竖直方向的分运动。

例 2        质量为 m、电荷为 q 的带电粒子在磁感应强度为 B 的匀强磁场中运动，初速度大小为 v₀，方向与磁场方向垂直，如图 1 所示。求解它的运动规律。

带电粒子在磁场中运动时受到洛伦兹力的作用，其大小 f = qv₀B，方向垂直于 v₀ 方向，由左手定则判定。

建立如图 1 所示的平面直角坐标系 O–xy．以初始位置左方 R = \(\frac{{m{v_0}}}{{Bq}}\) 处为坐标原点 O。

某时刻，粒子速度大小保持不变，即 v = v₀，而方向沿逆时针方向转动了角度 θ，它受到的洛伦兹力大小仍为 f = qv₀B，方向也沿逆时针方向转动了角度 θ，列出牛顿第二定律的两个分量方程

\[m\frac{{{{\rm{d}}^2}x}}{{{\rm{d}}{t^2}}} = {f_x} =  - qB{v_y}\;,\;m\frac{{{{\rm{d}}^2}y}}{{{\rm{d}}{t^2}}} = {f_y} =  - qB{v_x}\]

这两个分量方程不独立，因为沿 x 方向的分量方程含有速度 v 的 y 分量，而沿 y 方向的分量方程含有 v 的 x 分量。然而我们只要引入一个参量 θ，由于 f_x = − qBv₀ cosθ，f_y = − qBv₀ sinθ，上面的两个分量方程就变为

\[m\frac{{{{\rm{d}}^2}x}}{{{\rm{d}}{t^2}}} =  - qB{v_0}\cos \theta \;,\;m\frac{{{{\rm{d}}^2}y}}{{{\rm{d}}{t^2}}} = {f_y} =  - qB{v_0}\sin \theta \]

解出结果并代入初条件，得 x = Rcosωt，y = R \(\cos \left( {\omega t - \frac{\pi }{2}} \right)\)，式中 R = \(\frac{{m{v_0}}}{{Bq}}\)，ω = \(\frac{{Bq}}{m}\)。

所得的两个分运动都是简谐运动，它们并不独立，二者的振幅和圆频率（R 和 ω）都相等，相位相差 π/2。如果 v₀ 或 B 的数值发生改变，两个分运动都要随之发生相应的改变，但这两个分运动都属于简单运动，可以说它们把匀速圆周运动分解为两个直线上的简谐运动，也属于把一个复杂的运动分解为两个简单的运动。

例 3  一粒质量为 m 的子弹沿水平方向射出，初速度大小为 v₀。由于速度很大，空气阻力不能忽略，设空气阻力的大小与速率的二次方成正比。

图 2 是该子弹某时刻的位置、速度及受力情况的示意图，其中重力方向竖直向下，大小为 mg，空气阻力 f 的方向与速度 v 的方向相反。已知 f ∝ v²，可写作 f = kv²，其中 v² = \({\left( {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{\rm{d}}t}}} \right)^2}\) + \({\left( {\frac{{{\rm{d}}y}}{{{\rm{d}}t}}} \right)^2}\)。

列出牛顿第二定律的分量方程：

\[m\frac{{{{\rm{d}}^2}x}}{{{\rm{d}}{t^2}}} = {f_x} =  - k{v^2}\cos \theta\;,\;m\frac{{{{\rm{d}}^2}y}}{{{\rm{d}}{t^2}}} = mg - {f_y} = mg - k{v^2}\sin \theta \]

不难看出，这两个分量方程不是独立的，我们无法解出简单的结果，即无法把这个复杂的运动分解为两个简单的运动。但并不是无法求解该子弹的运动轨迹，利用现代计算机无比强大的计算能力，完全可以精确地计算出它的运动轨迹，即弹道曲线。

二、一个复杂的运动能否分解为两个简单的运动与受力情况有关

物体的运动情况由初始条件和受力情况决定，初始条件指的是初位置和初速度，在初位置一定的条件下，初始条件就是指初速度，它决定了初始时刻物体的运动方向和快慢，受到的外力则决定物体运动状态变化的快慢和方向。

在上一节内容中，我们讨论过把初速度和作用力作为产生运动的两种“原因”，当它们分别存在时产生的运动是分运动，而两种“原因”同时存在时，物体的运动就是上面两个分运动的合运动。这种思考问题的方法不普遍成立，是否成立与质点受到何种特点的作用力相联系。下面表格列出了中学物理教学中接触到的一些主要的力：

