第一章 第 3 节 带电粒子在匀强磁场中的运动

问题？

在现代科学技术中，常常要研究带电粒子在磁场中的运动。如果沿着与磁场垂直的方向发射一束带电粒子，请猜想这束粒子在匀强磁场中的运动径迹，你猜想的依据是什么？

带电粒子在匀强磁场中的运动

要分析上述问题中带电粒子的运动，就需要分析粒子的受力情况。我们知道，带电粒子在磁场中运动要受到洛伦兹力的作用。由于带电粒子初速度的方向和洛伦兹力的方向都在与磁场方向垂直的平面内，所以粒子在这个平面内运动。

洛伦兹力总是与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的方向，不改变粒子速度的大小。由于粒子速度的大小不变，粒子在匀强磁场中所受洛伦兹力的大小也不改变，洛伦兹力对粒子起到了向心力的作用。所以，沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动（图1.3-1）。

思考与讨论

垂直射入磁场的带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，圆周的半径可能与哪些因素有关？周期可能与哪些因素有关？

带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期

考虑到粒子所受的洛伦兹力提供了它做匀速圆周运动的向心力，列出方程来就不难得到几个物理量之间的关系式。然后就可以分别判断粒子的速度和磁场的强弱对圆半径的影响。

假设一个电荷量为 q 的粒子，在磁感应强度为 B 的匀强磁场中以速度 v 运动，那么带电粒子所受的洛伦兹力为

\[F = qvB\]

洛伦兹力提供向心力

\[qvB = m\frac{{{v^2}}}{r}\]

由此可解得圆周运动的半径

\[r = \frac{{mv}}{{qB}}\]

从这个结果可以看出，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径与它的质量、速度成正比，与电荷量、磁感应强度成反比。

演示

观察带电粒子的运动径迹

图 1.3-2 是洛伦兹力演示仪的示意图。电子枪可以发射电子束。玻璃泡内充有稀薄的气体，在电子束通过时能够显示电子的径迹。励磁线圈能够在两个线圈之间产生匀强磁场，磁场的方向与两个线圈中心的连线平行。

分别预测下列情况下带电粒子的运动径迹，然后用洛伦兹力演示仪进行检验。

1．不加磁场。

2．在玻璃泡中施加沿两线圈中心连线方向、由纸面指向读者的磁场。

3．保持出射电子的速度不变，改变磁感应强度。

4．保持磁感应强度不变，改变出射电子速度的大小和方向。

在上面的实验中，不加磁场时，电子束的径迹是一条直线（图1.3-3）。加磁场后电子束的径迹是一个圆（图1.3-4）。当电子束出射速度不变，磁感应强度变大时，这个圆的半径变小；当磁感应强度不变，电子束出射速度变大时，这个圆的半径变大。

我们还可以根据圆周运动的知识分析带电粒子做匀速圆周运动的周期。匀速圆周运动的周期 T = \(\frac{{2\pi r}}{v}\)，将 r = \(\frac{{mv}}{{qB}}\) 代入，可得

\[T = \frac{{2\pi m}}{{qB}}\]

由此可见，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期跟轨道半径和运动速度无关。这是一个很重要的结论，下一节介绍的回旋加速器就是依据这个原理制成的。

【例题】

一个质量为 1.67×10⁻²⁷ kg、电荷量为 1.6×10⁻¹⁹ C 的带电粒子，以 5×10⁵ m/s 的初速度沿与磁场垂直的方向射入磁感应强度为 0.2 T 的匀强磁场。求：

（1）粒子所受的重力和洛伦兹力的大小之比；

（2）粒子在磁场中运动的轨道半径；

（3）粒子做匀速圆周运动的周期。

分析 依据所给数据分别计算出带电粒子所受的重力和洛伦兹力，就可求出所受重力与洛伦兹力之比。带电粒子在匀强磁场中受洛伦兹力并做匀速圆周运动，由此可以求出粒子运动的轨道半径及周期。

解 （1）粒子所受的重力

G = mg = 1.67×10⁻²⁷ ×9.8 N = 1.64×10⁻²⁶ N

所受的洛伦兹力

F = qvB = 1.6×10⁻¹⁹ ×5×10⁵ ×0.2 N = 1.6×10⁻¹⁴ N

重力与洛伦兹力之比

\[\frac{G}{F} = \frac{{1.64 \times {{10}^{ - 26}}}}{{1.6 \times {{10}^{ - 14}}}} = 1.03 \times {10^{ - 12}}\]

可见，带电粒子在磁场中运动时，洛伦兹力远大于重力，重力作用的影响可以忽略。

（2）带电粒子所受的洛伦兹力为

\[F = qvB\]

洛伦兹力提供向心力，故

\[qvB = m\frac{{{v^2}}}{r}\]

由此得到粒子在磁场中运动的轨道半径

\[r = \frac{{mv}}{{qB}} = \frac{{1.67 \times {{10}^{ - 27}} \times 5 \times {{10}^5}}}{{1.6 \times {{10}^{ - 19}} \times 0.2}}\;{\rm{m}} = 2.61 \times {10^{ - 2}}\;{\rm{m}}\]

（3）粒子做匀速圆周运动的周期

\[T = \frac{{2\pi r}}{v} = \frac{{2\pi m}}{{qB}} = \frac{{2 \times 3.14 \times 1.67 \times {{10}^{ - 27}}}}{{1.6 \times {{10}^{ - 19}} \times 0.2}}\;{\rm{s}} = 3.28 \times {10^{ - 7}}\;{\rm{s}}\]

练习与应用

1．电子以 1.6×10⁶ m/s 的速度沿着与磁场垂直的方向射入 B = 2.0×10⁻⁴ T 的匀强磁场中。求电子做匀速圆周运动的轨道半径和周期。

参考解答：4.6×10⁻² m，1.8×10⁻⁷ s

2．已知氚核的质量约为质子质量的 3 倍，带正电荷，电荷量为一个元电荷；α 粒子即氦原子核，质量约为质子质量的 4 倍，带正电荷，电荷量为 e 的 2 倍。现在质子、氚核和 α 粒子在同一匀强磁场中做匀速圆周运动。求下列情况中它们运动的半径之比：

（1）它们的速度大小相等；

（2）它们由静止经过相同的加速电场加速后进入磁场。

参考解答：（1）1∶3∶2

（2）1∶\(\sqrt 3 \)∶\(\sqrt 2 \)

3．如图 1.3-5 所示，一个质量为 m、带负电荷粒子电荷量为 q、不计重力的带电粒子从 x 轴上的 P 点以速度 v 沿与 x 轴成 60° 的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于 y 轴射出第一象限。已知 OP = a，求：

（1）匀强磁场的磁感应强度 B 的大小；

（2）带电粒子穿过第一象限所用的时间。

参考解答：（1）\(\frac{{\sqrt 3 mv}}{{2qa}}\)

（2）\(\frac{{4\sqrt 3 \pi a}}{{9v}}\)

发布时间：2022/7/17 上午11:09:36  阅读次数：3743