第 2 章 第 4 节 带电粒子在电场中的运动

带电粒子在电场中受到静电力的作用，速度会发生改变。在示波器（图 2 – 16）和直线加速器等设备中，常通过电场来控制带电粒子的运动。这些仪器是怎样控制带电粒子运动的呢？本节将以示波器为例，介绍如何利用电场控制带电粒子的加速和偏转。

图 2 – 16 示波器

1．带电粒子加速

利用电场给带电粒子加速，使其达到预定的速度和动能，是控制带电粒子运动的常见方式。

示波器中的电子枪就是通过电场来使电子加速的。如图 2 – 17 所示，电子枪中的金属丝在通电加热后，可发射电子（热电子发射）。电子在金属板和金属丝间的电场作用下，经加速后从金属板的小孔中穿出，并获得很高的动能。

图 2 – 17 电子枪示意图

微观粒子所受静电力远大于重力，通常重力可忽略不计，只考虑静电力对其运动状态的影响即可。

若电子质量为 m，电荷量的大小为 e，金属板与金属丝间所加电压为 U，电子刚离开金属丝时的速度近似为零，根据动能定理，静电力做功等于电子动能的增加量，电子穿过金属板时的动能

E_k = \(\frac{1}{2}\)mv² = eU

它穿过金属板时的速度

v = \(\sqrt {\frac{{2eU}}{m}} \)

显然，通过改变金属板与金属丝间的电压，就可控制电子加速后的动能或速度。

在研究原子等领域的问题时，需要带电粒子有很大的动能，因受各种因素限制，加速电压难以提高至理想水平，如果只加速一次，带电粒子的动能难以达到实际的需要。为解决此问题，科学家设计建造了能多次加速的直线加速器（图 2 – 18）等，从而获得了更高能量的带电粒子。

图 2 – 18 我国散裂中子源直线加速器

利用电场给带电粒子加速，使带电粒子获得很高的能量，在研究物质本源、放射治疗、食品安全、材料科学等方面都有着重要的应用。

2．带电粒子偏转

利用电场使带电粒子的运动方向发生变化，向预期的方向偏转，是控制带电粒子运动的另一种常见方式。

示波器的核心部件是示波管。图 2 – 19 是示波管的结构示意图。

图 2 – 19 示波管结构示意图

当竖直偏转板、水平偏转板都未加电压时，电子束从电子枪发出后沿直线运动，在荧光屏上产生一个亮斑。如果竖直偏转板加电压，水平偏转板不加电压，电子束经过竖直偏转板时受到竖直方向电场力的作用而发生偏转，使打在荧光屏上的亮斑在竖直方向发生偏移。同样的道理，如果水平偏转板加电压，竖直偏转板不加电压，打在荧光屏上的亮斑则在水平方向发生偏移。

示波管在实际工作时，竖直偏转极板间和水平偏转极板间都加上电压，打在荧光屏上的亮斑既能在竖直方向上偏移，也能在水平方向上偏移，亮斑的运动就是在竖直和水平两个方向上运动的合运动。

通常，加在竖直偏转极板上的电压是被研究的信号电压。如果信号电压是周期性的，且与加在水平偏转板的扫描电压周期满足一定的关系时，在荧光屏上就会显示出信号电压随时间有规律变化的图像。

例题

如图 2-20 所示，一质子水平射入竖直偏转电场中，由于受到竖直方向静电力的作用，质子射出时将发生偏转。已知质子的质量 m = 1.7×10⁻²⁷ kg，电荷量 q = 1.6×10⁻¹⁹ C，射入时速度 v₀ = 2.0×10⁵ m/s，极板长 l = 4.0 cm，两极板间距离 d = 2.0 cm，极板间电压 U = 100 V，入射方向与极板平行，不考虑重力的影响。求质子离开电场时竖直方向偏移的距离 y 和偏转的角度 α。

分析

两平行板间的竖直偏转电场可视为匀强电场。不考虑重力，质子在电场中只受到竖直方向恒定的电场力作用，其方向与初速度方向垂直，这与物体做平抛运动类似。因此，质子在电场中的运动可视为竖直方向初速度为零的匀加速直线运动与水平方向速度为 v₀ 的匀速直线运动的合运动。利用求解平抛运动的方法可求出偏移的距离和偏转的角度。

解

质子在该匀强电场中受到竖直向下的静电力，在竖直方向上做匀加速运动，加速度

a = \(\frac{F}{m}\) = \(\frac{{qE}}{m}\) = \(\frac{{qU}}{{dm}}\)

质子在水平方向不受力，做匀速直线运动，在水平方向的速度 v_x 保持不变

v_x = v₀

在极板间运动的时间

t = \(\frac{l}{{{v_x}}}\) = \(\frac{l}{{{v_0}}}\)

