第 1 章 第 4 节 点电荷的场强 匀强电场

在实际问题中，通常需要知道电荷产生的电场分布情况。那么，怎样确定电荷产生的电场分布情况呢？本节将认识一些常见的电场分布。

1．点电荷的电场

根据库仑定律和电场强度的定义式，可推导出点电荷所形成的电场中任意点的电场强度。如图 1 – 20 所示，将点电荷置于 O 点，另取一任意点 P，与 O 点的距离为 r，把一个试探电荷 q 放在 P 点，由库仑定律可知，它受到的静电力大小为

图 1 – 20 点电荷电场的电场强度示意图

\[F = k\frac{{qQ}}{{{r^2}}}\]

根据电场强度的定义式 E = \(\frac{F}{q}\) 可得

\[E = k\frac{Q}{{{r^2}}}\]

这就是点电荷电场的电场强度大小的表达式。从公式可知，点电荷产生电场中某点电场强度的大小，与点电荷的电荷量成正比，与该点到点电荷距离的平方成反比。当点电荷为正电荷时，电场强度方向沿 r 向外，如图 1 – 20（a）所示；当点电荷为负电荷时，电场强度方向沿 r 向内，如图 1 – 20（b）所示。

2．场强叠加原理

如果有多个点电荷同时存在，根据电场强度的定义和静电力叠加原理，电场中任一点的电场强度等于这些点电荷各自在该点产生的电场强度的矢量和，这个结论称为场强叠加原理（field superposition principle）。根据场强叠加原理，如果已知电荷分布，就可求出电场中某点电场强度矢量叠加后的总强度。图 1 – 21 中，P 点的电场强度等于电荷 +q 在该点产生的电场强度 E₁ 与电荷 − q 在该点产生的电场强度 E₂ 的矢量和。

图 1 – 21 场强叠加示意图

例题

如图 1-22 所示，有两个相距 l 的等量异种点电荷 -q 和 +q。O 点为两点电荷连线的中点，P 为连线延长线上的一点，与 O 点相距 r 。试求 P 点的电场强度。

分析

根据场强叠加原理，P 点处的电场强度等于两个点电荷在该处电场强度的矢量和。两个点电荷的电荷量大小相等，P 点到 +q 的距离小于到 −q 的距离，由点电荷的电场强度公式可知，+q 在 P 点的电场强度大于 −q 在 P 点的电场强度，合场强的方向与 +q 在该点电场强度的方向相同。

解

P 点到 −q 和 +q 的距离分别为 r + \(\frac{l}{2}\) 和 r − \(\frac{l}{2}\)，则 −q 和 +q 在 P 点产生的电场强度大小分别为

E₋ = k\(\frac{q}{{{{\left( {r + \frac{l}{2}} \right)}^2}}}\)，E₊ = k\(\frac{q}{{{{\left( {r - \frac{l}{2}} \right)}^2}}}\)

二者的方向相反，它们的合场强为

E_P = E₊ − E₋ = \(\frac{{2rlq}}{{{{\left( {{r^2} - \frac{{{l^2}}}{4}} \right)}^2}}}\)

电场强度的方向水平向右。

讨论

若 P 点到中心 O 点的距离 r 远大于两点电荷间距 l，则 P 点的电场强度多大？

策略提炼

运用场强叠加原理进行矢量运算，与力学中进行矢量运算的方法相同。一般是先确定相关物理量的大小和方向，再根据矢量运算法则进行计算。

迁移

如果条件不变，请计算图 1-22 中两个等量异种点电荷连线的中垂线上与 O 点距离为 r 的某点的电场强度。

解答：E = \(\frac{{ql}}{{{{\left( {{r^2} + \frac{{{l^2}}}{4}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}\)

拓展一步

电偶极子

两个相距很近的等量异种点电荷组成的系统称为电偶极子。电偶极子的两个点电荷连线的延长线上某点 P 的电场强度，小于其中任何一个点电荷在该点的电场强度。对于电偶极子， P 点到电偶极子中心的距离 r 远大于两点电荷间距 l（图 1-22），可以证明，电偶极子在 P 点的电场强度近似为 k\(\frac{{2ql}}{{{r^3}}}\)。可见，电偶极子在其连线延长线上某点的电场强度与该点到两点电荷中点距离的三次方成反比。显然，与点电荷的电场强度相比，电偶极子的电场强度随距离的增大衰减得更快。

