第四章 第 1 节 光的折射

光给世界带来光明，使我们能看清周围的景物，进行各种活动；光从太阳、星球射到我们这里，给我们带来了宇宙空间的信息，使我们能够认识宇宙；光从原子、分子内部发射出来，使我们认识了微观世界的奥秘。光学既是物理学中一门古老的学科，又是现代科学领域中最活跃的前沿科学之一，具有强大的生命力和不可估量的发展前景。

按照不同的研究目的，光学可以粗略地分为两大分支：一支利用几何学的概念和方法研究光的传播规律，称为几何光学；另一支主要研究光的本性以及光与物质相互作用的规律，通常称为物理光学。

在本章中，我们将学习几何光学和物理光学的初步知识。

固执于光的旧有理论的人们，最好是从它自身的原理出发，提出实验的说明。并且，如果他的这种努力失败的话，他应该承认这些事实。

——托马斯·杨[1]

第四章 第 1 节 光的折射

问题？

射水鱼在水中能准确射中水面上不远处的小昆虫。水中的鱼看到小昆虫在什么位置？是在昆虫的上方还是下方？

阳光照射水面时，我们能够看到水中的鱼和草，同时也能看到太阳的倒影，这说明：光从空气射到水面时，一部分光射进水中， 另一部分光返回到空气中。一般说来，光从第 1 种介质射到该介质与第 2 种介质的分界面时，一部分光会返回到第1种介质，这个现象叫作光的反射；另一部分光会进入第2种介质，这个现象叫作光的折射（图4.1-1）。

光在反射时遵从反射定律，光在折射时遵从什么规律呢？

折射定律

如图 4.1-2，让一束光由一种介质斜着射向另一种介质，例如，从空气射向水中，入射光线与法线的夹角 θ₁ 称为入射角，折射光线与法线的夹角 θ₂ 称为折射角。光在折射时，折射角与入射角之间会有什么定量的关系？

我们可以通过做类似图 4.1-2 所示的实验，测量多个入射角和折射角，找出这些数据之间的关系。1621 年，荷兰数学家斯涅耳在分析了大量实验数据后，找到了两者之间的关系，并把它总结为光的折射定律（refraction law）：折射光线与入射光线、法线处在同一平面内，折射光线与入射光线分别位于法线的两侧；入射角的正弦与折射角的正弦成正比，即

\[\tag{1}\label{1}\frac{{\sin {\theta _1}}}{{\sin {\theta _2}}} = {n_{12}}\]

式中 n₁₂ 是比例常数，它与入射角、折射角的大小无关，只与两种介质的性质有关。[2] 我们在初中学过的透镜就是根据光的折射原理制成的。

事实表明，当光从水中斜射入空气时也会发生偏折，而且当光线沿图 4.1-2 中 BO 的方向进入空气时，折射光线必沿 OA 的方向射出。也就是说，与光的反射现象一样，在光的折射现象中，光路也是可逆的。

折射率

下面我们讨论光从真空射入介质的情形。这时，（1）式中的常数 n₁₂ 可以简单地记为 n。

在实际应用中，遇到最多的情形是光从空气射入某种介质，或从某种介质射入空气，而空气对光的传播的影响很小，可以作为真空处理。

对于不同的介质来说，常数 n 是不同的。例如，光从真空射入水中时，n = 1.33 ；光从真空射入某种玻璃时，n = 1.50。可见常数 n 与介质有关系，是一个反映介质的光学性质的物理量。常数 n 越大，光线以相同入射角从真空斜射入这种介质时偏折的角度越大。

光从真空射入某种介质发生折射时，入射角的正弦与折射角的正弦之比，叫作这种介质的绝对折射率，简称折射率（refractive index），用符号 n 表示。真空的折射率为 1，空气的折射率近似为 1。

研究表明，光在不同介质中的传播速度不同；某种介质的折射率，等于光在真空中的传播速度 c 与光在这种介质中的传播速度 v 之比，即

\[n = \frac{c}{v}\]

由于光在真空中的传播速度 c 大于光在任何其他介质中的传播速度 v，因而任何介质的折射率 n 都大于 1。所以，光从真空射入任何介质时，sin θ₁ 都大于 sin θ₂，即入射角总是大于折射角。下表列出了几种介质的折射率。

