第六章 电磁感应定律小结

第六章 电磁感应定律

 

 
  • 基本概念和基本规律

楞次定律:感应电流的磁场总是要阻碍引起感应电流的磁通量的变化。

感应电动势:穿过闭合回路的磁通量变化而引起的电动势。

法拉第电磁感应定律:回路中感应电动势的大小,跟穿过这一回路的磁通量的变化率成正比,E = \(\frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\)。

 

  • 基本方法

通过对楞次定律的探究和右手定则的应用,认识控制变量的方法和归纳的方法。

通过得出法拉第电磁感应定律的过程,感受实验归纳和理论演绎相结合的研究方法。

 

  • 知识结构图
复习与巩固
 

图 6–32

  1. 如图 6–32 所示,一长直铁芯上绕有一固定线圈 M,铁芯右端与一木质圆柱连接,木质圆柱上套有一闭合金属环 NN 可在木质圆柱上无摩擦移动,R 为滑动变阻器,E1E2 为直流电源,S 为单刀双掷开关。则:

(1)在 S 断开的情况下,S 向 a 闭合的瞬间金属环 N 向木质圆柱的哪一端运动?

(2)在 S 断开的情况下,S 向 b 闭合的瞬间金属环 N 向木质圆柱的哪一端运动?

(3)在 S 已向 a 闭合的情况下,将 R 的滑片向 c 端移动时,金属环 N 向木质圆柱的哪一端运动?

(4)在 S 已向 a 闭合的情况下,将 R 的滑片向 d 端移动时,金属环 N 向木质圆柱的哪一端运动?

图 6–33

  1. 扫描隧道显微镜(STM)可用来探测样品表面原子尺寸上的形貌。为了有效隔离外界震动对 STM 的扰动,在圆底盘周边沿其径向对称地安装若干对紫铜薄板,并施加磁场来快速衰减其微小震动,如图 6–33 所示。如图 6–34 所示是对紫铜薄板施加恒定磁场的四种方案。试问出现扰动时,对于紫铜薄板上下、左右震动衰减最有效的方案是哪一个?说明判断的理由。

图 6–34

  1. 如图 6–35 所示,虚线框内存在匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里,粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于匀强磁场中,正方形线框的边与虚线框平行。线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场,则在正方形线移出的过程中,线框的一边 ab 两点间电势差的绝对值 Uab 分别为多大?

图 6–35

第六章 电磁感应定律
  1. 一单匝线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴匀速转动时,穿过线圈的磁通量随时间的变化关系如图 6–36 所示。则在 0 ~ 2 s 内线圈中感应电动势随时间如何变化? 0 ~ 2 s 内线圈中感应电动势的平均值多大?

图 6–36

图 6–37

 
  1. 如图 6–37 所示,abcd 是光滑水平放置的金属框,PQ 为导体棒,静止在框架上;一条形磁体绕金属框平面内的 OO′ 轴转过 90°。在此过程中,闭合回路 QPbc 内磁通量如何变化?导体棒将如何运动?条形磁体的转动方向与导体棒的运动方向有没有关系?说明判断的理由。

图 6–38

  1. 如图 6–38 所示,匀强磁场中有一个用软导线制成的单匝闭合线圈,线圈平面与磁场垂直。已知线圈的面积为 S、电阻为 R,磁场的磁感应强度为 B。现同时向两侧拉动线圈,线圈的两边在 Δt 时间内合到一起。则线圈在上述过程中感应电动势的平均值多大?感应电流的平均值多大?感应电流的方向如何?通过导线横截面的电荷量多大?
  2. 一根长 50 cm 的直导线在磁感应强度为 0.20 T 的匀强磁场中向垂直于磁场的方向匀速运动。如果导线中的感应电动势为 1.0 V,直导线的运动速度多大?如果该直导线连接成的回路总电阻为 2.0 Ω,沿着直导线运动速度方向的拉力为多大?

