图 6–2

 

复习与提高”参考答案与提示

A、B 两组共 14 道习题，大致可分为三个层次。

第一层次的习题。让学生系统理解与圆周运动相关的物理概念和规律，形成物理观念，并进行科学推理。如让学生用思维导图理解、并对运动进行分类，计算圆周运动各个物理量的规律及其相互关系，进行向心加速度方向和公式的理论推导。

第二层次的习题。将各种实际问题转换为一个或者多个物理模型，通过计算推理得出结论，培养学生的科学思维、探究精神，让学生逐步形成对身边观察到的现象进行抽象进而应用物理规律解决实际问题的科学态度。如在空间站中模拟重力，两种洗衣机脱水过程的受力分析，频闪照相中匀速圆周运动的追击问题，圆周运动径向连接体问题，水平面内圆锥摆问题，与平抛运动结合的竖直面内圆周运动的临界问题。

第三层次的习题。练习将实际问题中的对象转换成物理模型的能力，对综合性问题进行分析推理获得结论，并采用不同的方式对同一问题进行分析论证，对学生的能力要求较高。如水平面内圆锥摆问题，杆连接体竖直面内的圆周运动，将竖直面内圆周运动和平抛运动结合并讨论平抛运动的极值问题，场地自行车问题中正交分解法的灵活应用。

A 组

1．如图 6–25 所示。

 

2．v_A∶v_B∶v_C∶v_D = 2∶1∶2∶4，ω_A∶ω_B∶ω_C∶ω_D = 2∶1∶1∶1，a_A∶a_B∶a_C∶a_D = 4∶1∶2∶4。

提示：在皮带传动中，同轴转动的角速度大小相等。同一皮带轮缘的线速度大小相等，以此为突破口分析线速度、角速度与半径之间的关系，向心加速度与线速度和角速度之间的关系。

 

3．参考解答：\(\sqrt {\frac{g}{r}} \)

提示：宇航员站在地球表面时有 F_N = mg，要使宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，受到与他站在地球表面时相同大小的支持力，则 F_N = mrω²，由此解得 ω = \(\sqrt {\frac{g}{r}} \)。

 

4．mω²L

提示：小球 A 受到重力、支持力和杆向右的拉力 F_A，根据牛顿第二定律有 F_A = \(\frac{{3m{\omega ^2}L}}{2}\)。小球 B 受到重力、支持力和杆向左的拉力 F_B，根据牛顿第二定律有 F_B = \(\frac{{m{\omega ^2}L}}{2}\)。根据牛顿第三定律，小球 A 对杆的拉力大小 F_Aʹ = F_A = \(\frac{{3m{\omega ^2}L}}{2}\)，方向水平向左。小球 B 对杆的拉力大小 F_Bʹ = F_B = \(\frac{{m{\omega ^2}L}}{2}\)，方向水平向右。轻杆受 F_Aʹ、F_Bʹ、转轴对杆的拉力 F，根据平衡条件得 F_Aʹ = F + F_Bʹ，由此解得 F = mω²L，方向向右。根据牛顿第三定律，杆对转轴的拉力大小，Fʹ = F = mω²L。

本题从运动学角度看连接的各物体有相同的角速度、周期和圆心，从力学角度看彼此间通过轻杆有拉力相互作用，解题的关键是明确研究对象，用隔离法进行正确的受力分析，列方程求解。

 

5．滚筒洗衣机的脱水筒匀速旋转时，附着在筒壁上的衣服做圆周运动的向心力由重力和弹力提供。衣服在最高点时，附着在潮湿衣服上的水的重力和衣服与水之间的分子力的合力提供向必力。对比最高点和最低点水的受力情况可知，在同一转速的情况下，水在最低点所受到的分子力更大，所以更容易在最低点从漏水孔甩出，做离心运动。

参考解答：滚筒洗衣机的脱水桶匀速旋转时，附着在桶壁上的衣服做匀速圆周运动的向心力由重力和弹力提供。衣服在最高点时，附着在潮湿衣物上的水的重力和衣服与水之间的分子力的合力提供向心力。对比最高点和最低点水的受力情况可知，在同一转速的情况下，水在最低点所受到的分子力更大，所以更容易在最低点从漏水孔甩出，做离心运动。

 

6．0.06 N；3.55 N

提示：分析硬币的受力情况如图 6–26 所示。

由表格中的数据可知，脱水桶的转速 n = 600 r/min =10 r/s，脱水桶的直径 D = 0.3 m，则半径 r = 0.15 m。在水平方向由弹力提供向心力，即 F_N = mω²r，得 F_N = 3.55 N。

在竖直方向上，摩擦力与重力平衡，故 F_f = G = 0.06 N。

让学生分析并计算生活中常见的波轮洗衣机中物体的受力情况，以培养学生应用理论知识解决实际问题的能力。

参考解答：0.06 N；3.55 N。

 