表 几种介质的折射率（λ = 589.3 nm   t = 20 ℃）

折射率是衡量材料光学性能的重要指标。根据折射定律，可以测量材料的折射率。

实验

测量玻璃的折射率

如图 4.1-3，当光以一定的入射角透过一块两面平行的玻璃砖时，只要找出与入射光线 AO 相对应的出射光线 O′D，就能够画出光从空气射入玻璃后的折射光线 OO′，于是就能测量入射角 θ₁、折射角 θ₂。根据折射定律，就可以求出玻璃的折射率了。

怎样确定与入射光线 AO 相对应的折射光线 OO′？

在木板上面铺一张白纸，把玻璃砖放在纸上，描出玻璃砖的两个边 a 和 a′。然后，在玻璃砖的一侧插两个大头针 A、B，AB 的延长线与直线 a 的交点就是 O。眼睛在另一侧透过玻璃砖看两个大头针，使 B 把 A 挡住（图 4.1-3），这样大头针 A、B 就确定了射入玻璃砖的光线。

在眼睛这一侧再插第三个大头针 C，使它把 A、B 都挡住，插第四个大头针 D，使它把前三个大头针都挡住，那么，后两个大头针就确定了从玻璃砖射出的光线。

在白纸上描出光线的径迹，测量相应的角度，计算玻璃的折射率 n。

实验中，应该采取哪些措施以减小误差？

【例题】

如图 4.1-4 ，一个储油桶的底面直径与高均为 d。当桶内没有油时，从某点 A 恰能看到桶底边缘的某点 B。当桶内油的深度等于桶高的一半时，仍沿 AB 方向看去，恰好看到桶底上的点 C，C、B 两点相距 \(\frac{d}{4}\)。求油的折射率和光在油中传播的速度。

分析 在图乙中过直线 AB 与油面的交点 O 作油面的垂线，交桶底于 N′ 点。根据题意可知，来自 C 点的光线沿 CO 到达油面后沿 OA 方向射入空气。折射现象中光路是可逆的，因此如果光线沿 AO 方向由空气射到油面，折射光线将沿 OC 进入油中。以 ∠AON 作为入射角，以 ∠CON′ 作为折射角，由折射定律可以求出油的折射率 n。

解 因为底面直径与桶高相等，所以

∠AON =∠BON′= 45º

由 ON′= 2CN′ 可知

sin ∠CON′= \(\frac{{CN'}}{{\sqrt {C{{N'}^2} + O{{N'}^2}} }}\) = \(\frac{1}{{\sqrt 5 }}\)

因此，油的折射率

\[n = \frac{{\sin \angle AON}}{{\sin \angle CON'}} = \frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{1}{{\sqrt 5 }}}} = \sqrt {\frac{5}{2}}  = 1.58\]

因为 n = \(\frac{c}{v}\)，所以光在油中的传播速度

v = \(\frac{c}{n}\) = \(\frac{{3.0 \times {{10}^8}}}{{1.58}}\) m/s = 1.9×10⁸ m/s

练习与应用

本节共 6 道习题，第 1 题定性分析光发生折射时的光路．考查光由空气射入玻璃再由玻璃射入空气时的折射情况；第 2、3 题是定量计算，应用折射定律计算相关物理量，其中第 2 题还涉及画光路图；第 4 题考查利用折射的知识解决实际问题；第 5 题是对测量玻璃折射率实验的进一步理解；第 6 题分析生活中出现的光的折射现象，观察筷子放入水中时看到的现象并解释产生该现象的原因。

1．图 4.1-5 是光线由空气射入半圆形玻璃砖，再由玻璃砖射入空气中的光路图。O 点是半圆形玻璃砖的圆心，指出哪些情况是可能发生的，哪些情况是不可能发生的。

参考解答：甲、丁不可能发生，乙、丙可能发生。

2．光以 60° 入射角从空气射入折射率 n = \(\sqrt 3 \) 的玻璃中，折射角是多大？画出光路图。

参考解答：30°。光路图略。

3．图 4.1-6 是光由空气射入某种介质时的折射情况，试由图中所给出的数据求出这种介质的折射率和这种介质中的光速。

参考解答：折射率 n = 1.12，介质中的光速 v = 2.68×10⁸ m/s。

4．为了从坦克内部观察外部的目标，在坦克壁上开了一个孔。假定坦克壁厚 20 cm，孔的左右两边距离 12 cm，孔内安装一块折射率为 1.52 的玻璃，厚度与坦克的壁厚相同（图4.1-7，俯视图）。坦克内的人通过这块玻璃能看到的外界角度范围为多大？

