第一章 第 5 节 弹性碰撞和非弹性碰撞

问题？

碰撞是自然界中常见的现象。陨石撞击地球而对地表产生破坏，网球受球拍撞击而改变运动状态……

物体碰撞中动量的变化情况，前面已进行了研究。那么，在各种碰撞中能量又是如何变化的？

物体碰撞时，通常作用时间很短，相互作用的内力很大，因此，外力往往可以忽略不计，满足动量守恒条件。下面我们从能量的角度研究碰撞前后物体动能的变化情况，进而对碰撞进行分类。

弹性碰撞和非弹性碰撞

在本章第一节图 1.1-2 所示的实验中，经过计算我们知道，如果碰撞后两小车粘在一起，则总动能减少。物体碰撞的情况多种多样。下面我们研究带弹性碰撞架小车的碰撞，看看小车碰撞前后动能是如何变化的。

实验

研究小车碰撞前后的动能变化

如图 1.5-1，滑轨上有两辆安装了弹性碰撞架的小车，它们发生碰撞后改变了运动状态。测量两辆小车的质量以及它们碰撞前后的速度，研究碰撞前后总动能的变化情况。

通过实验可以发现，在上述实验条件下，碰撞前后总动能基本不变。

如果系统在碰撞前后动能不变，这类碰撞叫作弹性碰撞（elastic collision）。如果系统在碰撞后动能减少，这类碰撞叫作非弹性碰撞（inelastic collision）。

钢球、玻璃球碰撞时，机械能损失很小，它们的碰撞可以看作弹性碰撞；橡皮泥球之间的碰撞是非弹性碰撞。

在第 4 节实验的“参考案例 1”中，第 1、3 两种情况是弹性碰撞，第 2 种是非弹性碰撞。

【例题】

如图 1.5-2，在光滑水平面上，两个物体的质量都是 m，碰撞前一个物体静止，另一个以速度 v 向它撞去。碰撞后两个物体粘在一起，成为一个质量为 2m 的物体，以一定速度继续前进。碰撞后该系统的总动能是否会有损失？

分析 可以先根据动量守恒定律求出碰撞后的共同速度 v′，然后分别计算碰撞前后的总动能进行比较。

解 根据动量守恒定律， 2mv′ = mv，则

v′ = \(\frac{1}{2}\)v

碰撞前的总动能 E_k = \(\frac{1}{2}\)mv²

碰撞后的总动能 E_k′ = \(\frac{1}{2}\)（2m）v′² = E_k

可见，碰撞后系统的总动能小于碰撞前系统的总动能。

弹性碰撞的实例分析

如图 1.5-3，两个小球相碰，碰撞之前球的运动速度与两球心的连线在同一条直线上，碰撞之后两球的速度仍会沿着这条直线。这种碰撞称为正碰，也叫作对心碰撞或一维碰撞。

下面我们分析一下，发生弹性碰撞的两个物体，由于质量不同，碰撞后的速度将有哪些特点。

为使研究问题简单，我们假设物体 m₁ 以速度 v₁ 与原来静止的物体 m₂ 发生正碰，如图 1.5-4 所示。碰撞后它们的速度分别为 v₁′ 和 v₂′。

碰撞过程遵从动量守恒定律，据此可以列出包含上述各已知量和未知量的方程

\[\tag{1}\label{1}{m_1}{v_1} = {m_1}{v_1}^\prime + {m_2}{v_2}^\prime \]

弹性碰撞中没有动能损失，于是可以列出另一个方程

\[\tag{2}\label{2}\frac{1}{2}{m_1}v_1^2 = \frac{1}{2}{m_1}{v^\prime}_1^2 + \frac{1}{2}{m_2}{v^\prime }_2^2\]

从方程（1）（2）可以解出两个物体碰撞后的速度分别为

\[\tag{3}\label{3}{v_1}^\prime = \frac{{{m_1} - {m_2}}}{{{m_1} + {m_2}}}{v_1}\]

\[\tag{4}\label{4}{v_2}^\prime = \frac{{2{m_1}}}{{{m_1} + {m_2}}}{v_1}\]

我们对几种情况下（3）（4）的结果作一些分析。

分析的方法之一是选取简单特例进行分析。如果所得的结论与实际情况一致，那么理论分析可能是正确的，否则一定出了问题。

• 若 m₁ = m₂，这时有

m₁ – m₂ = 0，m₁ + m₂ = 2m₁。根据（3）（4）两式，得

v₁′ = 0

v₂′ = v₁

这表示第一个物体的速度由 v₁ 变为 0，而第二个物体由静止开始运动，运动的速度等于第一个物体原来的速度。

第 3 节“问题”中提到的冰壶的碰撞就属于这类情况。

• 若 m₁ ≫ m₂，这时有

m₁ － m₂ ≈ m₁，m₁ + m₂ ≈ m₁。根据（3）（4）两式，得

v₁′ = v₁

v₂′ = 2v₁

这表示碰撞后，第一个物体的速度几乎没有改变，而第二个物体以 2v₁ 的速度被撞出去。

保龄球比赛中，用大号保龄球击打球瓶时，球与瓶的碰撞就类似这种情况（图 1.5-5）。

• 若 m₁ ≪ m₂，这时有

m₁ – m₂ ≈ − m₂，\(\frac{{2{m_1}}}{{{m_1} + {m_2}}}\) ≈ 0。根据（3）（4）两式，得

v₁′ = − v₁

v₂′ = 0

这表示碰撞以后，第一个物体被弹了回去，以原来的速率向反方向运动，而第二个物体仍然静止。

如果用乒乓球撞击保龄球，那么就会出现这种现象：保龄球保持静止，而乒乓球以大致相同的速率被弹回。

科学方法

抽象与概括

物理概念是运用抽象、概括等方法进行思维加工的产物。

为了揭示事物的本质和规律，往往需要根据研究对象和问题的特点，从研究的目的出发，忽略个别的、非本质的属性，抽取共同的、本质的属性进行研究，这是一种抽象的思维方法。把事物共同的、本质的属性提炼出来，从而推广到同类事物上去，找到事物的共同属性，这是一种概括的思维方法。

