第六章 电磁感应定律小结

 

复习与巩固解读

1．参考解答：由楞次定律金属环 N 的运动趋势或运动总是阻碍通过金属环的磁通量的变化，只要金属环 N 的磁通量增大就向右运动；金属环 N 的磁通量减小就向左移动。

（1）在 S 断开的情况下，S 向 a 闭合的瞬间，通过金属环 N 的磁通量增大，金属环向右运动。

（2）在 S 断开的情况下，S 向 b 闭合的瞬间，通过金属环 N 的磁通量增大，金属环向右运动。

（3）在 S 已向 a 闭合的情况下，将 R 的滑片向 c 端移动时电阻阻值增大，通过线圈的电流减小，通过金属环 N 的磁通量减小，金属环向左运动。

（4）在 S 已向 a 闭合的情况下，将 R 的滑片向 d 端移动时电阻阻值减小，通过线圈的电流增大，通过金属环 N 的磁通量增大，金属环向右运动。

命题意图：用楞次定律分析产生感应电流的方向，再用“左手定则判断金属环运动的方向”，或者根据楞次定律内在本质，根据磁通量变化趋势直接判断金属环的运动方向。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅰ）；模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅲ）。

 

2．参考解答：（a）感应电流产生的条件是闭合回路中的磁通量发生变化。系统左右或上下震动时紫铜薄板在磁场中的部分有时多有时少，磁通量发生变化能产生感应电流，感应电流在磁场中受到安培力能够阻碍系统的震动，故图（a）正确；图（d）能阻碍系统左右震动，但不能阻碍系统上下震动，图（b）和（c）均不能阻碍系统左右震动或上下震动，故图（b）、（c）和（d）均错。

命题意图：将实际问题中的对象转换成物理模型，通过分析获得结论，提高科学思维素养。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅰ）；模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）；科学论证（Ⅱ）；科学本质（Ⅰ）。

 

3．参考解答：正方形线框四种运动中均有一条边切割磁感线，产生的感应电动势和感应电流均相同。设线框每条边的电阻为 R，感应电流为 I，图（a）中 U_ab = IR；图（b）中 U_ab = I（3R）= 3IR；图（c）和图（d）中同为U_ab = IR。

命题意图：通过分析线框在四种不同运动情况中发生电磁感应现象所涉及的相同物理量和不同物理量，有助于提高科学思维素养。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）。

 

4．参考解答：0 ~ 1 s 内线圈中感应电动势从 0 逐渐增大，1 s 末最大，1 ~ 2 s 内线圈中感应电动势从最大逐渐减小到 0。

0 ~ 2 s 内线圈中感应电动势的平均值为

\[\bar E = \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}} = \frac{{|{\Phi _2} - {\Phi _1}|}}{{\Delta t}} = \frac{{| - 2.0 \times {{10}^{ - 3}} - 2 \times {{10}^{ - 3}}|}}{2}\;{\rm{V}} = 2.0 \times {10^{ - 3}}\;{\rm{V}}\]

命题意图：从磁通量随时间变化的图像中分析感应电动势的大小。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅳ） 。

 

5．参考解答：闭合回路 QPbc 内磁通量增大，导体棒将向右运动。

条形磁体的转动方向与导体棒的运动方向之间没有关系。无论条形磁体绕轴 OO′ 向哪个方向转动，在导体棒与金属框组成的闭合回路 QPbc 内的磁通量均增大，根据楞次定律知其感应电流的磁场均要反抗磁通量的增大。由于在条形磁体中部垂直于磁体轴线的闭合回路面积越小磁通量越大，闭合回路面积越大磁通量越小，所以导体棒 QP 必然向右运动。

命题意图：深刻理解楞次定律的物理意义，根据条形磁体的磁场分布特点，灵活应用楞次定律解决具体问题。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅲ）；模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅲ）。

 

6．参考解答：平均感应电动势为 \(\bar E = \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}} = \frac{{BS}}{{\Delta t}}\)

平均电流为 \(\bar I = \frac{{\bar E}}{R} = \frac{{BS}}{{R\Delta t}}\)，感应电流的方向为顺时针，通过导线横截面的电量为

\[q = \bar I\Delta t = \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\frac{{\Delta t}}{R} = \frac{{\Delta \Phi }}{R} = \frac{{BS}}{R}\]

命题意图：通过计算由于匀强磁场中导线所围成“面积”的变化而产生的感应电动势，加深对相关概念的理解。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅰ）；模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅳ）。

 

7．参考解答：根据法拉第电磁感应定律 E = Blv，直导线的运动速度为

\[v = \frac{E}{{Bl}} = \frac{{1.0}}{{0.20 \times 0.50}}\;{\rm{m/s}} = 10\;{\rm{m/}}\]

