第五章 第 1 节 曲线运动

到目前为止，我们只研究了物体沿着一条直线的运动。实际上，自然界中的曲线运动是很常见的。运动员奋力投球，篮球沿着一条优美的弧线进入篮筐；亿万年来地球在接近圆形的轨道上绕太阳时刻不停地公转。抛出的篮球、公转的地球，它们运动的轨迹都是曲线。我们把轨迹是曲线的运动称为曲线运动（curvilinear motion）。从现在开始，我们把目光转向抛体运动、圆周运动，以及更一般的曲线运动。从中我们可以体会到，研究直线运动时的基本思路和方法，原则上同样可以用来处理曲线运动。

力学是关于运动的科学，它的任务是以完备而又简单的方式描述自然界中发生的运动。

——基尔霍夫 [1]

第五章 1 曲线运动

问题？

观察右边两幅图片描述的现象，你能不能说清楚：砂轮打磨下来的炽热微粒和飞出去的链球，分别沿着什么方向运动？

         

我们知道，物体做直线运动时，速度方向与运动轨迹一致。物体做曲线运动时，速度方向又是怎样的呢？

曲线运动的速度方向

运动员掷链球时，链球在手的牵引下做曲线运动，一旦运动员放手，链球即刻飞出。放手的时刻不同，链球飞出的方向也不一样。可见，做曲线运动的物体，速度的方向在不断变化。下面我们来研究做曲线运动的物体在某一时刻的速度方向。

演示

观察做曲线运动物体的速度方向

如图 5.1-1，在水平桌面上放一张白纸，白纸上摆一条由几段稍短的弧形轨道组合而成的弯道。使表面沾有红色印泥的钢球以一定的初速度从弯道的 C 端滚入，钢球从出口 A 离开后会在白纸上留下一条运动的痕迹，它记录了钢球在 A 点的运动方向。

拆去一段轨道，出口改在 B。用同样的方法可以记录钢球在 B 点的运动方向。

白纸上的印迹与轨道（曲线）有什么关系？

除实验方法外，还有什么方法可以确定物体在某一时刻的速度方向？讨论这一问题时要明确一个数学概念——曲线的切线。

如图 5.1-2，过曲线上的 A、B 两点作直线，这条直线叫作曲线的割线。设想 B 点逐渐沿曲线向 A 点移动，这条割线的位置也就不断变化。当 B 点非常非常接近 A 点时，这条割线就叫作曲线在 A 点的切线（tangent）。

在初中数学里我们已经知道了圆的切线。对于其他曲线，切线指的是什么？

假设图 5.1-2 中的曲线是某一质点的运动轨迹。若质点在一段时间内从 B 点运动到 A 点，则质点的平均速度的方向由 B 点指向 A 点。当 B 点越来越靠近 A 点时，质点的平均速度方向将越来越接近 A 点的切线方向。当 B 点与 A点的距离接近 0 时，质点在 A 点的速度方向沿过 A 点的切线方向。

根据上面的分析，可以得到结论：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。

速度是矢量，既有大小，又有方向。由于曲线运动中速度的方向是变化的，所以曲线运动是变速运动。

物体做曲线运动的条件

思考与讨论

物体如果不受力，将静止或做匀速直线运动。那么，你认为物体在什么条件下做曲线运动呢？

物体做曲线运动时，由于速度方向时刻改变，物体的加速度一定不为 0，因此，物体所受的合力一定不为 0。

物体受什么样的力才会做曲线运动？下面我们通过实验来研究这个问题。

演示

观察钢球的运动轨迹

一个钢球在水平面上做直线运动。从不同方向给它施加力，例如在钢球运动路线的正前方或旁边放一块磁铁（图5.1-3），观察钢球的运动。

由实验可以看出，当钢球受到的合力的方向与速度方向不在同一条直线上时，钢球做曲线运动。生活中也有大量类似的例子。例如，向斜上方抛出的石子，它所受重力的方向与速度的方向不在同一条直线上，石子做曲线运动。

大量事实表明：当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。

根据牛顿第二定律，物体加速度的方向与它受力的方向总是一致的。当物体受力的方向与速度的方向不在同一直线上时，加速度的方向也就与速度的方向不在同一直线上了，于是物体的速度方向要发生变化，物体就做曲线运动。

