第 2 章 第 2 节 电势与等势面

我们知道，试探电荷的电势能不仅与电场有关，还与试探电荷的种类和电荷量多少有关。我们曾经用试探电荷所受静电力与其电荷量之比定义了描述电场性质的一个物理量——电场强度，本节将用试探电荷的电势能与其电荷量之比来定义描述电场性质的另一个物理量——电势。

1．电势

如图 2 – 5 所示，在一电场强度为 E 的匀强电场中，取 B 点为零电势能点，若一个带正电的试探电荷 q₁ 沿电场线从 A 点移动到 B 点，A 点与 B 点的距离为 d，静电力做的功 W₁ = q₁Ed，由电势能的定义可知，q₁ 在 A 点的电势能为 q₁Ed；同理可知，带不同电荷量的正电荷 q₂ 在A 点的电势能为 q₂Ed。显然，不同电荷在同一点的电势能不同，但电势能与试探电荷的电荷量之比不变。

\[\frac{{{q_1}Ed}}{{{q_1}}} = \frac{{{q_2}Ed}}{{{q_2}}} = Ed\]

图 2 – 5 正电荷从 A 点移动到 B 点

可见，电荷在电场中某点的电势能与其电荷量之比与该电荷无关，只与电场本身有关。理论和实验表明，从匀强电场得出的这个结论对非匀强电场也适用。

在物理学中，电荷在电场中某点的电势能与它的电荷量之比，称为该点的电势（electric potential）。若用 E_p 表示电荷 q 在电场中某点 A 的电势能，φ_A 表示该点的电势，则

\[{\varphi _{\rm{A}}} = \frac{{{E_{\rm{p}}}}}{q}\]

如果取 q 为单位正电荷，那么 φ_A 在数值上等于 E_p，即电场中某点的电势在数值上等于单位正电荷在该点所具有的电势能，也等于单位正电荷从该点移动到零电势能点静电力做的功。

在国际单位制中，电势的单位是伏特，符号为 V，1 V = 1 J/C。电势是标量。电势和电场强度都是反映电场性质的物理量。

与电势能一样，首先要规定电场中电势为零的位置（零电势点），然后才能确定各点的电势值。通常选距离场源电荷无穷远处为零电势点。在实际问题中，也常常选地球为零电势点。

例题

如图 2-6 所示，匀强电场的电场强度为 30 N/C，A、B、C 是电场中同一条电场线上的三个点，相邻两个点的距离均为 10 cm。

（1）以 C 点为零电势点，求 A、B 两点的电势；

（2）A、B、C 三点中哪个点的电势最高？哪个点的电势最低？

分析

确定电场中某点的电势，可先求出试探电荷 +q 由该点移动到零电势点静电力所做的功，再根据电势的定义求出电势。

解

已知 E = 30 N/C，A、B 间距离 d₁ = 0.1 m，B、C 间距离 d₂ = 0.1 m。

（1）以 C 点为零电势点，正电荷 q 从 A 点或 B 点沿电场线移动距离 d 到 C 点，静电力做正功，有

W = qEd

电荷 q 在 A 点或 B 点的电势能 E_p = W，根据电势定义，有

φ = \(\frac{{{E_p}}}{q}\) = Ed

所以       φ_A = E（d₁ + d₂）= 30×0.2 V = 6 V

              φ_B = Ed₂ = 30×0.1 V = 3 V

（2）以 C 点为零电势点，A、B、C 三点的电势分别为 6 V、3 V、0，φ_A > φ_B > φ_C。故 A 点电势最高，C 点电势最低。

讨论

由计算结果可知，沿电场线方向电势逐渐降低。这个结论在一般情况下也成立吗？为什么？

策略提炼

分析确定电场中不同位置电势的高低，可通过直接比较不同位置电势值的大小进行判断，也可通过比较同一电荷在不同位置的电势能进行判断，还可依据沿电场线方向电势逐渐降低进行判断。究竟从哪种角度进行判断，应根据问题的条件来确定。

迁移

上述问题中，若以 B 点为零电势点，A、C 两点的电势又为多少？试比较 A、B、C 三点电势的高低。

解答：φ_A = 3 V，φ_B = 0 V，φ_C = − 3 V，φ_A > φ_B > φ_C。

2．等势面

我们把电场中电势相等的点构成的面称为等势面（equipotential surface）。物理学中既用电场线形象地描绘电场，也用等势面描绘电场。为了使等势面能反映电场的强弱，通常使相邻两等势面电势的差值相等，等势面密的地方电场较强，等势面疏的地方电场较弱。例如，在点电荷形成的电场中，等势面是一系列以点电荷为球心的同心球面（图 2-7），离球心近的地方比离球心远的地方等势面密，电场强。