在动量概念的建立过程中，物理学家研究了各种各样的碰撞现象，寻找物理量来揭示运动的本质，发现：“每个物体所具有的‘动量’在碰撞后可以增多或减少，但是在碰撞前后系统的这一量值却保持不变”。科学前辈就是在追寻不变量的努力中，通过抽象、概括等方法提出了动量的概念，并通过动量守恒定律建立了自然界的相互联系。

练习与应用

本节共设置了 5 道习题。第 1 题考查非弹性碰撞问题。第 2 题考查“一动碰一静”问题，要求运用能量守恒定律和动量守恒定律解决。第 3 题要求运用碰撞规律解释科学实践中的问题——为什么核电站常用石墨（碳）作为中子减速剂？为以后学习原子物理打下基础。第 4 题再现查德威克发现中子的过程。第 5 题结合两个小球碰撞的类型，讨论砬撞后的速度的范围。

1．在气垫导轨上，一个质量为 400 g 的滑块以 15 cm/s 的速度与另一质量为 200 g、速度为 10 cm/s 并沿相反方向运动的滑块迎面相撞，碰撞后两个滑块粘在一起。

（1）求碰撞后滑块速度的大小和方向。

（2）这次碰撞，两滑块共损失了多少机械能？

参考解答：（1）6.67×10⁻² m/s，方向与质量为 400 g 的滑块的初速度方向相同；

（2）4.17×10⁻³ J

2．速度为 10 m/s 的塑料球与静止的钢球发生正碰，钢球的质量是塑料球的 4 倍，碰撞是弹性的，求碰撞后两球的速度。

参考解答：塑料球的速度为 6 m/s，方向与初速度相反；钢球的速度为 4 m/s，方向与塑料球初速度方向相同。

3．有些核反应堆里要让中子与原子核碰撞，以便把中子的速度降下来。为此，应该选用质量较大的还是质量较小的原子核？为什么？

参考解答：选用质量较小的原子核来降低中子的速率。

提示：中子和原子核的碰撞可以看成是弹性碰撞。设中子的质量为 m₁，碰撞前的速度为 v，其方向为正方向，原子核的质量为 m₂，碰撞前可以认为是静止的，则碰撞后中子的速度 vʹ = \(\frac{{{m_1} - {m_2}}}{{{m_1} + {m_2}}}\) v。由于中子的质量一般小于原子核的质量，因此 | vʹ | = \(\frac{{{m_2} - {m_1}}}{{{m_1} + {m_2}}}\) v = （1 − \(\frac{{2{m_1}}}{{{m_1} + {m_2}}}\)）v。可见，m₂ 越小 | vʹ | 越小。故应选用质量较小的原子核来降低中子的速率。核电站常常用石墨（碳）作为中子减速剂。

4．一种未知粒子跟静止的氢原子核正碰，测出碰撞后氢原子核的速度是 3.3×10⁷ m/s。该未知粒子跟静止的氮原子核正碰时，测出碰撞后氮原子核的速度是 4.4×10⁶ m/s。已知氢原子核的质量是 m_H，氮原子核的质量是 14 m_H，上述碰撞都是弹性碰撞，求未知粒子的质量。

这实际是历史上查德威克测量中子质量从而发现中子的实验，请你根据以上查德威克的实验数据计算：中子的质量与氢核的质量 m_H 有什么关系？

参考解答：m_H，中子的质量与氢核的质量 m_H 相同。

5．质量为 m、速度为 v 的 A 球跟质量为 3m 的静止 B 球发生正碰。碰撞可能是弹性的，也可能是非弹性的，因此，碰撞后 B 球的速度可能有不同的值。请你论证：碰撞后 B 球的速度可能是以下值吗？

（1）0.6v；（2）0.4v。

参考解答：B 球的速度可能是 0.4v，不可能是 0.6v。

提示：若 A 球和 B 球的碰撞是弹性碰撞，则根据动量守恒定律和机械能守恒定律可以解得 v_max = \(\frac{{2{m_1}}}{{{m_1} + {m_2}}}\) v = \(\frac{{2m}}{{m + 3m}}\) v = 0.5v。若 A 球和 B 球碰撞之后连在一起运动，B 获得的速度最小，根据动量守恒定律有 m₁v₁ = (m₁ + m₂)v_min，解得 v_min = \(\frac{{mv}}{{m + 3m}}\) = 0.25v。因此，B 获得的速度应满足 v_min ≤ v_B ≤ v_max，即 0.25v ≤ v_B ≤ 0.5v。

可见，B 球的速度可能是 0.4v，不可能是 0.6v。

发布时间：2022/7/5 下午4:06:41  阅读次数：6312