通过直导线的电流为 I = \(\frac{E}{R}\) = \(\frac{1.0}{2.0}\) A = 0.50 A，拉力为

F = F_A = BIl = 0.20×0.50×0.50 N = 0.050 N

命题意图：导线匀速且垂直切割磁感线产生感应电动势，此时外力大小等于安培力。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅰ）；模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）。

 

8．参考解答：

\[\bar I = \frac{E}{R} = \frac{1}{R} \times \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}} = \frac{{B\pi {r^2}}}{{R\Delta t}} = \frac{{B\pi rv}}{{2R}}\]

\[q = \bar I\Delta t = \frac{{B\pi {r^2}}}{R}\]

命题意图：理解导体棒垂直切割磁感线产生感应电动势，提高结合闭合电路欧姆定律分析实际问题的能力。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅲ）。

 

9．参考解答：（1）E = BLv，I = \(\frac{E}{{R + r}}\) = \(\frac{{BLv}}{{R + r}}\)，F_A = BIL = \(\frac{{{B^2}{L^2}v}}{{R + r}}\)

（2）F_A = mgcosα，\(\frac{{{B^2}{L^2}{v_{\max }}}}{{R + r}}\) = mgcosα，v_max = \(\frac{{(R + r)mg\cos \alpha }}{{{B^2}{L^2}}}\)

命题意图：理解在斜面上的金属杆垂直切割磁感线产生感应电动势，结合闭合电路欧姆定律和牛顿运动定律分析问题，理解速度趋近于最大值时金属杆处于平衡状态。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅳ）。

 

10．参考解答：设线圈半径为 r，匝数为 n；导线长度均为 L，截面积均为 S₀，电阻率均为 ρ，且  \(\frac{{\Delta B}}{{\Delta t}}\) = k。则 L = n（2πr），线圈中的感应电动势为

\[E = ns\frac{{\Delta B}}{{\Delta t}} = n(\pi {r^2})\frac{{\Delta B}}{{\Delta t}} = n\pi {\left( {\frac{L}{{2\pi n}}} \right)^2}k \propto \frac{1}{n}\]

所以 \(\frac{{{E_{\rm{A}}}}}{{{E_{\rm{B}}}}}\) = \(\frac{n_2}{n_1} \) = \(\frac{10}{5}\) = \(\frac{2}{1}\)，即感应电动势之比 E_A∶E_B = 2∶1

线圈中的感应电流为

\[I = \frac{E}{R} = \frac{E}{{\rho \frac{L}{{{S_0}}}}} \propto E\]

则 \(\frac{{{I_{\rm{A}}}}}{{{I_{\rm{B}}}}}\) = \(\frac{{{E_{\rm{A}}}}}{{{E_{\rm{B}}}}}\) = \(\frac{2}{1}\)，即感应电流之比 I_A∶I_B = 2∶1

命题意图：理解 n 匝线圈内的磁感应强度变化产生感应电动势，结合欧姆定律和电阻定律分析相关物理量。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅰ）；模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅳ）。

 

11．参考解答：线框中感应电流的方向是 adcba。

当金属线框从右侧某一位置静止释放，运动到最低点的过程中，穿过线框的磁通量减小，根据楞次定律感应电流的磁场方向与原磁场方向相同，感应电流的方向为 adcba。当金属线框从最低点运动到左侧最高点的过程中，穿过线框的磁通量增大，根据楞次定律感应电流的磁场方向与原磁场方向相反，由于穿过线框的磁通量方向相反，实际感应电流的方向仍为 adcba。

命题意图：分析线框在三维空间运动过程中磁通量的变化，应用楞次定律判断感应电流的方向，说明判断的理由，这将有利于提高科学思维的素养和文字表述能力。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅲ）。

 

12．参考解答：若环 A 匀速转动，环 B 内产生稳定的磁场，环 B 内的磁通量不变，所以环 B 中没有感应电流。

若环 A 带正电荷，且顺时针加速转动（或逆时针减速转动），环 B 内产生垂直于纸面向里的磁场增大（或垂直于纸面向外的磁场减小），环 B 向里的磁通量增大（或向外的磁通量减小），根据楞次定律环 B 中的感应电流为逆时针方向；反之，若环 A 带负电荷，且环 A 顺时针加速转动（或逆时针减速转动），环 B 内产生垂直于纸面向外的磁场增大（或垂直于纸面向里的磁场减小），环 B 向外的磁通量增大（或向里的磁通量减小），根据楞次定律环 B 中的感应电流为顺时针方向。

环 A 带正电荷顺时针加速转动等效于带负电荷逆时针加速转动，环 A 带负电荷顺时针加速转动类似于带正电荷逆时针加速转动。

命题意图：绝缘环可能带正、负两种的电荷，绝缘环的旋转方向和旋转快慢变化也可能不同，但是产生的感应电流只有顺时针和逆时针两种不同的方向。通过本题要求能够根据楞次定律分析实际现象过程中发现物理本质，归纳内在的物理规律，有助于提高对较复杂实际情景综合分析问题的能力，解决此类问题需要具有较高的科学思维素养。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅳ）。