图 6–39

  1. 如图 6–39 所示,由导体组成半径为 r 的水平圆环内有垂直于纸面向里、磁感应强度为 B 的匀强磁场,电路的固定电阻为 R,线框其余电阻不计,一根长度大于 2r、电阻不计的导体棒 MN 以速度 v 在圆环上自左端向右端无摩擦地匀速滑动。试求 MN 从左端滑到右端的过程中,通过电阻 R 的电流平均值及通过电阻 R 的电荷量。

图 6–40

  1. 如图 6–40 所示,有两根和竖直方向成 α 角的光滑平行的金属轨道,上端接有可变电阻 R、下端足够长,空间有垂直于轨道平面磁感应强度为 B 的匀强磁场,一根长为 L(与金属轨道间距近似相等)、质量为 m 的金属杆从轨道上端由静止开始滑下,金属杆与轨道接触良好,且金属杆的运动方向始终与杆垂直,金属杆的电阻为 r
复习与巩固

(1)当金属杆速度为 v 时,求感应电动势、感应电流和金属杆受到的安培力。

(2)经过足够长的时间后,金属杆的速度会趋近于一个最大值。求最大速度 vmax

图 6–41

  1. 如图 6–41 所示,用两根材料、粗细、长度完全相同的导线绕成匝数分别为 n1 = 5 和 n2 = 10 的圆形闭合线圈 ab,两线圈处于同一平面并与匀强磁场垂直。当磁感应强度随时间均匀变化时,两线圈中的感应电动势之比 EaEb 为多大?感应电流之比 IaIb 为多大?

图 6–42

  1. 如图 6–42 所示,在磁感应强度大小为 B、方向竖直向上的匀强磁场中,有一质量为 m、阻值为 R 的闭合矩形金属线框 abcd 用绝缘轻质细杆悬挂在 O 点,并可绕 O 点摆动,细杆和金属框处在同一平面内;金属线框从右侧某一静止位置开始释放。在摆动到左侧最高点的过程中,细杆和金属框共处的平面始终和纸面垂直。判断线框中感应电流的方向,说明判断的理由。

图 6–43

  1. 如图 6–43 所示,两同心圆环 AB 置于同一水平面上,其中 A 为均匀带电绝缘环,B 为导体环,两环均可绕垂直于纸面过圆心的轴在水平面内转动。若 A 匀速转动或加速转动,B 中有没有感应电流?感应电流的方向如何?说明判断的理由。
  2. 如图 6–44 所示,虚线框内存在垂直于纸面向里的匀强磁场,宽度为 L 的水平导线框 MNPQ 有一部分处在匀强磁场中。光滑导体棒与两根导轨接触良好,接触点分别为 CD。不计导线框的电阻,导体棒在两接触点之间部分的电阻为 R,则:

图 6–44

(1)导体棒受到向右的恒力作用从静止开始运动,导体棒的感应电动势和感应电流将如何变化?

(2)导体棒的运动情况将如何变化?

(3)外力做功产生了哪些效果?

(4)如果在导体棒还没有拉出磁场时撤去外力,情况又会怎样?

  1. 如图 6–45(a)所示,MNPQ 为间距 L 且足够长的平行导轨,NQMN,导轨的电阻均不计;导轨平面与水平面间的夹角为 θNQ 间连接有一个阻值为 R 的电阻;有一匀强磁场垂直于导轨平面且方向向上,磁感应强度为 B0;将一根质量为 m 的金属棒 ab(长度近似与导轨间距相等)紧靠 NQ 放置在导轨上,且与导轨接触良好。现由静止释放金属棒,当金属棒滑行至 cd 处时达到稳定速度。已知在此过程中通过金属棒截面的电荷量 q,且金属棒的加速度 a 与速度 v 的关系如图 6–45(b)所示,其中 amvm 已知。设金属棒沿导轨向下运动过程中始终与 NQ 平行。求:
第六章 电磁感应定律

 

图 6–45

(1)金属棒与导轨间的动摩擦因数 μ

(2)金属棒的电阻 r

(3)cdNQ 的距离 s

(4)金属棒滑行至 cd 处的过程中,电阻 R 上产生的热量。

图 6–46

  1. *如图 6–46 所示,有一半径为 r 的导电圆环处于磁感应强度为 B 的匀强磁场中,磁场方向垂直纸面向里且与圆环平面垂直,圆环的电阻为 Rabc 为圆环上等间距的三点。若磁感应强度 B 在时间 Δt 内均匀减小至零,则此过程中圆环内的感应电动势和感应电流分别多大?ab 间的电压 Uabbc 间的电压 Ubc 分别多大?

