第 4 节  质谱仪与回旋加速器  教学建议

1．教学目标

（1）了解质谱仪和回旋加速器的工作原理。

（2）经历质谱仪工作原理的推理过程，体会逻辑推理的思维方法。了解回旋加速器面临的技术难题，体会科学与技术之间的相互影响。

2．教材分析与教学建议

本节教材的内容属于带电粒子在电场和磁场中运动的综合应用。既然电场、磁场都可以对运动的带电粒子施加作用力，那么利用电场、磁场就可以控制带电粒子的运动。利用电场让带电粒子获得一定的速度，利用磁场让带电粒子做圆周运动。如果带电粒子的电荷量相同，加速电场的电压相同，偏转磁场的磁感应强度相同，而粒子的质量不同，那么圆周运动的半径就不同。19 世纪末，汤姆孙的学生阿斯顿根据这一思路设计出了质谱仪。带电粒子在电场中的加速和带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动的结合是一个难点，可以让学生尝试自主推导，在自主推导的过程中弄清楚其中各物理量的逻辑关系。

回旋加速器利用电场加速带电粒子、磁场控制带电粒子的运动，理解其原理是学习的关键。教学中要明确：回旋加速器中电场的作用是什么？磁场的作用又是什么？带电粒子是怎样被加速的？这些问题可引导学生讨论。通过讨论既复习，前面学过的知识，又搞清楚了回旋加速器的原理。

（1）问题引入

教材通过在科学研究和工业生产中的实际应用，提出问题，引导学生思考如何分开电荷量相同、质量不同的带电粒子。通过前面的学习，既然电场和磁场可以对运动的带电粒子施加力的作用，那么就可以用电场和磁场来控制带电粒子的运动。如果让一束粒子经过一个加速电场后垂直射入磁场，这束粒子的轨道半径只随粒子的质量不同而不同，根据这一结论就可以制造一个仪器将电荷量相同、质量不同的粒子分开。

（2）质谱仪

结合教材图 1.4–1，分析带电粒子在电场和磁场中的运动情况，把质谱仪的工作原理分为带电粒子在电场中的加速和在磁场中的匀速圆周运动两部分。讲解的过程中要注意两个细节：①根据教材图 1.4–1，质量为 m、电荷量为 q 的粒子，从容器 A 下方的小孔 S₁ 飘入加速电场时，其速度几乎为 0，也就是说带粒子在电势差为 U 的电场中加速时的初速度可视为 0；②粒子进入磁场时的速度 v 等于它在电场中被加速而得到的速度。明确了这两个细节，就可以进行如下推导。

质量为 m、电荷量为 q 的粒子在电势差为 U 的电场中从静止开始加速运动，加速后以速度 v 进入磁感应强度为 B 的磁场做半径为 r 的匀速圆周运动．则

\[\frac{1}{2}m{v^2} = qU\tag*{①}\]

\[qvB = \frac{{m{v^2}}}{r}\tag*{②}\] 

由①②得

\[r = \frac{1}{B}\sqrt {\frac{{2mU}}{q}}\tag*{③} \]

由③式可知，如果带电粒子的电荷量相同而质量不同，粒子做匀速圆周运动的半径就不同，因而打在照相底片的不同地方。

带电粒子运动的研究应用了静电力做功、动能定理和洛伦兹力等知识．学生不难得到带电粒子在匀强磁场中运动的半径表达式。值得重点介绍的是质谱仪的用途，它可以精确测定粒子的比荷、分析同位素、测定带电粒子的质量，也可以介绍测定粒子的比荷在物理学发展史中的重要作用（汤姆孙发现电子）。

（3）回旋加速器

教材首先提出“打开”原子核需要高能“炮弹”，并指出加速器就是制造高能“炮弹”的“工厂”。

引入回旋加速器的思路应该十分清晰：

①可以利用静电力对带电粒子做功增加粒子的能量，ΔE_k = qU，电压越高粒子增加的能量越

大，遇到的困难是技术上不能产生过高的电压；

②解决上述困难的一个途径是进行多级（次）加速，这就是直线加速器，遇到的困难是加速设备很长；

③解决上述困难的一个途径是把加速电场“卷起来”，利用磁场改变带电粒子的运动轨迹让粒子“转圈圈”式地多级（次）加速，这就引入了回加速器；

④结合教材图 1.4–3 介绍回旋加速器的主要装置和原理。

粒子每次经过电场时必须被加速，所以粒子运动半个周期电源必须改变方向。“思考与讨论”栏目中问道，电源的变化周期是否越来越短，这个问题应该让学生讨论后得出结论。通过讨论，学生会发现带电粒子的速度越大，其轨道半径也越大，但周期不变，也就是说带电粒子的运动周期与粒子运动的速度无关，只与粒子自身的性质和磁感应强度的大小有关。