质子离开电场时竖直方向偏移的距离

y = \(\frac{1}{2}\)at² = \(\frac{1}{2} \cdot \frac{{qU}}{{dm}} \cdot {\left( {\frac{l}{{{v_0}}}} \right)^2}\) = \(\frac{{qU{l^2}}}{{2mv_0^2d}}\)

代入数值，得

y = 0.94 cm

质子离开偏转电场时，平行于电场方向的分速度 v_y 为

v_y = at = \(\frac{{qU}}{{dm}} \cdot \left( {\frac{l}{{{v_0}}}} \right)\)

则    tanα = \(\frac{{{v_y}}}{{{v_x}}}\) = \(\frac{{qUl}}{{dmv_0^2}}\)

代入数值，得

α = 25.2°

讨论

带电粒子在电场中运动的偏转角度与哪些因素有关？对给定的带电粒子，在其速度一定时，要使通过偏转电场时增大偏转角度，应该怎样调节两极板间的电压？

策略提炼

分析带电粒子在电场中的动力学问题与分析力学中的动力学问题类似，只是多了静电力。

根据条件，也可选择从能量的角度去分析处理。

当带电粒子在匀强电场中运动，只考虑静电力，且初速度方向与静电力方向垂直时，其运动与平抛运动类似，通常称为类平抛运动。分析处理的方法与平抛运动也类似。

迁移

示波器是先使带电粒子加速，再使带电粒子偏转来工作的。对这类综合性问题，应该怎样解决？请分析并求解以下问题。

一束电子流经 U = 1 500 V 的加速电压加速后，在距两平行板等距离处进入平行板间的匀强电场，入射方向与极板平行，如图 2-21 所示。若两板间距 d = 2.0 cm，板长 l = 5.0 cm，那么，要使电子能从平行板间飞出，两个极板间最多能加多大电压？

解答：480 V

节练习

1．某静电除尘器的除尘原理如图所示，一带正电的金属板和一个带负电的放电极形成电场，它们之间的电场线分布如图所示，虚线为一带电烟尘颗粒的运动轨迹，a、b 是轨迹上的两点。若不计烟尘颗粒的重力，下列说法正确的是

A．a 点电势高于 b 点电势

B．a 点电场强度小于 b 点电场强度

C．烟尘颗粒在 a 点的电势能小于在 b 点的电势能

D．烟尘颗粒在 a 点的动能小于在 b 点的动能

参考解答：D

2．一带正电的液滴以水平向右的初速度进入范围足够大的匀强电场，电场方向水平向左。不计空气阻力，则液滴在电场中

A．做直线运动                   B．做曲线运动

C．速率先减小后增大        D．速率先增大后减小

参考解答：BC

3．有一正点电荷只受电场力作用，从静电场中的 a 点由静止释放。在它沿直线运动到 b 点的过程中，动能 E_k 随位移 s 变化的关系图像如图所示。该电场的电场线分布应是

参考解答：A

4．炽热的金属丝可发射电子。如图所示，在金属丝和金属板之间加上 U = 2 500 V 的电压，发射出的电子在真空中加速后，从金属板的小孔穿出。设电子刚刚离开金属丝时的速度为 0，取电子电荷量的大小 e = 1.6×10⁻¹⁹ C，质量 m = 9.1×10⁻³¹ kg，求电子穿出小孔时的动能和速度。

参考解答：E_k = 4.0×10⁻¹⁶ J，v = 2.97×10⁷ m/s

5．如图所示，某直线加速器由沿轴线分布的一系列金属圆管（漂移管 A、B、C、D、E）组成，质子从 K 点沿轴线进入加速器并依次向右穿过各漂移管，在漂移管内做匀速直线运动，在漂移管间被电场加速，加速电压视为不变。设质子进入漂移管 B 时速度为 8×10⁶ m/s，进入漂移管 E 时速度为 1×10⁷ m/s，漂移管间缝隙很小，质子的电荷量与质量之比为 1×10⁸ C/kg。求相邻漂移管间的加速电压。

参考解答：U = 6×10⁴ V

6．如图所示，真空中有一电子以速度 v 沿着与电场强度垂直的方向自 O 点进入匀强电场。以 O 为坐标原点建立直角坐标系，x 轴垂直于电场方向，y 轴平行于电场方向，在 x 轴上取 OA = AB = BC，分别自 A、B、C 点作与 y 轴平行的线，跟电子的径迹交于 M、N、P 三点，求：

（1）电子经 M、N、P 三点时，沿 y 轴的分速度之比；

（2）电子从 O 点开始每经过相等时间的动能增量之比。

参考解答：（1）1∶2∶3

（2）1∶3∶5

发布时间：2022/4/14 下午1:33:30  阅读次数：2568