平均速度与速度的平均值

物体不论是作匀速运动,还是作匀变速运动或非匀变速运动,它的平均速度的定义都是指物体的位移s与发生该位移所用的时间t之比,即:

\[\bar v = \frac{s}{t}\]

平均速度只能粗略地描述物体运动的快慢程度及方向,在讲到平均速度的时候,必须明确指出它是哪段时间或哪段位移内的平均速度,因为所取的时间长短或位移范围不同,即使是同一个运动物体,其平均速度也是不一样的。

有时候为了实际需要,我们还要求出作变速运动物体在运动过程中的速度平均值。速度平均值指的是运动物体在所论时间t的若干个瞬时速度的平均值,即:

\[\bar v' = \frac{{{v_1} + {v_2} + {v_3} + \ldots {v_n}}}{n}\]

很明显,速度的平均值不仅与单个瞬时速度的大小和方向有关,而且还与瞬时速度的个数n有关。尽管它仍保留着平均速度的一部分意义,但与平均速度的本质含义毕竟是有所不同,故两者不能混为一谈。平均速度是物体运动位移对运动时间取平均,它用于粗略地反映物体运动的快慢程度及方向,而速度的平均值是物体各瞬时速度之和对瞬时速度个数取平均,它用于比较运动过程中各阶段的速度变化情况,前者是属“时间平均”,而后者是属“算术平均”。

例1:

某人从甲地沿笔直的公路步行到乙地,在前一半路程中,他以6km/h的速度行走,在后一半路程中他以4km/h的速度行走,问此人在全路程中的平均速度和速度的平均值各是多少?

解:因为此人是沿笔直公路行走,故人的位移大小就是路程。设甲、乙两地相距S千米,此人走完前一半路程所需时间为t1,走完后一半路程所需时间为t2。于是:

t1=s/2v1

t2=s2/v2

因此,根据平均速度的定义可知,全程中的平均速度(这里实为平均速率)为:

v=s/(s2/v1 +s2/v2) =2v1v2/(v1+v2)=4.8km/h

因为此人在全程中只有两个不同的速度,所以,根据速度的平均值定义可知,此人在全程中的速度平均值(仅指大小)为:

v′=(v1+v2)/2 =5km/h

显然两个结果是不同的。不过应注意,平均速度与速度的平均值虽然含义不同,但在一定条件下,它们还是有联系甚至相等。为简便起见,我们考虑物体作变速直线运动。设一物体沿直线作变速运动,在时间t内它共通过位移s。现将整个运动过程分成n个时间相等的阶段(t=nΔt),设每一个时间间隔内的位移分别为Δs1,Δs2…Δsn,则该物体在时间t内的平均速度为:

v =s/t =(Δs1+Δs2+Δs3+……+Δsn)/nΔt =(v 1v 2v 3+……+v n)/n

又若取n→∞,即Δt→0,上式分子中每一时间间隔Δt内的平均速度就可看成是时间t内每一时刻的瞬时速度,所以有:

v =(v 1v 2v 3+……+v n)/n =(v1+v2+v3+……+vn)/n

由此,我们得到结论:若将物体的整个运动过程分为时间相等的一些阶段,则物体在整个运动过程中的平均速度不仅与其在整个运动过程中各阶段上的平均速度的平均值相等,而且亦与其在整个运动过程中的瞬时速度的平均值相等,条件是n→∞,Δt→0。

如有兴趣的读者,不妨可作进一步的探讨,看一看,若将物体的整个运动过程分为路程相等的一些阶段,则结论又是如何?

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发布时间:2009/4/2 上午9:59:14  阅读次数:14121

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