7．参考解答：\(\sqrt {\frac{{2g}}{R}} \)

提示：小物块不受摩擦力，由重力和支持力的合力提供向心力。小物块在水平面内做匀速圆周运动，故其半径为 Rsin60°，再根据向心力公式求得 ω = \(\sqrt {\frac{{2g}}{R}} \)。

B 组

1．（1）2 m/s；（2）0.8 m

提示：（1）小球在 B 点速度最小时，小球与半圆环轨道间的弹力恰好等于 0，此时小球仅受竖直向下的重力作用，根据牛顿第二定律有 mg = \(\frac{{v_{\min }^2}}{r}\)，解得 v_min = \(\sqrt {gR} \) = 2 m/s。

（2）小球从 B 点水平飞出后做平抛运动，小球以最小速度平抛时距离最小，设小球做平抛运动的时间为 t，AC 间最小距离为 x，则水平方向有 x = vt，竖直方向有 2R = \[\frac{1}{2}\]gt²。由此解得 t = 0.4 s，x = 0.8 m。

参考解答：（1）2 m/s；（2）0.8 m

 

2．（1）\(\frac{{l\theta }}{{{t^2}}}\)；（2）\(\frac{{\Delta v}}{t}\)

提示：（1）质点做圆周运动的半径 r = \(\frac{l}{\theta }\)，角速度 ω = \(\frac{\theta }{t}\)，向心加速度的大小 a_n = rω² = \(\frac{{\Delta v}}{t}\)。

（2）如图 6–27 甲所示，设物体在 A 点时速度为 v_A，经过很短的时间 Δt 运动到 B 点，速度为 v_B，转过的角度为 θ，速度变化量 Δv = v_B – v_A，如图 6–27 乙所示。

比值 \(\frac{{\Delta v}}{{\Delta t}}\) 是物体在 Δt 时间内的平均加速度，方向与 Δv 的方向相同。当 Δt 趋近于 0 时，\(\frac{{\Delta v}}{{\Delta t}}\) 就表示物体在 A 点的瞬时加速度。在图示的矢量三角形中，v_A = v_B = v。当 Δt 趋近于 0 时，θ 也趋近于 0，Δv 的方向趋近于跟 v_A 垂直，且指向圆心，所以向心加速度的方向沿半径指向圆心。由以上分析可知，向心加速度大小 a_n = \(\frac{{\Delta v}}{t}\)。

向心加速的方向和公式的推导是一个难点内容，本题用三角形法则较好地突破了速度与速度变化量的方向关系的难点，并结合极限思想推导向心加速度公式，加强用数学工具解决物理问题的训练，培养学生严谨的科学态度和科学推理能力。

 

3．观察到白点逆时针转动，周期为 1 s。

提示：圆盘转动一周所需要的时间为 T₁ = \(\frac{1}{{20}}\) s，频闪光源每隔 T₂ = \(\frac{1}{{21}}\) s 闪一次，所以频闪光源每闪一次，白点尚未运动一周，故观察到白点逆时针转动。每次闪光，白点与原位置相差的角 Δθ = 2π – ω₁T₂ = 2π − \(\frac{{2\pi }}{{{T_1}}}\)×T₂ = \(\frac{{2\pi }}{{21}}\)，所以白点转动的周期 T = \(\frac{{2\pi }}{\omega }\) = \(\frac{{2\pi }}{{\frac{{\Delta \theta }}{{{T_2}}}}}\) = 1 s。

本题实际上是两个质点以不同的角速度做匀速圆周运动的追击问题，即 \(\frac{1}{T}\) = \(\frac{1}{{{T_1}}}\) − \(\frac{1}{{{T_2}}}\) = n₂ – n₁。学生在分析问题时，会错误地认为频闪比圆盘转动的快，看到白点的转动会更快，其实应当分析每次闪光时白点所在位置的变化才能判断白点转动的方向，并计算出白点转动的周期。

参考解答：观察到白点逆时针转动，周期为 1 s。

 

4．（1）因转动的角速度大小未知，故小球在最高点时，杆对球的作用力 F₁ 方向不能确定。假设 F₁ 的方向竖直向下。根据 F₁ ＋ mg = mω²l 解得 F₁ = m（ω²l − g）。

若 ω＞\(\sqrt {\frac{g}{l}} \)，杆对小球的拉力大小为 F₁ = m（ω²l − g），方向竖直向下。

若 ω =\(\sqrt {\frac{g}{l}} \) ，F₁ = 0，杆对小球恰好无作用力。

若 ω＜\(\sqrt {\frac{g}{l}} \)，杆对小球的支持力大小为 F₁ = m（g − ω²l），方向竖直向上。

（2）小球运动到水平位置 A 处时，杆对球的竖直方向分力 F_y = mg，水平方向分力 F_x = mω²l，故杆对球的作用力大小 F₂ = \(\sqrt {F_x^2 + F_y^2} \) = \(\sqrt {{m^2}{\omega ^4}{l^2} + {m^2}{g^2}} \)。设该作用力与水平方向夹角为 θ，则有 tanθ = \(\frac{{{F_x}}}{{{F_y}}}\) = \(\frac{{mg}}{{m{\omega ^2}l}}\) = \(\frac{g}{{{\omega ^2}l}}\)。

