第 4 章第 2 节科学测量：电源的电动势和内阻

如何测量电源的电动势和内阻？下面，让我们通过实验进行探究。

实验目的

（1）测量电源的电动势和内阻。

（2）学习通过计算和作图分析处理实验数据。

实验器材

电流表、电压表、滑动变阻器、待测干电池、开关、导线等。

实验原理与设计

如图 4-9 所示，通过改变滑动变阻器 R 的阻值，测出两组 U、I 值。根据闭合电路欧姆定律，可得下列方程

图 4-9 测量电源的电动势和内阻的实验电路图

\[\begin{array}{l}E = {U_1} + {I_1}r\\E = {U_2} + {I_2}r\end{array}\]

联立求解，可得

\[E = \frac{{{I_2}{U_1} - {I_1}{U_2}}}{{{I_2} - {I_1}}},r = \frac{{{U_1} - {U_2}}}{{{I_2} - {I_1}}}\]

实验步骤

请写出实验步骤，完成实验操作。注意合上开关前，应调节滑动变阻器，使接通后电流最小。

安全警示

接通开关前，注意检查电源两端是否可能发生短路；注意选用适当量程的电压表和电流表；注意电表是否正确连接，以免不正常工作或损坏。

数据分析

（1）通过计算求出电源的电动势与内阻。将读出的电压表示数 U 和电流表示数 I 填入你设计的表格中，并根据相应公式求出 E 和 r。

（2）用作图法分析电源的电动势与内阻。如图 4-10 所示，建立 U-I 坐标系，将记录表中的 U、I 值在坐标系中描出相应的点，再根据这些点画出直线，延长该直线，使它分别与纵坐标轴和横坐标轴交于 A、B 两点。

图 4-10 根据实验数据画出 U-I 图像

由闭合电路欧姆定律可知，A、B 所在直线的方程为 U = E − Ir。

对于 A 点，横坐标对应的电流 I = 0，这时电路处于断路状态，纵坐标对应的路端电压 U_A = E。由此可见，纵轴截距表示了电源的电动势。

对于 B 点，纵坐标对应的路端电压 U_B = 0，这时电路处于短路状态，横坐标为短路电流。由实验图像可知，该直线斜率的绝对值

\[k = \frac{{OA}}{{OB}} = \frac{{E - 0}}{{I - 0}} = r\]

由直线方程可知，U-I 图像斜率的绝对值等于电源内阻的大小。

方法点拨

在有些科学实验的规律和结果还没有找到确切的函数表达式时，采用图像来表示实验结果，能形象直观地显示物理量变化的规律。

作图法得到的图像不仅可用来寻找物理量之间的关系，还可根据图像的斜率、截距等的物理意义求出相关物理量。

实验结论

请写出实验结论。

讨论

除偶然误差外，还有哪些因素会对实验结果产生影响？

素养提升

能提出并准确表述在实验中可能遇到的物理问题；能在他人指导下制订实验方案，设计实验步骤，能用电流表和电压表等实验器材进行实验，能注意实验安全；会用作图方法分析实验数据，测得电源的电动势和内阻；能撰写完整的实验报告，在报告中能呈现设计的实验步骤、实验表格，以及数据分析过程和实验结论，能有针对性地反思交流过程与结果。

注意提升实验操作能力、数据分析与解释能力。

——科学探究

节练习

1．请撰写“测量电源的电动势和内阻”的实验报告，注意在报告中呈现设计的实验步骤、实验表格，以及数据分析过程和实验结论，并与同学交流实验过程与结果。

参考解答：略

2．两个电源的 U-I 图像如图所示。请根据图像比较 1、2 两个电源的电动势和内阻的大小关系，并说明理由。

参考解答：根据根据闭合电路欧姆定律，U = E – Ir。当 I = 0 时，即外电路断路，U = E，即电源的 U-I 关系图线与纵轴的截距为电源电动势大小。结合图可看出，电源的电动势 E₁ > E₂；图形的斜率大小等于电源的内阻大小，结合图可看出，1 的斜率大于 2 的斜率，故 r₁ > r₂。

3．为了测出电源的电动势和内阻，除待测电源、开关和导线以外，配合下列哪组仪器，可以达到实验目的？请说明理由。

（1）一个电流表和一个电阻箱；

（2）一个电流表和一个滑动变阻器；

（3）一个电压表和一个电阻箱；

（4）一个电压表、一个电流表和一个滑动变阻器。

参考解答：（1）（3）（4）

测定电源的电动势和内电阻的原理是闭合电路欧姆定律 E = U + Ir。用电压表测量路端电压U；用电流表测量电流 I；利用滑动变阻器调节外电阻，改变路端电压和电流，实现多次测量。也就是说由一个电压表、一个电流表和一个滑动变阻器组合，可测量电源的电动势和内阻，即（4）组符合要求。也可以在没有电压表的情况下，用一个电流表和一个电阻箱组合测量，电阻箱可以读出阻值，由 U = IR 可求出路端电压，即（3）组符合要求。或用电压表和电阻箱组合，由电压表读数 U 与电阻箱读数 R 之比求出电流，即（1）组符合要求。

4．某次实验得到的 U-I 图像如图所示。请根据该图像求出电源的电动势、内阻和短路电流。

参考解答：E = 2.95 V，r = 1.07 Ω，I_短 = 2.76 A（由于偶然误差的存在，所得数据在相应范围内正确）

5．根据如图所示的电路，采用伏安法测量一节干电池的电动势和内阻。电池的内阻较小，为了防止在调节滑动变阻器时造成短路，电路中用一个定值电阻 R₀ 起保护作用。除电池、开关和导线外，可供使用的实验器材还有：

电流表：量程为 0.6 A、3 A。

电压表：量程为 3 V、15 V。

定值电阻：1 Ω，额定功率为 5 W ；10 Ω，额定功率为 10 W。

滑动变阻器：阻值范围为 0 ～ 10 Ω，额定电流为 2 A；阻值范围为 0 ～ 100 Ω，额定电流为 1 A。

（1）要正确完成实验，电压表的量程应选择______ V，电流表的量程应选择_______ A，R₀ 应选择_________ Ω，R 的阻值范围应选择_________ Ω。

（2）该实验系统产生误差的主要原因是___________________________________________。

参考解答：（1）3，0.6，1，0 ~ 10

（2）电压表的分流作用，导致电流表的示数总小于真实的干路电流值

电源是 1 节干电池，电动势为 1.5 V，所以选量程为 3 V 的电压表；估算电流时，考虑到干电池具有内阻，加上保护电阻 R₀，不会出现大电流，所以选量程为 0.6 A 的电流表；因为电池内阻很小，所以保护电阻不宜太大，否则会使得电流表、电压表取值范围小，造成的误差大，所以保护电阻选择 1 Ω；滑动变阻器的最大阻值一般比电源电池内阻大几倍即可，取 0 ~ 10 Ω 能很好地控制电路中的电流和电压，若取 0 ~ 100 Ω 会出现开始几乎不变最后突然变化的现象，不方便调节。

本实验中，由于电压表的分流作用。造成电流表读数总是比测量值小，导致电流表的示数总小于真实的干路电流值，造成 E_测 < E_真，r_测 < r_真。

*6．某学习小组利用图（a）所示电路测量电池组的电动势 E 和内阻 r。根据实验数据绘出如图（b）所示的 R - \(\frac{1}{I}\) 图像，其中 R 为电阻箱示数，I 为电流表示数，由此可以得到 E =________ V，r =________ Ω，请根据计算结果讨论用图（a）所示电路进行相关测量时可能存在的问题。