第 1 章 第 3 节 气体分子速率分布的统计规律
气体分子都在不停息地做无规则运动，每一时刻的运动情况完全是偶然的、不确定的。那么，大量分子的无规则运动是否有规律可循呢？本节我们将学习气体分子速率分布的统计规律。
1．偶然中的必然
生活中有大量的事件在一定条件下有多种变化的可能，而究竟发生哪种变化事先又不能完全确定。例如，抛一枚硬币（图 1-11），无法确定将会出现正面还是反面向上。多次抛掷会有什么现象？这些现象是否蕴含着一定的规律？
下面我们通过实验来探究大量偶然事件中是否会表现出一定的规律。
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从伽尔顿板实验看统计规律
伽尔顿板是一种演示某种统计规律的装置。如图 1-12 所示，在一块竖直木板的上部均匀钉上许多铁钉，木板下部用竖直隔板隔成等宽的狭槽，装置前侧面以玻璃覆盖。
从入口处投入一个小钢珠，小钢珠在下落过程中先后与许多铁钉相碰，经曲折的路径，落入某一槽中。重复几次，我们会观察到小钢珠落入哪个槽完全是不确定的。
如果保持手的姿势不变，把大量小钢珠从入口处缓缓倒入，观察落入槽中的小钢珠的分布情况。我们发现，落入中央狭槽的小钢珠较多，落入两边狭槽的小钢珠较少。重复实验，得到的结果相似。
实验结果表明，尽管单个小钢珠落入哪个狭槽是偶然的，少量小钢珠在狭槽内的分布情况也是不确定的，但大量小钢珠在狭槽内的分布情况表现出必然的规律。这种大量偶然事件表现出来的整体规律，称为统计规律。
物理聊吧
按照相同的方法抛掷硬币，如果抛掷的次数不断增加，硬币出现正、反面朝上次数的比例会有什么变化？历史上不少统计学家做过成千上万次抛掷硬币的实验，部分数据记录见表 1-1。请同学们也动手
表1-1 抛掷硬币实验
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实验者 |
抛掷次数 m |
出现正面次数 n |
|
棣莫佛 |
2 048 |
1 061 |
|
布丰 |
4 040 |
2 048 |
|
皮尔逊 |
12 000 |
6 019 |
|
皮尔逊 |
24 000 |
12 012 |
做一做，并展开讨论。
2．气体分子速率分布规律
每个气体分子运动的速率是不确定的。组成物质的分子数目是巨大的，大量气体分子的速率遵循怎样的统计规律呢？
1859 年，麦克斯韦从理论上推导出了处在不同温度下的气体分子速率的分布规律。20 世纪 20 年代以后，陆续有许多实验验证了麦克斯韦速率分布规律。表 1-2 是不同温度下氧分子的速率分布情况。从表中可看出，在一定温度下，中等速率的分子所占的比例大。
表1-2 不同温度下氧分子的速率分布
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按速率大小划分的 速率区间 /（m·s−1） |
不同温度下各速率区间的分子数占总分子数的百分比（%） |
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|
0 ℃ |
100 ℃ |
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100 以下 |
1.4 |
0.7 |
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100 ～ 200 |
8.1 |
5.4 |
|
200 ～ 300 |
17.0 |
11.9 |
|
300 ～ 400 |
21.4 |
17.4 |
|
400 ～ 500 |
20.4 |
18.6 |
|
500 ～ 600 |
15.1 |
16.7 |
|
600 ～ 700 |
9.2 |
12.9 |
|
700 ～ 800 |
4.5 |
7.9 |
|
800 ～ 900 |
2.0 |
4.6 |
|
900 以上 |
0.9 |
3.9 |
理论和大量实验表明，气体分子的速率分布如图 1-13 所示。图中 f（v）为速率 v 附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比。从图中可看出，在一定温度下，不管个别分子怎样运动，速率分布表现出“中间多、两头少”的规律。当温度升高时，“中间多、两头少”的分布规律不变，分布曲线的峰值向速率大的一方移动。大量分子热运动所表现出来的统计规律对我们研究热现象具有重要的作用。
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麦克斯韦与气体分子速率分布规律
麦克斯韦（图 1-14），英国理论物理学家，经典电动力学的创始人，统计物理学的奠基人之一。在热力学和气体分子动理论方面都作出了很大贡献。1859 年，他发表了论文《气体分子动理论的说明》，第一次提出分子速率分布的概念，推导出速率分布函数，由此找到了由微观量求统计平均值的途径，为气体分子动理论的建立奠定了基础。
节练习
1． 举几个自然现象或社会现象的实例，说明大量偶然事件从整体上看遵循一定的统计规律。
【参考解答】略
2．伽尔顿板可用来演示统计规律。让大量小球从上方漏斗形入口落下，最终小球都落在槽内。重复多次实验后发现
A．某个小球落在哪个槽是确定的
B．大量小球在槽内的分布是无规律的
C．大量小球落入槽内后均匀分布在各槽中
D．越接近漏斗形入口处的槽内，小球聚集得越多
【参考解答】D
3．下列有关气体分子运动的说法正确的是
A．某时刻某一气体分子向左运动，则下一时刻它一定向右运动
B．在一个正方体容器里，任一时刻与容器各侧面碰撞的气体分子数目基本相同
C．当温度升高时，速率大的气体分子数目增多，气体分子的平均动能增大
D．气体分子速率呈现“中间多、两头少”的分布规律
【参考解答】BCD
4．氧气分子在不同温度下的速率分布规律如图所示，横坐标表示分子速率v，纵坐标表示单位速率区间内分子数占总分子数的百分比。曲线 1、2 对应的温度分别为 T1、T2。由图可知
A．温度 T1 低于温度 T2
B．曲线中的峰值对应的横坐标数值为氧气分子速率的最大值
C．温度升高，每一个氧气分子的速率都增大
D．温度升高，氧气分子的平均动能增大
【参考解答】AD
5．氧气分子在 0 ℃和 100 ℃ 温度下单位速率区间的分子数占总分子数的百分比随气体分子速率的变化分别如图中两条曲线所示。下列说法正确的是
A．两条曲线下的面积相等
B．曲线 1 对应氧气分子平均动能较小的情形
C．曲线 2 对应氧气分子在 100 ℃ 时的情形
D．曲线给出了任意速率区间的氧气分子数目
【参考解答】ABC
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