复习与巩固解读

1.参考解答:由楞次定律金属环 N 的运动趋势或运动总是阻碍通过金属环的磁通量的变化,只要金属环 N 的磁通量增大就向右运动;金属环 N 的磁通量减小就向左移动。

(1)在 S 断开的情况下,S 向 a 闭合的瞬间,通过金属环 N 的磁通量增大,金属环向右运动。

(2)在 S 断开的情况下,S 向 b 闭合的瞬间,通过金属环 N 的磁通量增大,金属环向右运动。

(3)在 S 已向 a 闭合的情况下,将 R 的滑片向 c 端移动时电阻阻值增大,通过线圈的电流减小,通过金属环 N 的磁通量减小,金属环向左运动。

(4)在 S 已向 a 闭合的情况下,将 R 的滑片向 d 端移动时电阻阻值减小,通过线圈的电流增大,通过金属环 N 的磁通量增大,金属环向右运动。

命题意图:用楞次定律分析产生感应电流的方向,再用“左手定则判断金属环运动的方向”,或者根据楞次定律内在本质,根据磁通量变化趋势直接判断金属环的运动方向。

主要素养与水平:运动与相互作用(Ⅰ);模型建构(Ⅱ);科学推理(Ⅲ)。

 

2.参考解答:(a)感应电流产生的条件是闭合回路中的磁通量发生变化。系统左右或上下震动时紫铜薄板在磁场中的部分有时多有时少,磁通量发生变化能产生感应电流,感应电流在磁场中受到安培力能够阻碍系统的震动,故图(a)正确;图(d)能阻碍系统左右震动,但不能阻碍系统上下震动,图(b)和(c)均不能阻碍系统左右震动或上下震动,故图(b)、(c)和(d)均错。

命题意图:将实际问题中的对象转换成物理模型,通过分析获得结论,提高科学思维素养。

主要素养与水平:运动与相互作用(Ⅰ);模型建构(Ⅱ);科学推理(Ⅱ);科学论证(Ⅱ);科学本质(Ⅰ)。

 

3.参考解答:正方形线框四种运动中均有一条边切割磁感线,产生的感应电动势和感应电流均相同。设线框每条边的电阻为 R,感应电流为 I,图(a)中 Uab = IR;图(b)中 Uab = I(3R)= 3IR;图(c)和图(d)中同为Uab = IR

命题意图:通过分析线框在四种不同运动情况中发生电磁感应现象所涉及的相同物理量和不同物理量,有助于提高科学思维素养。

主要素养与水平:运动与相互作用(Ⅱ);模型建构(Ⅱ);科学推理(Ⅱ)。

 

4.参考解答:0 ~ 1 s 内线圈中感应电动势从 0 逐渐增大,1 s 末最大,1 ~ 2 s 内线圈中感应电动势从最大逐渐减小到 0。

0 ~ 2 s 内线圈中感应电动势的平均值为

\[\bar E = \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}} = \frac{{|{\Phi _2} - {\Phi _1}|}}{{\Delta t}} = \frac{{| - 2.0 \times {{10}^{ - 3}} - 2 \times {{10}^{ - 3}}|}}{2}\;{\rm{V}} = 2.0 \times {10^{ - 3}}\;{\rm{V}}\]

命题意图:从磁通量随时间变化的图像中分析感应电动势的大小。

主要素养与水平:运动与相互作用(Ⅱ);模型建构(Ⅱ);科学推理(Ⅳ) 。

 

