第 4 章 第 4 节 玻尔原子模型

卢瑟福的原子核式结构模型不能解释原子光谱等一些物理现象。丹麦物理学家玻尔针对这些问题，提出了新的原子结构模型。本节我们将学习玻尔原子模型及其对氢原子光谱的解释。

1．玻尔原子模型

按照经典电磁理论，绕原子核做圆周运动的电子应向外辐射电磁波，其能量要逐渐减少。随着能量的减少，电子绕原子核运行的轨道半径会减小，电子应沿螺旋线轨道落入原子核，从而导致原子不稳定，但实际上原子却是稳定的。另外，电子辐射的电磁波的频率应等于它绕原子核运行的频率，随着轨道半径的不断变化，电子绕原子核运行的频率不断变化，辐射的电磁波的频率也应不断变化。这样，大量原子发光的频率应当是连续变化的，而实际上原子光谱是不连续的线状光谱。卢瑟福的原子核式结构模型不能解释原子的稳定性和原子光谱的不连续性。

玻尔在卢瑟福的原子核式结构模型的基础上提出了玻尔原子模型，其基本假设如下：

（1）轨道定态

原子核外的电子只能在一些分立的特定轨道上绕核运动；电子在这些轨道上运动时，原子具有一定能量，其数值也是分立的，电子的轨道和原子的能量都是量子化的。电子虽然做圆周运动，但不向外辐射能量，处于稳定的状态，电子处于分立轨道的这些状态称为定态［图 4-15（a）］。

（2）频率条件

当电子从能量较高的定态轨道跃迁到能量较低的定态轨道时，原子会辐射光子［图 4-15（b）］。反之，当吸收光子时，电子会从能量较低的定态轨道跃迁到能量较高的定态轨道［图 4-15（c）］。辐射（或吸收）的光子的能量 hν 由两个定态的能量差决定，即该光子的能量应满足频率条件

hν = E_m − E_n（m > n）

2．氢原子的能级结构

在玻尔的原子模型中，原子只能处于一系列不连续的能量状态。在每个状态中，原子的能量值都是确定的，各个确定的能量值称为能级（energy level）。

氢原子在不同能级上的能量值和相应的电子轨道半径分别为

E_n = \(\frac{{{E_1}}}{{{n^2}}}\)（n = 1，2，3，…）

r_n = n²r₁（n = 1，2，3，…）

式中，E₁ = − 13.6 eV，r₁ = 0.53×10⁻¹⁰ m。

根据以上结果，若将氢原子所有可能的能量值画在一张图上，则可得到氢原子的能级结构示意图（图 4-16）。

在正常状态下，原子处于最低能级，电子受核的作用力最大而处于离核最近的轨道，这时原子的状态称为基态（ground state）。电子吸收能量后，原子从低能级跃迁到高能级，这时原子的状态称为激发态（excited state）。当电子从高能级轨道跃迁到低能级轨道时，原子会辐射能量；当电子从低能级轨道跃迁到高能级轨道时，原子要吸收能量。因为能级是不连续的，所以原子在电子跃迁时吸收或辐射的能量都不是任意的，这个能量等于电子跃迁时始、末两个能级间的能量差。能量差值不同，辐射的光子频率也不同，由此便产生了不同波长的光。

物理聊吧

当电子从离原子核较近的轨道跃迁到离原子核较远的轨道上时，电子受原子核的作用力怎样变化？电子的电势能怎样变化？在玻尔的氢原子能级公式中，为什么原子的能量是负值？请与同学讨论交流。

3．解释氢原子光谱

人们在了解原子内部结构之前，就已观察到了气体的光谱。长期以来，人们无法对气体光谱进行解释。玻尔理论的最成功之处，就是解释了氢原子的光谱。

由玻尔理论可知，激发到高能级 E_m 的电子跃迁到低能级 E_n，辐射出的光子的能量为

hν = E_m − E_n

= \(\frac{{{E_1}}}{{{m^2}}}\) − \(\frac{{{E_1}}}{{{n^2}}}\)

所以                                                           ν = − \(\frac{{{E_1}}}{h}\left( {\frac{1}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{m^2}}}} \right)\)

此式在形式上与氢原子光谱规律的波长公式一致。当 n = 2，m = 3，4，5，6，…时，这个式子与巴耳末公式一致。电子从更高的能级跃迁到 n = 2 的能级，可得氢原子巴耳末系的光谱线（图 4-17）。

拓展一步

氢原子其他谱线系的解释

玻尔理论也能解释氢原子光谱其他线系的规律。例如，氢原子的电子从较高能级跃迁到 n = 1 的能级时，可得到紫外区的赖曼系；从较高能级跃迁到 n = 3 和 n = 4 的能级时，可分别得到帕邢系和布喇开系（图 4-18）。请查阅相关资料，试着解释上节学习的里德伯公式。

4．玻尔理论的局限

玻尔理论冲破了经典物理中能量连续变化的束缚，解释了原子结构和氢原子光谱的关系。然而，玻尔理论却无法解释多电子原子的光谱（如氦原子光谱）。这是因为，该理论虽然引入了普朗克的量子化概念，认为电子轨道和能量都是量子化的，但没有跳出经典力学的范围，认为电子是经典粒子，运动有确定的轨道。因此，玻尔理论是一种半经典的量子论，是向描述微观粒子规律的量子力学过渡阶段中的一个理论。

实际上，电子是微观粒子，其运动与宏观物体运动不同，没有确定的方向和轨迹。它们在原子核周围各处出现的概率是不同的。为了形象地描述电子的运动情况，人们将这些概率用点的方式表现出来，若某一空间范围内电子出现的概率大，则这里的点就密集；若某一空间范围内电子出现的概率小，则这里的点就稀疏。这种用点的疏密表示电子出现的概率分布的图形，称为电子云（图 4-19）。