回旋加速器加速带电粒子的局限性也可以让学生讨论。学生能够想到，D 形盒半径不能无限制增大；另一个是受相对论效应的制约，这一点应该由教师介绍。还需要指出，任何先进的仪器都有某些局限性。教学中可引导学生推导出在加速电压和磁感应强度不变的情况下，加速次数和轨道半径的关系式。质量为 m、电荷量为 q 的粒子在电势差为 U 的电场中从静止开始加速运动，加速 n 次后的速度为 v_n，在磁感应强度为 B 的磁场中做半径为 r_n 的匀速圆周运动，有

\[\frac{1}{2}mv_n^2 = nqU\tag*{①}\]

\[q{v_n}B = \frac{{mv_n^2}}{{{r_n}}}\tag*{②}\]

由①②得

\[{r_n} = \frac{1}{B}\sqrt {\frac{{2mnU}}{q}} \tag*{③}\]

根据关系式③，学生很容易想明白在加速电压和磁感应强度不变的情况下，轨道半径的大小决定了加速的次数。

3．“练习与应用”参考答案与提示

本节共 4 道习题。第 1 题考查质谱仪的工作原理，以及怎样测量同位素的质量之比。第 2 题考查回旋加速器的原理，对于电荷量和质量一定的粒子，D 形盒的半径越大、盒内磁感应强度越大，粒子离开加速器时的动能越大。第 3 题考查电子在磁场中匀速圆周运动，通过分析结合几何画图找出圆心半径，从而求出电子的比荷及运动时间。第 4 题考查对回旋加速器的深层次理解，其最大速度、最大动能由哪些因素决定，理解同频才能加速。

 

1．1.17∶1

提示：由 qU = \(\frac{1}{2}\)mv² 和 r = \(\frac{{mv}}{{qB}}\) 得 r = \(\frac{1}{B}\sqrt {\frac{{2mU}}{q}} \) ∝ \(\sqrt m \)，所以 m_A∶m_B = d_A²∶d_B² = 1.08²∶1² = 1.17∶1。

 

2．\(\frac{{{q^2}{B^2}{r^2}}}{{2m}}\)

提示：带电粒子离开回旋加速器时，做匀速圆周运动的半径等于 D 形盒的半径，由 qvB = \(\frac{{m{v^2}}}{r}\) 得 v = \(\frac{{qBr}}{m}\)。所以，粒子离开 D 形盒时的动能为 E_k =  \(\frac{1}{2}\)mv² = \(\frac{{{q^2}{B^2}{r^2}}}{{2m}}\)。

 

3．\(\frac{{\sqrt 3 v}}{{2Bd}}\)，\(\frac{{2\sqrt 3 \pi d}}{{9v}}\)

提示：由带电粒子在磁场中运动的偏转角，可知带电粒子运动轨迹所对的圆心角为 60°，因此，由几何关系得磁场宽度 d = rsin60° = \(\frac{{mv}}{{qB}}\)sin60°，所以比荷 \(\frac{q}{m}\) = \(\frac{{\sqrt 3 v}}{{2Bd}}\)。由 T = \(\frac{{2\pi m}}{{qB}}\)，可得 t = \(\frac{T}{6}\) = \(\frac{{2\sqrt 3 \pi d}}{{9v}}\)。

 

4．（1）粒子在 D 形盒中的匀强磁场内做匀速圆周运动，每次经过电场加速后，轨道半径均增大。（2）\(\frac{{qB}}{{2\pi m}}\)       （3）\(\frac{{{q^2}{B^2}{R^2}}}{{2m}}\)

提示：由 qvB = \(\frac{{m{v^2}}}{r}\)，得 v = \(\frac{{qBr}}{m}\)，当 r 为最大值 R 时，粒子速度最大。所以，粒子最大动能 E_k = \(\frac{1}{2}\)mv² = \(\frac{{{q^2}{B^2}{R^2}}}{{2m}}\)。