5.参考解答:闭合回路 QPbc 内磁通量增大,导体棒将向右运动。

条形磁体的转动方向与导体棒的运动方向之间没有关系。无论条形磁体绕轴 OO′ 向哪个方向转动,在导体棒与金属框组成的闭合回路 QPbc 内的磁通量均增大,根据楞次定律知其感应电流的磁场均要反抗磁通量的增大。由于在条形磁体中部垂直于磁体轴线的闭合回路面积越小磁通量越大,闭合回路面积越大磁通量越小,所以导体棒 QP 必然向右运动。

命题意图:深刻理解楞次定律的物理意义,根据条形磁体的磁场分布特点,灵活应用楞次定律解决具体问题。

主要素养与水平:运动与相互作用(Ⅲ);模型建构(Ⅱ);科学推理(Ⅲ)。

 

6.参考解答:平均感应电动势为 \(\bar E = \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}} = \frac{{BS}}{{\Delta t}}\)

平均电流为 \(\bar I = \frac{{\bar E}}{R} = \frac{{BS}}{{R\Delta t}}\),感应电流的方向为顺时针,通过导线横截面的电量为

\[q = \bar I\Delta t = \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\frac{{\Delta t}}{R} = \frac{{\Delta \Phi }}{R} = \frac{{BS}}{R}\]

命题意图:通过计算由于匀强磁场中导线所围成“面积”的变化而产生的感应电动势,加深对相关概念的理解。

主要素养与水平:运动与相互作用(Ⅰ);模型建构(Ⅱ);科学推理(Ⅳ)。

 

7.参考解答:根据法拉第电磁感应定律 E = Blv,直导线的运动速度为

\[v = \frac{E}{{Bl}} = \frac{{1.0}}{{0.20 \times 0.50}}\;{\rm{m/s}} = 10\;{\rm{m/}}\]

通过直导线的电流为 I = \(\frac{E}{R}\) = \(\frac{1.0}{2.0}\) A = 0.50 A,拉力为

F = FA = BIl = 0.20×0.50×0.50 N = 0.050 N

命题意图:导线匀速且垂直切割磁感线产生感应电动势,此时外力大小等于安培力。

主要素养与水平:运动与相互作用(Ⅰ);模型建构(Ⅱ);科学推理(Ⅱ)。

 

8.参考解答

\[\bar I = \frac{E}{R} = \frac{1}{R} \times \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}} = \frac{{B\pi {r^2}}}{{R\Delta t}} = \frac{{B\pi rv}}{{2R}}\]

\[q = \bar I\Delta t = \frac{{B\pi {r^2}}}{R}\]

命题意图:理解导体棒垂直切割磁感线产生感应电动势,提高结合闭合电路欧姆定律分析实际问题的能力。

主要素养与水平:运动与相互作用(Ⅱ);模型建构(Ⅱ);科学推理(Ⅲ)。

 

9.参考解答:(1)E = BLvI = \(\frac{E}{{R + r}}\) = \(\frac{{BLv}}{{R + r}}\),FA = BIL = \(\frac{{{B^2}{L^2}v}}{{R + r}}\)

(2)FA = mgcosα,\(\frac{{{B^2}{L^2}{v_{\max }}}}{{R + r}}\) = mgcosαvmax = \(\frac{{(R + r)mg\cos \alpha }}{{{B^2}{L^2}}}\)

命题意图:理解在斜面上的金属杆垂直切割磁感线产生感应电动势,结合闭合电路欧姆定律和牛顿运动定律分析问题,理解速度趋近于最大值时金属杆处于平衡状态。

主要素养与水平:运动与相互作用(Ⅱ);模型建构(Ⅱ);科学推理(Ⅳ)。

 

10.参考解答:设线圈半径为 r,匝数为 n;导线长度均为 L,截面积均为 S0,电阻率均为 ρ,且  \(\frac{{\Delta B}}{{\Delta t}}\) = k。则 L = n(2πr),线圈中的感应电动势为

\[E = ns\frac{{\Delta B}}{{\Delta t}} = n(\pi {r^2})\frac{{\Delta B}}{{\Delta t}} = n\pi {\left( {\frac{L}{{2\pi n}}} \right)^2}k \propto \frac{1}{n}\]

