第一章 第 2 节 动量定理

问题？

有些船和码头常悬挂一些老旧轮胎，主要的用途是减轻船舶靠岸时码头与船体的撞击。其中有怎样的道理呢？

两个物体碰撞时，彼此间会受到力的作用，那么一个物体动量的变化和它所受的力有怎样的关系呢？

动量定理

为了分析问题的方便，我们先讨论物体受恒力的情况。如图1.2–1，假定一个质量为 m 的物体在光滑的水平面上受到恒力 F 的作用，做匀变速直线运动。在初始时刻，物体的速度为 v，经过一段时间 Δt ，它的速度为 v′，那么，这个物体在这段时间的加速度就是

\[a = \frac{{\Delta v}}{{\Delta t}} = \frac{{v' - v}}{{\Delta t}}\]

根据牛顿第二定律 F = ma，则有

\[F = m\frac{{v' - v}}{{\Delta t}} = \frac{{mv' - mv}}{{\Delta t}} = \frac{{p' - p}}{{\Delta t}}\]

即

\[\tag{1}\label{1}F\Delta t = p' - p\]

由于 Δp = p′ − p，所以（1）式也可以写成 F = \(\frac{{\Delta p}}{{\Delta t}}\)，它表示：物体动量的变化率等于它所受的力。

（1）式的右边是物体在 Δt 这段时间内动量的变化量，左边既与力的大小、方向有关，又与力的作用时间有关。FΔt 这个物理量反映了力的作用对时间的累积效应。物理学中把力与力的作用时间的乘积叫作力的冲量（impulse），用字母 I 表示冲量，则

\[I = F\Delta t\]

冲量的单位是牛秒，符号是 N·s。有了冲量的概念，

（1）式就可以写成

\[\tag{2}\label{2}I = p' - p\]

（1）式也可以写作

\[\tag{3}\label{3}F(t' - t) = mv' - mv\]

（2）式或（3）式表明：物体在一个过程中所受力的冲量等于它在这个过程始末的动量变化量。这个关系叫作动量定理（theorem of momentum）。

这里说的“力的冲量”指的是合力的冲量，或者是各个力的冲量的矢量和。

物体在碰撞过程中受到的作用力往往不是恒力，物体不做匀变速运动。那么，应该怎样处理这样的问题呢？

我们可以把碰撞过程细分为很多短暂过程（图1.2–2），每个短暂过程中物体所受的力没有很大的变化，这样对于每个短暂过程就能够应用（1）式了。把应用于每个短暂过程的关系式相加，就得到整个过程的动量定理。在应用（1）式处理变力问题时，式中的 F 应该理解为变力在作用时间内的平均值。

动量定理的应用

根据动量定理，我们知道：如果物体的动量发生的变化是一定的，那么作用的时间短，物体受的力就大；作用的时间长，物体受的力就小。例如，玻璃杯落在坚硬的地面上会破碎，落在地毯上不会破碎，用动量定理可以很好地解释此现象。从同样的高度落到地面或地毯时，在与地面或地毯的相互作用中，两种情况下动量的变化量相等，地面或地毯对杯子的力的冲量也相等。但是坚硬的地面与杯子的作用时间短，作用力会大些，杯子易破碎；柔软的地毯与杯子的作用时间较长，作用力会小些，玻璃杯不易破碎。易碎物品运输时要用柔软材料包装，跳高时运动员要落在软垫上（图1.2–3），就是这个道理。

在本节“问题”栏目中，船靠岸如果撞到坚硬的物体，相互作用时间很短，作用力就会很大，很危险。如果在船舷和码头悬挂一些具有弹性的物体（如旧轮胎），就可以延长作用时间，以减小船和码头间的作用力。

【例题】

一个质量为 0.18 kg 的垒球，以 25 m/s 的水平速度飞向球棒，被球棒击打后，反向水平飞回，速度的大小为 45 m/s （图 1.2–4）。若球棒与垒球的作用时间为 0.002 s，球棒对垒球的平均作用力是多大？

分析 球棒对垒球的作用力是变力，力的作用时间很短。在这个短时间内，力先是急剧地增大，然后又急剧地减小为 0。在冲击、碰撞这类问题中，相互作用的时间很短，力的变化都具有这个特点。动量定理适用于变力作用的过程，因此，可以用动量定理计算球棒对垒球的平均作用力。

解 沿垒球飞向球棒时的方向建立坐标轴，垒球的初动量为

p = mv = 0.18×25 kg·m/s = 4.5 kg·m/s

垒球的末动量为

p′= mv′ =－ 0.18×45 kg·m/s =－ 8.1 kg·m/s

由动量定理知垒球所受的平均作用力为

\[F = \frac{{p' - p}}{{\Delta t}} = \frac{{ - 8.1 - 4.5}}{{0.002}}\;{\rm{N}} = - 6\;300\;{\rm{N}}\]

垒球所受的平均作用力的大小为 6 300 N，负号表示力的方向与坐标轴的方向相反，即力的方向与垒球飞来的方向相反。

科学漫步

历史上关于运动量度的争论

历史上，一种观点认为应该用物理量 mv 来量度运动的“强弱”；另一种观点认为应该用物理量 mv² 来量度运动的“强弱”。主张以 mv 量度运动的代表人物是笛卡儿。他认为：“在物质中存在一定量的运动，它的总和在世界上永远不会增加也不会消失。”这实际上是后来所说的动量守恒定律的雏形。主张以 mv² 量度运动的代表人物是莱布尼兹。他认为守恒的应该是 ∑mv² 而不是 ∑mv 。经过半个多世纪的争论，法国科学家达兰贝尔用他的研究指出，双方实际是从不同的角度量度运动。