 

13．参考解答：（1）在匀强磁场中，导体棒CD在恒力 F 作用下从静止开始运动，随着速度 v 增大，感应电动势 E = BLv 增大。根据“右手定则”在导体棒内产生由 D→C 的感应电流，感应电流的大小 I = \(\frac{E}{R}\) 也随之增大。当导体棒拉出磁场时感应电动势和感应电流均变为零。

（2）根据“左手定则”，在磁场中的导体棒 CD 受到向左的安培力作用，由于感应电流随导体棒运动速度的增大而增大，安培力 F_A = BIL 也将逐渐增大。根据牛顿第二定律 F – F_A = ma，导体棒将做加速度逐渐减小的加速运动，在拉出磁场前可能做匀速直线运动，也可能速度一直增大；当导体棒拉出磁场后只受恒力 F 作用，将做匀加速直线运动。

（3）外力做功使导体棒 CD 的动能增大，同时感应电流在导体棒中产生了焦耳热。

（4）如果在导体棒 CD 还没有拉出磁场时撤去外力，导体棒受到向左的安培力作用，但速度方向仍然向右的导体棒将做加速度逐渐减小的减速运动，感应电动势和感应电流均减小，所以安培力也减小。导体棒可能在出磁场前已经停止运动，也有可能出磁场时仍然有一定的速度，这种情况下导体棒出磁场后 将做匀速直线运动。

命题意图：应用导线切割磁感线产生感应电动势，综合牛顿第二定律、变加速直线运动和焦耳定律定性分析导体棒的运动变化和能量变化。本题要求分类分析不同情况下相关物理量的不同变化趋势，具有较高的科学思维能力要求。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅲ）；模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅳ）。

 

14．参考解答：（1）由图（b）可知，当 v = 0 时，a = a_m，此时回路中感应电流为零。根据牛顿第二定律，有

mgsinθ − μmgcosθ = ma_m

\[\mu  = \frac{{g\sin \theta  - {a_\rm{m} }}}{{g\cos \theta }}\]

（2）由 图（b）可知：当金属棒速度为 v_m 时，加速度 a = 0。即 当金属棒达到稳定速度 v_m 时，有

F_安 = B₀IL，E = B₀Lv_m，I = \(\frac{E}{{R + r}}\)

mgsinθ = F_安 + μmgcosθ

\[r = \frac{{{v_\rm{m} }B_0^2{L^2}}}{{mg(\sin \theta  - \mu \cos \theta )}} - R = \frac{{{v_\rm{m} }B_0^2{L^2}}}{{m{a_\rm{m} }}} - R\]

（3）q = \({\bar I}\) Δt = \(\frac{E}{{R + r}}\) Δt = \(\frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\)·\(\frac{{\Delta t}}{{R + r}}\) = \(\frac{{{B_0}Ls}}{{R + r}}\)

所以

\[s = \frac{{q(R + r)}}{{{B_0}L}} = \frac{{q{v_{\text{m}}}{B_0}L}}{{m{a_{\text{m}}}}}\]

（4）根据动能定理               mgssinθ – μmgscosθ – W_F = \(\frac{1}{2}\) mv_m² −0

Q_总 = W_F = mgs（sinθ − μcosθ）− \(\frac{1}{2}\)mv_m² = ma_ms − \(\frac{1}{2}\)mv_m² = qv_mB₀L − \(\frac{1}{2}\)mv_m²

电阻 R 上产生的热量为

\[{Q_R} = \frac{R}{{R + r}}{Q_总} = \frac{R}{{R + r}}(q{v_\rm{m} }{B_0}L - \frac{1}{2}mv_\rm{m} ^2)\]

命题意图：理解导线切割磁感线产生感应电动势的相关概念和规律，综合应用牛顿第二定律、变加速直线运动、闭合电路欧姆定律和动能定理分析导体棒的运动及其变化，计算相关物理量，具有较高的科学思维能力要求。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅲ）；模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅳ）。

 

15．参考解答：圆环中的感应电动势为 E = \(\frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\) = \(\frac{{B\pi {r^2}}}{{\Delta t}}\)，感应电流为 I = \(\frac{E}{R}\) = \(\frac{{B\pi {r^2}}}{{R\Delta t}}\)

\[{U_{ab}} = {U_{bc}} =  - \left( {\frac{E}{3} - I\frac{R}{3}} \right) =  - \frac{E}{3} + \frac{E}{R}\frac{R}{3} = 0\]

命题意图：理解磁感应强度变化产生感应电动势的概念和规律，结合闭合电路欧姆定律分析串联电 源两端的电压，通过计算知道在圆环上任意两点之间的电压均为零。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅳ）。