做一做

用飞镖显示曲线运动的速度方向

如图 5.1-4，取一根稍长的细杆，一端固定一枚铁钉，另一端用羽毛或纸片做成尾翼，这样就得到了一个能够显示曲线运动速度方向的“飞镖”。

在空旷地带把飞镖抛出，飞镖在空中各点的指向就是它在该点的速度方向。飞镖落至地面插入泥土后的指向就是它落地瞬时的速度方向。

改变飞镖的投射角，观察它在飞行过程中直到插入泥土时的速度方向。

联系飞镖在空中做曲线运动的轨迹，体会曲线运动的速度方向与轨迹曲线的关系。

练习与应用

本节配置了 5 道习题，其目的是让学生更好地理解所学的物理概念，能在熟悉的问题情境中应用常见的物理模型，能对比较简单的物理现象进行分析和推理，获得结论。第 1 题和第 2 题考察学生将实际问题抽象为简单的物理模型的能力，以深化对曲线运动的速度方向沿轨迹上该点的切线方向的理解和认识。第 3 题和第 4 题，要求学生理解圆周运动的速度方向沿圆周上该点的切线方向，并能进行简单的科学推理，从而获得结论。第 5 题要求学生掌握根据物体的受力情况判断物体的运动情况的方法，体会速度方向、合力方向与轨迹的弯曲之间的关系。

1．跳水运动是一项难度很大又极具观赏性的运动，我国跳水队多次在国际跳水赛上摘金夺银，被誉为跳水“梦之队”。图 5.1-5 中虚线描述的是一位跳水运动员高台跳水时头部的运动轨迹，最后运动员沿竖直方向以速度 v 入水。整个运动过程中，除运动员入水前一段时间外，在哪几个位置头部的速度方向与入水时速度 v 的方向相同？在哪几个位置与速度 v 的方向相反？在图中标出这些位置。

参考解答：如图所示，在 A、C 位置头部的速度与入水时的速度方向相同；在 B、D 位置头部的速度与入水时的速度方向相反。

提示：本题以“梦之队”为素材设置问题，加强爱国主义教育。把运动员头部的运动看作质点的运动，深化对曲线运动的速度方向沿该点轨迹的切线方向的认识。

2．图 5.1-6 是从高空拍摄的一张地形照片，河水沿着弯弯曲曲的河床做曲线运动。图中哪些地方河水的速度方向跟箭头所指 P 处流水的速度方向相同？请把这些地方标注出来。

参考解答：标注略。

提示：在实际问题中理解曲线运动的速度方向为该点轨迹的切线方向。

3．汽车以恒定的速率绕圆形广场一周用时 2 min，每行驶半周，速度方向改变的角度是多少？汽车每行驶 10 s，速度方向改变的角度是多少？先画一个圆表示汽车运动的轨迹，然后作出汽车在相隔 10 s 的两个位置的速度矢量示意图。

参考解答：汽车行驶半周速度的方向改变 π。汽车每行驶 10 s，速度方向改变 \(\frac{{2\pi }}{{2 \times 60}}\)×10 = \(\frac{\pi }{6}\)，速度矢量的示意图如图 5-9 所示。

提示：将汽车的运动抽象为质点的圆周运动，理解圆周运动的速度方向沿圆周上该点的切线方向。根据几何知识，某段时间内速度方向改变的角度就是该段时间内半径转过的角度。

4．一质点沿着圆周运动。请证明：质点与圆心连线所扫过的角度与质点速度方向改变的角度相等。

参考解答：如图 5-10 所示，设质点与圆心连线所扫过的角度为 α，质点速度方向改变的角度为 β，则 180° − α = 180° − β，故 α = β。

提示：运用数学知识证明即可。圆周运动某段时间内速度方向改变的角度与该段时间内质点与圆心连线所扫过的角度相等。

5．一个物体在光滑水平面上运动，其速度方向如图 5.1-7 中的 v 所示。从 A 点开始，它受到向前但偏右（观察者沿着物体前进的方向看，下同）的合力。到达 B 点时，这个合力的方向突然变得与前进方向相同。达到 C 点时，合力的方向又突然改为向前但偏左。物体最终到达 D 点。请你大致画出物体由 A 至 D 的运动轨迹，并标出 B 点、C 点和 D 点。

参考解答：如图 5-11 所示，AB 段是曲线运动、BC 段是直线运动、CD 段是曲线运动。

发布时间：2022/8/3 下午3:41:23  阅读次数：5215