因为同一电荷在等势面上任意两点的电势能相等，所以电荷在等势面上移动时静电力不做功。这表明，等势面与电场线处处垂直。若不垂直，电场强度沿等势面有分量，对应的静电力也就有沿等势面的分量，电荷在等势面上移动时静电力要做功，该电荷的电势能会变化，那么这个面就不是等势面了。

电场线与等势面垂直，方向由电势高的等势面指向电势低的等势面。根据电场线与等势面的关系，可由等势面确定电场线。在实际应用中，由于电势容易测量，通常是先测出电场中电势相等的各点，画出电场中的等势面，然后根据电场线与等势面垂直画出电场线，从而对电场的电场强度和电势的分布有直观、定性的了解。

素养提升

能在熟悉情境中运用等势线模型解决问题；了解类比推理的方法，能综合运用力学和电学知识分析解决静电问题；能用与电势能、电势差相关的证据解释静电现象；能提出质疑，采用不同方式解决静电场问题。

——科学思维

节练习

1．某同学认为，电场中某点电势的高低只与产生电场的电荷和该点在电场中的位置有关。这种看法正确吗？为什么？

参考解答：不正确。电场中某点的电势大小是相对的，选取不同的零电势点，电场中同一点的电势大小是不同的。

2．推理说明：选择无穷远处为零电势点位置时，正点电荷产生的电场中任意一点的电势都是正值，负点电荷产生的电场中任意一点的电势都是负值。

参考解答：在正点电荷产生的电场中，从任意一点向无穷远处移动正电荷时，静电力做正功，电势能减少，由 φ = \(\frac{{{E_p}}}{q}\) 可知，电势降低，正点电荷产生的电场中任一点的电势都比无穷远处高，所以选择无穷远处为零电势点位置时，正点电荷产生的电场中任意一点的电势都是正值。在负点电荷产生的电场中，从任意一点向无穷远处移动正电荷时，静电力做负功，电势能增加，由 φ = \(\frac{{{E_p}}}{q}\) 可知，电势升高，负点电荷产生的电势都比无穷远处低，所以选择无穷远处为零电势点位置时，负点电荷产生的电场中任意一点的电势都是负值。

3．一电场的电场线如图所示。电场中 A、B 两点电场强度的大小和电势分别用 E_A 、E_B 和 φ_A、φ_B 表示，请判断 E_A 与 E_B、φ_A与 φ_B 的大小，并说明判断的理由。在图中分别画出过 A、B 两点的等势面。

参考解答：

电场线的疏密描述电场的强弱，电场线密集的位置电场强，所以 E_A < E_B；沿着电场线方向电势降低，所以 φ_A < φ_B。

根据电场线与等势线垂直，过 A、B 两点的等势线如图所示。

4．对以点电荷为球心、r 为半径的球面上的各点，具有的相等物理量是

A．电势                                    B．电场强度

C．同一电荷所受的静电力        D．同一电荷具有的电势能

参考解答：AD

5．电场中有 A、B 两点，若电荷量为 2×10⁻⁹ C 的试探电荷在电场中的 A 点时，电势能为 4×10⁻⁸ J；在 B 点时，电势能为 6×10⁻⁸ J。

（1）计算并比较 A、B 两点的电势高低。

（2）若电荷量为 −2×10⁻⁹ C 的试探电荷分别在 A、B 两点，其电势能分别为多少？

（3）正、负电荷在电场中具有的电势能大小与电势高低有何关系？

参考解答：（1）φ_A < φ_B

（2）E_pA = − 4×10⁻⁸ J

E_pB = − 6×10⁻⁸ J

（3）由以上可知，正电荷在电势高处电势能大，负电荷在电势高处电势能小。

6．若选择地面为零“重力势”位置，用类似电场中定义电势的方式，推导出重力场中“重力势”的表达式，并对此式作出解释。

参考解答：

“重力势”是与地球重力场相配合的位势，它等于物体在该高度具有的重力势能与物体质量的比值，选择地面为零“重力势”位置，则

φ = \(\frac{{{E_p}}}{m}\) = \(\frac{{mgh}}{m}\) = gh

选择地面为零“重力势”位置，重力势的大小由当地重力加速度和高度决定，与该位置是否放物体以及物体质量没有关系。

发布时间：2022/4/12 下午10:36:51  阅读次数：3523