所以 \(\frac{{{E_{\rm{A}}}}}{{{E_{\rm{B}}}}}\) = \(\frac{n_2}{n_1} \) = \(\frac{10}{5}\) = \(\frac{2}{1}\),即感应电动势之比 EAEB = 2∶1

线圈中的感应电流为

\[I = \frac{E}{R} = \frac{E}{{\rho \frac{L}{{{S_0}}}}} \propto E\]

则 \(\frac{{{I_{\rm{A}}}}}{{{I_{\rm{B}}}}}\) = \(\frac{{{E_{\rm{A}}}}}{{{E_{\rm{B}}}}}\) = \(\frac{2}{1}\),即感应电流之比 IAIB = 2∶1

命题意图:理解 n 匝线圈内的磁感应强度变化产生感应电动势,结合欧姆定律和电阻定律分析相关物理量。

主要素养与水平:运动与相互作用(Ⅰ);模型建构(Ⅱ);科学推理(Ⅳ)。

 

11.参考解答:线框中感应电流的方向是 adcba。

当金属线框从右侧某一位置静止释放,运动到最低点的过程中,穿过线框的磁通量减小,根据楞次定律感应电流的磁场方向与原磁场方向相同,感应电流的方向为 adcba。当金属线框从最低点运动到左侧最高点的过程中,穿过线框的磁通量增大,根据楞次定律感应电流的磁场方向与原磁场方向相反,由于穿过线框的磁通量方向相反,实际感应电流的方向仍为 adcba。

命题意图:分析线框在三维空间运动过程中磁通量的变化,应用楞次定律判断感应电流的方向,说明判断的理由,这将有利于提高科学思维的素养和文字表述能力。

主要素养与水平:运动与相互作用(Ⅱ);模型建构(Ⅱ);科学推理(Ⅲ)。

 

12.参考解答:若环 A 匀速转动,环 B 内产生稳定的磁场,环 B 内的磁通量不变,所以环 B 中没有感应电流。

若环 A 带正电荷,且顺时针加速转动(或逆时针减速转动),环 B 内产生垂直于纸面向里的磁场增大(或垂直于纸面向外的磁场减小),环 B 向里的磁通量增大(或向外的磁通量减小),根据楞次定律环 B 中的感应电流为逆时针方向;反之,若环 A 带负电荷,且环 A 顺时针加速转动(或逆时针减速转动),环 B 内产生垂直于纸面向外的磁场增大(或垂直于纸面向里的磁场减小),环 B 向外的磁通量增大(或向里的磁通量减小),根据楞次定律环 B 中的感应电流为顺时针方向。

环 A 带正电荷顺时针加速转动等效于带负电荷逆时针加速转动,环 A 带负电荷顺时针加速转动类似于带正电荷逆时针加速转动。

命题意图:绝缘环可能带正、负两种的电荷,绝缘环的旋转方向和旋转快慢变化也可能不同,但是产生的感应电流只有顺时针和逆时针两种不同的方向。通过本题要求能够根据楞次定律分析实际现象过程中发现物理本质,归纳内在的物理规律,有助于提高对较复杂实际情景综合分析问题的能力,解决此类问题需要具有较高的科学思维素养。

主要素养与水平:运动与相互作用(Ⅱ);模型建构(Ⅱ);科学推理(Ⅳ)。

 

13.参考解答:(1)在匀强磁场中,导体棒CD在恒力 F 作用下从静止开始运动,随着速度 v 增大,感应电动势 E = BLv 增大。根据“右手定则”在导体棒内产生由 D→C 的感应电流,感应电流的大小 I = \(\frac{E}{R}\) 也随之增大。当导体棒拉出磁场时感应电动势和感应电流均变为零。

(2)根据“左手定则”,在磁场中的导体棒 CD 受到向左的安培力作用,由于感应电流随导体棒运动速度的增大而增大,安培力 FA = BIL 也将逐渐增大。根据牛顿第二定律 FFA = ma,导体棒将做加速度逐渐减小的加速运动,在拉出磁场前可能做匀速直线运动,也可能速度一直增大;当导体棒拉出磁场后只受恒力 F 作用,将做匀加速直线运动。