参考解答：102.92°

提示：根据图可知，人在左侧从内向外观察时 sinθ₂ = \(\frac{{12}}{{\sqrt {{{20}^2} + {{12}^2}} }}\)，根据折射定律  n = \(\frac{{\sin {\theta _1}}}{{\sin {\theta _2}}}\)，得 θ = arcsin（nsinθ₂）= arcsin \(\frac{{12 \times 1.52}}{{\sqrt {{{20}^2} + {{12}^2}} }}\) =51.46°。人在坦克内通过玻璃向外观察时，视角范围为从左侧（或右侧）观察时的两倍，即视角 θ = 2θ₁ = 102.92°。

5．关于图 4.1-3 测定玻璃折射率的实验，回答以下问题。

（1）证明图中的入射光线与射出玻璃砖的光线是平行的。

（2）射出玻璃砖的光线相对入射光线来说产生了侧移。证明：入射角越大，侧移越大。

参考解答：（1）如图所示，对于入射点 O，根据折射定律得 n = \(\frac{{\sin {\theta _1}}}{{\sin {\theta _2}}}\)；对于出射点 O′，同理可以得到 n = \(\frac{{\sin {\theta _4}}}{{\sin {\theta _3}}}\)，因为 θ₂ = θ₃，所以 θ₁ = θ₄，AO∥O′D。

（2）侧移 O′C = OO′sin（θ₁ − θ₂），由图可知，O′O 随 θ₁ 增大而增大。下面证明：当θ₁ 增大时，sin（θ₁ − θ₂）也增大。

sin（θ₁ − θ₂）= sinθ₁cosθ₂ − cosθ₁sinθ₂

为使式中只出现一个变量 sinθ₁，现用 \(\sqrt {1 - {{\sin }^2}{\theta _2}} \) 表示 cosθ₂，再用 \(\frac{{\sin {\theta _1}}}{n}\) 表示 sinθ₂，整理后得

sin（θ₁ − θ₂）= \(\frac{{\sin {\theta _1}}}{n}\) （\(\sqrt {{n^2} - {{\sin }^2}{\theta _1}} \) − \(\sqrt {1 - {{\sin }^2}{\theta _1}} \)）

分子分母同乘以（\(\sqrt {{n^2} - {{\sin }^2}{\theta _1}} \) + \(\sqrt {1 - {{\sin }^2}{\theta _1}} \)）得

sin（θ₁ − θ₂）= \(\frac{{\sin {\theta _1}}}{n}\)·\(\frac{{{n^2} - 1}}{{\sqrt {{n^2} - {{\sin }^2}{\theta _1}}  + \sqrt {1 - {{\sin }^2}{\theta _1}} }}\)

由于 θ₁ 增大时 sinθ₁ 增大，因此，上式的分子增大，分母减小，其值增大。

由以上可知，当 θ₁ 增大时，OO′ 和 sin（θ₁ − θ₂）都随之增大，因此侧移量 O′C 增大。

6．将一根筷子竖直插入装有水的玻璃杯中，从水平方向拍摄的照片如图 4.1-8 所示。看上去，浸在水中的这段筷子产生了侧移，而且变粗了。如何解释观察到的现象？

参考解答：如图为筷子竖直插入盛水玻璃杯内的俯视图，A 为筷子，ABP 表示由筷子发出的穿过玻璃杯壁 B 处射向观察者所在 P 处的一条光线。ON 为在 B 处和空气的分界线的法线。上述光线则相当于在 B 处由水中射入空气中，图中的角 i 与角 r 分别为此光线的入射角和折射角，根据光的折射规律可知，应有 r > i。所以观察者在 P 处看到的筷子 A 的像 A′ 的位置不是在 A 的实际位置，而是比其实际位置更靠近杯壁一些。同时，玻璃杯此时相当于一个凸透镜，对筷子起到了放大的作用。因此，观察到的筷子比实际要粗一些。

发布时间：2022/7/11 下午4:40:40  阅读次数：4422