从汤姆孙到卢瑟福再到玻尔，科学家对原子结构的认识不断深入，并将继续向前。在这永无止境的探索过程中，科学家的智慧、思维方法及科学精神等得到了充分体现。

素养提升

能认识物理模型的局限性，体会科学家在对原子结构的探索中敢于怀疑的科学精神；能对微观世界的探索产生兴趣，能感受关于微观世界研究结论的魅力。

——科学态度与责任

例题

氢原子从 n = 4 的能级跃迁到 n = 1 的能级，所辐射光子的能量、频率和波长分别是多少？

分析

按照氢原子模型的能量公式分别计算 n = 1 和 n = 4 能级时的能量，再由能量差计算辐射光子的频率和波长。

解

根据

E_n = \(\frac{{{E_1}}}{{{n^2}}}\)，E₁ = − 13.6 eV

得    E₄ = − 13.6×\(\frac{1}{{{4^2}}}\) eV= − 0.850 eV

辐射的光子的能量

ΔE = E₄ − E₁ = [− 0.850 −（− 13.6）] eV = 12.75 eV

光子的频率

ν = \(\frac{{\Delta E}}{h}\) = \(\frac{{12.75 \times 1.6 \times {{10}^{ - 19}}}}{{6.63 \times {{10}^{ - 34}}}}\) Hz = 3.09×10¹⁵ Hz

光子的波长

λ = \(\frac{c}{\nu }\) = \(\frac{{3 \times {{10}^8}}}{{3.09 \times {{10}^{15}}}}\) m = 9.71×10⁻⁸ m = 97.1 nm

讨论

处于高能级的氢原子能自发地跃迁到低能级并辐射光子，上述处于 n = 4 能级的氢原子辐射光子的频率可能有几种？

策略提炼

根据氢原子模型的能量公式解决问题时，要注意前面的负号，即最低能级的能量值最小。

迁移

用一束单色光照射处于 n = 4 能级的氢原子使其电离（电子脱离原子核的束缚成为自由电子），光子的能量至少为多大？

素养提升

能了解人类探索原子及其结构的历史，知道原子的核式结构模型，通过对氢原子光谱的分析，了解原子的能级结构；能运用所学知识分析微观世界的一些问题。具有与原子结构相关的物质观念、运动与相互作用观念和能量观念。

知道不同原子结构模型之间的区别，知道原子模型的建立是在实验的基础上不断发展和修正的过程，能利用玻尔原子模型解释氢原子光谱等相关现象；能分析氢原子光谱，推断原子的能级结构；能恰当使用证据说明不同的原子结构模型；有不断创新的行为。

——物理观念，科学思维

科学书屋

玻尔

玻尔（图 4-20），丹麦物理学家。

1912 年，玻尔在曼彻斯特大学卢瑟福的实验室工作过四个月，其时正值卢瑟福原子核式结构模型的建立与检验阶段，他十分了解核式结构模型的局限性。1913 年，他提出了定态跃迁原子模型理论。1922 年，他因对原子结构及原子辐射的研究而获得诺贝尔物理学奖。

1920 年，玻尔在丹麦创立了哥本哈根大学理论物理研究所，并担任所长 40 年。在创立量子力学的过程中，玻尔领导的研究所成为世界原子物理研究中心。

节练习

1．玻尔理论中哪些方面引入了量子化的思想？存在哪些不足之处？

【参考解答】玻尔理论在原子轨道和能量方面引入了量子化的思想。玻尔理论虽然引入了普朗克的量子化概念，认为电子轨道和能量都是量子化的，但没有跳出经典力学的范围，认为电子是经典粒子，运动有确定的轨道。因此玻尔理论是一种半经典的量子论，是向描述微观粒子规律的量子力学过渡阶段中的一个理论。

2．氦原子被电离一个核外电子，形成类氢结构的氦离子。已知基态的氦离子能量 E₁ = − 54.4 eV，氦离子能级结构如图所示。在具有下列能量的光子中，不能被基态氦离子吸收而发生跃迁的是

A．40.8 eV             B．43.2 eV             C．51.0 eV             D．56.0 eV

【参考解答】B

3．一个氢原子从 n = 3 能级跃迁到 n = 2 能级，该氢原子

A．放出光子，能量增加              B．放出光子，能量减少

C．吸收光子，能量增加              D．吸收光子，能量减少

【参考解答】B

4．根据玻尔的氢原子模型，氢原子的核外电子在第 1、3 轨道上运动时，求它们的轨道半径之比、速率之比、周期之比及能量之比。

【参考解答】r₁∶r₃ = 1∶9，v₁∶v₃ = 3∶1，T₁∶T₂ = 1∶27，E₁∶E₂ = 9∶1

5．有若干氢原子处于 n = 4 的能级，已知氢原子的基态能量 E₁ = − 13.6 eV，普朗克常量 h = 6.63×10⁻³⁴ J·s。

（1）这些氢原子的光谱共有几条谱线？

（2）这些氢原子发出的光子的最大频率是多少？

【参考解答】（1）6 条

（2）ν = 3.1×10¹⁵ Hz

6．已知氢原子基态的能量 E₁ = − 13.6 eV。大量氢原子处于某一激发态，这些氢原子可能发出的所有的光子中，频率最高的光子能量为 − 0.96 E₁。

（1）求频率最低的光子的能量。（结果保留 2 位有效数字）

（2）这些光子可具有多少种不同的频率？

【参考解答】（1）ΔEʹ = 0.31 eV

（2）10 种

发布时间：2023/1/11 下午9:43:59  阅读次数：4803