受力物体如果只受到上面表格中的第 1 种力，即恒力 F 的作用，那么它的加速度就是恒量，即匀变速运动。当初速度方向不与力的方向在一条直线上时，物体做的是曲线运动，把该运动沿作用力方向及垂直于力的方向进行分解，则一个是匀变速运动，另一个是匀速运动，例如抛体运动。

如果物体受到的是上面表格中的第 2 类力，即随时间变化的力，特别是随时间变化的规律具有简单的函数关系，例如按正弦规律做周期性变化的作用力，其运动也常常容易分解为两个或几个简单的运动。

而对于上面表格中的后两类情况，物体的运动情况过于复杂，一般难以分解为两个简单的运动。前面的例 3 就是空气阻力与速率的二次方成正比的实例，下面再举一个属于第 3 类情况的例子。

例 4  如图 3 所示，两个等量正电荷 Q₁ 和 Q₂ 固定在 A、B 两点，另一个点电荷 q 原静止在 C 点，现释放 q，它在 Q₁ 和 Q₂的电场的共同作用下做复杂的曲线运动。该运动不论用前文所述的分解复杂运动的三种方法中的哪一种，都不能分解为两个简单的运动。

（1）在所示的平面内建立直角坐标系，不论如何选择坐标原点和坐标轴，沿两个坐标轴方向进行分解，都不可能得到两个简单的分运动。

（2）从变换参考系的方法分析，本问题无法找到一个参考系可以使该运动成为简单运动。

（3）从“原因”入手分析，q 的初位置在 C 点，初速度为 0，使它产生运动的有两个“原因”：假设只有 Q₁ 的作用而没有 Q₂，它将做初速度为 0 的变速直线运动，运动方向沿 AC 连线；假设只有 Q₂ 的作用而没有 Q₁，它也将做初速度为 0 的变速直线运动，运动方向沿 BC 连线。现在这两个作用同时存在，其合运动显然不是上述两个直线运动的合成那样简单。

三、一个巧妙的分解复杂运动的实例

例 5   如图 4 所示，真空中存在着方向水平向里的匀强磁场，磁感应强度大小为 B，由静止释放一个重力不能忽略的带电微粒，其质量为 m，带电荷量为 q。求解该微粒在磁场中的运动情况。

带电微粒在运动过程中受到两个力的作用，重力 mg 是恒力，其方向竖直向下；另一个力是洛伦兹力，它是变力，其大小和方向都在变化。这个带电微粒的运动一定是复杂的曲线运动，要想不运用高等数学知识求解它的运动规律，最好的方法就是设法把它分解为两个简单的运动。

我们设想如果该微粒以一定的初速度匀速运动，它将受到一个恒定的洛伦兹力的作用，若初速度大小方向适当，有可能洛伦兹力与重力平衡，从而保持匀速直线运动的状态不变，这个初速度 v₀ 的大小为 v₀ = \(\frac{{mg}}{{Bq}}\)，方向水平向右。

现在微粒的初速度是零，根据矢量的分解法则，把它分解为两个分矢量 v₀ 与 − v₀。相应地受到的洛伦兹力也要分解为两个：F₁ = Bqv₀，初始时刻方向竖直向上；F₂ = − Bqv₀，初始时刻方向竖直向下。当只有 v₀ 存在时，洛伦兹力 F₁ 与重力平衡，使微粒向右做匀速直线运动；当只有 − v₀ 存在时，微粒受到的洛伦兹力 F₂ 使它在磁场中做匀速圆周运动。现在这两个“初速度”都存在，则微粒的运动就是上述两个分运动的叠加。

对这种情况，我们可以进一步作定量讨论：以微粒的初位置为坐标原点，建立平面直角坐标系，其运动轨迹为图 5 中所示的轮摆线，它可以分解为两个简单的分运动：一个是沿 x 方向的匀速运动，速度大小 v₀ = \(\frac{{mg}}{{Bq}}\)；另一个为图示平面内的匀速圆周运动，如图中虚线所示，其半径 R = \(\frac{{m{v_0}}}{{Bq}}\)，运动方向为逆时针方向，运动周期 T = \(\frac{{2\pi m}}{{Bq}}\)。

再进一步把该运动沿两个坐标轴方向进行分解，x 方向的分运动是 x = v₀t − Rsinωt，它由两项构成，可以看作匀速运动和简谐运动的合运动；y 方向的分运动是 y = − R + Rsin(ωt + π/2)，它是简谐运动。

这种方法可以推广到初速度不为零，也不等于 v₀ 的各种情况，其运动轨迹是不同形状的轮摆线。

发布时间：2024/7/13 上午9:18:58  阅读次数：55