(3)外力做功使导体棒 CD 的动能增大,同时感应电流在导体棒中产生了焦耳热。

(4)如果在导体棒 CD 还没有拉出磁场时撤去外力,导体棒受到向左的安培力作用,但速度方向仍然向右的导体棒将做加速度逐渐减小的减速运动,感应电动势和感应电流均减小,所以安培力也减小。导体棒可能在出磁场前已经停止运动,也有可能出磁场时仍然有一定的速度,这种情况下导体棒出磁场后 将做匀速直线运动。

命题意图:应用导线切割磁感线产生感应电动势,综合牛顿第二定律、变加速直线运动和焦耳定律定性分析导体棒的运动变化和能量变化。本题要求分类分析不同情况下相关物理量的不同变化趋势,具有较高的科学思维能力要求。

主要素养与水平:运动与相互作用(Ⅲ);模型建构(Ⅱ);科学推理(Ⅳ)。

 

14.参考解答:(1)由图(b)可知,当 v = 0 时,a = am,此时回路中感应电流为零。根据牛顿第二定律,有

mgsinθμmgcosθ = mam

\[\mu  = \frac{{g\sin \theta  - {a_\rm{m} }}}{{g\cos \theta }}\]

(2)由 图(b)可知:当金属棒速度为 vm 时,加速度 a = 0。即 当金属棒达到稳定速度 vm 时,有

F = B0ILE = B0LvmI = \(\frac{E}{{R + r}}\)

mgsinθ = F + μmgcosθ

\[r = \frac{{{v_\rm{m} }B_0^2{L^2}}}{{mg(\sin \theta  - \mu \cos \theta )}} - R = \frac{{{v_\rm{m} }B_0^2{L^2}}}{{m{a_\rm{m} }}} - R\]

(3)q = \({\bar I}\) Δt = \(\frac{E}{{R + r}}\) Δt = \(\frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\)·\(\frac{{\Delta t}}{{R + r}}\) = \(\frac{{{B_0}Ls}}{{R + r}}\)

所以

\[s = \frac{{q(R + r)}}{{{B_0}L}} = \frac{{q{v_{\text{m}}}{B_0}L}}{{m{a_{\text{m}}}}}\]

(4)根据动能定理               mgssinθμmgscosθWF = \(\frac{1}{2}\) mvm2 −0

Q = WF = mgs(sinθμcosθ)− \(\frac{1}{2}\)mvm2 = mams − \(\frac{1}{2}\)mvm2 = qvmB0L − \(\frac{1}{2}\)mvm2

电阻 R 上产生的热量为

\[{Q_R} = \frac{R}{{R + r}}{Q_总} = \frac{R}{{R + r}}(q{v_\rm{m} }{B_0}L - \frac{1}{2}mv_\rm{m} ^2)\]

命题意图:理解导线切割磁感线产生感应电动势的相关概念和规律,综合应用牛顿第二定律、变加速直线运动、闭合电路欧姆定律和动能定理分析导体棒的运动及其变化,计算相关物理量,具有较高的科学思维能力要求。

主要素养与水平:运动与相互作用(Ⅲ);模型建构(Ⅱ);科学推理(Ⅳ)。

 

15.参考解答:圆环中的感应电动势为 E = \(\frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\) = \(\frac{{B\pi {r^2}}}{{\Delta t}}\),感应电流为 I = \(\frac{E}{R}\) = \(\frac{{B\pi {r^2}}}{{R\Delta t}}\)

\[{U_{ab}} = {U_{bc}} =  - \left( {\frac{E}{3} - I\frac{R}{3}} \right) =  - \frac{E}{3} + \frac{E}{R}\frac{R}{3} = 0\]

命题意图:理解磁感应强度变化产生感应电动势的概念和规律,结合闭合电路欧姆定律分析串联电 源两端的电压,通过计算知道在圆环上任意两点之间的电压均为零。

主要素养与水平:运动与相互作用(Ⅱ);模型建构(Ⅱ);科学推理(Ⅳ)。

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发布时间:2022/6/18 22:33:10  阅读次数:1912

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