用现在的科学术语说，就是：“力”既可以通过动量来表示

\[F = \frac{{\Delta p}}{{\Delta t}}\]

又可以通过动能来表示

\[F = \frac{{\Delta {E_{\rm{k}}}}}{{\Delta x}}\]

动量决定了物体在力 F 的阻碍下能够运动多长时间，动能则决定了物体在力 F 的阻碍下能够运动多长距离。也就是说，动量定理反映了力对时间的累积效应，动能定理反映了力对空间的累积效应。

这场争论一方面促进了机械能概念及整个能量概念的形成，并使人们对多种运动形式及其相互转变的认识更加深入；另一方面，动量与动量守恒定律也在争论中显示出了它们的重要性。

STSE

汽车碰撞试验

汽车安全性能是当今衡量汽车品质的重要指标。实车碰撞试验是综合评价汽车安全性能最有效的方法，也是各国政府检验汽车安全性能的强制手段之一。

1998 年 6 月 18 日，国产轿车在清华大学汽车工程研究所进行的整车安全性碰撞试验取得成功，被誉为“中国轿车第一撞”。从此，我国汽车的整车安全性碰撞试验开始与国际接轨。

当汽车以 50 km/h 左右的速度撞向刚性壁障时，撞击使汽车的动量瞬间变到 0，产生了极大的冲击力（图 1.2–5）。“轰”的一声巨响之后，载着模拟乘员的崭新轿车眨眼间被撞得短了一大截。技术人员马上查看车辆受损情况：安全气囊是否爆开？安全带是否发挥了作用？前挡风玻璃是否破碎？“乘员”是否完好无损？车门是否能够正常开启？…… 还要取出各种传感器，做进一步处理，通过计算机得到碰撞试验的各项数据。

汽车碰撞时产生的冲击力不仅很大，而且很复杂。在碰撞瞬间冲击力与碰撞的速度、相撞双方的质量分布、接触位置的形状、材料、变形等因素相关。通过“乘员”身上的传感器采集的数据，研究人员可以评估人体相应部位所受冲击力的大小。根据这些结果，汽车厂家可以改进车辆的结构设计，增加乘员保护装置，使我们乘坐的汽车越来越安全。

练习与应用

1．如图 1.2–6，一物体静止在水平地面上，受到与水平方向成 θ 角的恒定拉力 F 作用时间 t 后，物体仍保持静止。现有以下看法：

A．物体所受拉力 F 的冲量方向水平向右

B．物体所受拉力 F 的冲量大小是 Ftcos θ

C．物体所受摩擦力的冲量大小为 0

D．物体所受合力的冲量大小为 0

你认为这些看法正确吗？请简述你的理由。

【参考解答】D 看法正确。

A．物体所受拉力 F 的冲量方向与 F 的方向相同

B．物体所受拉力 F 的冲量大小是 Ft

C．物体所受摩擦力的冲量大小是 Ftcos θ

D．物体所受合力 F 的冲量大小是 0

2．体操运动员在落地时总要屈腿（图1.2–7），这是为什么？

【参考解答】运动员在着地时，动量的的变化量是一定的。通过屈腿，可以延长运动员与地面间的作用时间。由动量定理可知，将会减少地面对运动员的作用力，从而使运动员避免受伤。

3．如图 1.2–8，用 0.5 kg 的铁锤钉钉子，打击前铁锤的速度为 4 m/s。打击后铁锤的速度变为 0，设打击时间为 0. 01 s。

（1）不计铁锤所受的重力，铁锤钉钉子的平均作用力是多大？

（2）考虑铁锤所受的重力，铁锤钉钉子的平均作用力是多大？

（3）你分析一下，在计算铁锤钉钉子的平均作用力时，在什么情况下可以不计铁锤所受的重力。

【参考解答】（1）200 N；（2）205 N；（3）当打击时间很短时，可以不计铁锤所受的重力。

4．一个质量为 10 kg 的物体，以 10 m/s 的速度做直线运动，受到一个反向的作用力 F，经过 4 s，速度变为反向 2 m/s。这个力是多大？

【参考解答】30 N

5．一个质量为 60 kg 的蹦床运动员，从离水平网面 3.2 m 高处自由下落，着网后沿竖直方向蹦回到离水平网面 5.0 m 高处。已知运动员与网接触的时间为 0.8 s，g 取 10 m/s² 。

（1）求运动员与网接触的这段时间内动量的变化量。

（2）求网对运动员的平均作用力大小。

（3）求从自由下落开始到蹦回离水平网面 5.0 m 高处这一过程中运动员所受重力的冲量、弹力的冲量。

【参考解答】（1）1 080 kg·m/s，方向竖直向上；（2）1 950 N，方向竖直向上；（3）重力的冲量为 1 560 N·s，方向竖直向下；弹力的冲量为 1 560 N·s，方向竖直向上。

6．曾经有一则新闻报道，一名 4 岁儿童从 3 层高的楼房掉下来，被一名见义勇为的青年接住。请你估算一下，儿童受到的合力的冲量是多大？设儿童与青年之间的相互作用时间为 0.1 s，则儿童受到的合力的平均值有多大？

【参考解答】165 N·s；1 650 N

发布时间：2022/6/30 下午2:48:36  阅读次数：2630