故在位置 A 处杆对小球的作用力方向斜右向上，与水平方向夹角为 θ = arctan\(\frac{g}{{{\omega ^2}l}}\)。

提示：对于竖直平面内的圆周运动，注意，要注意在最高点，杆对球的作用力可能是拉里，也可能是支持力，还可能无作用力。通过分类讨论，以培养学生的发散思维和全面分析问题的能力。第（2）问求在A点杆对球的作用力时，要注意该作用力是杆对球在水平和竖直两个方向的分力的合力。

 

5．（1）mω²l；（2）ω 与 l 无关；（3）成正比

提示：（1）如图 6–28 甲所示，小球受到重力和沿细绳方向的拉力，设细绳与竖直方向的夹角为 θ。沿水平方向轴方向有 F_n = Fsinθ = mω²lsinθ，解得细绳对小球的拉力 F = mω²l。

（2）如图 6–28 乙所示，小球受到重力和细绳拉力的合力指向圆心，有 mgtanθ = mω²htanθ，解得 ω = \(\sqrt {\frac{g}{h}} \)。可见，轨迹圆的圆心 O 到悬点 B 的距离 h 不变，改变绳长 l 时，角速度 ω 保持不变，与绳长 l 无关。

（3）由第（1）（2）两问的结论 F = mω²l 和 ω = \(\sqrt {\frac{g}{h}} \)，解得 F = \(\frac{{mgl}}{h}\)，细绳的拉力 F 与绳长 l 成正比。

参考解答：（1）mω²l；（2）ω 与 l 无关；（3）成正比

 

6．（1）\(\frac{{11}}{3}\)mg；（2）绳长为 \(\frac{{d}}{2}\)，最大水平距离为 \(\frac{{2d}}{{\sqrt 3 }}\)

提示：（1）已知手与球之间的绳长为 \(\frac{{d}}{4}\)，平抛的水平位移为 d，设小球在最低点时绳能承受的最大拉力为 F_max，根据向心力公式和平抛运动规律，有 F_amx – mg = ，d = vt，d − \(\frac{{d}}{4}\) = \(\frac{{1}}{2}\)gt²。由此解得 F_max = \(\frac{{11}}{3}\)mg。

（2）如图 6–29 所示，设手与球之间的绳长为 r，平抛的水平位移为 x，由第 1 问可知绳能承受的最大拉力为 F_max = \(\frac{{11}}{3}\)mg，根据向心力公式和平抛运动规律，有 F_max – mg = \(\frac{{m{v^2}}}{r}\)，x = vt，d – r = \(\frac{{1}}{2}\)gt²，由此解得 F_max = mg + \(\frac{{{x^2}}}{{2r(d - r)}}\)。当 F_max = \(\frac{{11}}{3}\)mg 时，代入上式有 x² = \(\frac{{16}}{3}\)r(d − r)，则当 r = \(\frac{{d}}{2}\) 时，x_max = \(\frac{{2d}}{{\sqrt 3 }}\)。

根据临界状态下圆周运动和平抛运动表达式求解最大拉力，并进一步建立二次函数表达式进行分析讨论，体现数理结合的方法。

 

7．（1）12.7 m/s；（2）263 N，方向沿着倾斜路面指向内侧

提示：（1）自行车恰好不受摩擦力时，运动员和自行车所受重力及赛道支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有 mgtan15° = m\(\frac{{v_0^2}}{r}\)，解得 v₀ = \(\sqrt {gr\tan 15^\circ } \) = 12.7 m/s。

（2）运动员骑自行车以 v₁ = 18 m/s 做匀速圆周运动时，因 v₁ > v₀，故赛道给自行车的静摩擦力 F_f 沿斜面向下，受力分析如图 6–30 所示。

在 x 轴方向由牛顿第二定律可知 F_f + mgsin15° = ma。将自行车水平加速度沿 x 轴分解得 a_x = acos15°，再根据向心加速度公式 a = \(\frac{{{v^2}}}{r}\)，联立解得 v = 5.4 m/s，a_x = 5.22 m/s²，F_f = 263 N。

摩擦力方向沿着倾斜路面指向内侧。

以场地自行车比赛圆形赛道为背景，在新的情景中巩固处理火车转弯问题的思路和方法。当恰好无摩擦力时，赛道的支持力和重力的合力提供向心力，当圆周运动的速度超过临界速度时，向心力增大，使赛道提供向内的静摩擦力。实际上，场地自行车赛道并不是圆形，各处的坡度和对应的曲率半径也不相同，所以应是特指在赛道上的某一处，且不能说做匀速圆周运动。