3．匀强电场

除了点电荷的电场外，两块大小相同、相距很近、相互正对且分别带有等量异种电荷的金属板之间的电场，也是一种常见的电场。如图 1-23 所示的两金属板之间的电场，除边缘外，其内部的电场强度大小处处相等、方向处处相同。物理学中把电场强度大小和方向都处处相同的电场称为匀强电场（uniform electric field）。

例题

图 1-24 为密立根油滴实验示意图。一个很小的带电油滴悬在电场强度为 E 的电场中，调节电场强度，使作用在油滴上的电场力与重力平衡。如果 E = 4.0×10⁵ N/C，油滴受到的重力 G = 1.8×10⁻¹³ N，电子的电荷量大小 e = 1.6×10⁻¹⁹ C，求油滴电荷量与电子电荷量大小的比值。

分析

油滴在电场力与重力作用下处于平衡状态，据二力平衡可求出油滴电荷量，进而可求出油滴电荷量与电子电荷量大小的比值。

解

油滴在电场力与重力的作用下平衡，有

qE = G

q = \(\frac{G}{E}\) = \(\frac{{1.8 \times {{10}^{ - 13}}}}{{4.0 \times {{10}^5}}}\) C = 4.5×10⁻¹⁹ C

\(\frac{q}{e}\) = \(\frac{{4.5 \times {{10}^{ - 19}}}}{{1.6 \times {{10}^{ - 19}}}}\) = 2.8

油滴电荷量与电子电荷量大小的比值为 2.8。

讨论

历史上，密立根油滴实验得出：油滴电荷量是电子电荷量的整数倍。因实验有误差，每次具体测量得出的结果不一定是整数倍，整数倍的结果是通过数据处理分析后得出的。在一定条件下，利用带电体在电场中的平衡状态还可以确定电场强度。

策略提炼

分析解决电场中带电体的平衡问题，需先进行受力分析，然后根据物体平衡条件求解。受力分析时要注意分析电场力。

迁移

如图 1-25 所示，一绝缘细线上端固定，下端拴一质量为 m、电荷量为 − q 的小球。将它置于水平方向的匀强电场中，当细线离开竖直位置的偏角为 α 时，小球处于平衡状态。求匀强电场的大小和方向。

解答：E = \(\frac{{mg\tan \alpha }}{q}\)

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密立根油滴实验

密立根（R.Millikan，1868—1953，图 1-26），美国物理学家。他最早通过实验测出了电子电荷量的大小，并因此荣获 1923 年诺贝尔物理学奖。

密立根油滴实验还证明了带电微粒的电荷量的大小都是 e 的整数倍。大量实验表明，无论是原子核、离子等微观粒子，还是宏观物体所带电荷量的大小，都是 e 的整数倍，这个结论通常称为电荷的量子化。e 是电荷量值的一个基本量，这个电荷量称为元电荷。一般情况下，带电体的电荷量远比元电荷大得多，电荷的量子化表现不出来。国际科学技术数据委员会（2006）推荐的电子电荷量大小 e =1.602 176 487（40）×10⁻¹⁹ C。在一般情况下，可取 e = 1.60×10⁻¹⁹ C。

现代物理学认为，质子、中子等粒子是由电荷量为 ±\(\frac{{2e}}{3}\) 和 ±\(\frac{e}{3}\) 的夸克组成的，但目前还没有找到单独存在的夸克。

节练习

1．关于电场强度公式 E = \(\frac{F}{q}\) 和 E = k\(\frac{Q}{{{r^2}}}\)，某同学认为两个公式都对任何静电场适用，公式中的 Q 和 q 都是产生电场的电荷。这种看法正确吗？为什么？

参考解答：不正确。公式 E = \(\frac{F}{q}\) 是电场强度的定义，适用任何电场，E = k\(\frac{Q}{{{r^2}}}\) 是点电荷的电场公式，只适用于点电荷。在公式 E = \(\frac{F}{q}\) 中，q 不是产生电场的电荷，而是放入电场中的电荷。公式 E = k\(\frac{Q}{{{r^2}}}\) 中，Q 是产生电场的电荷。

2．氢原子核只有一个质子，核外有一个电子绕核旋转，轨道半径 r = 5.29×10⁻¹¹ m。已知质子的电荷量大小为 1.60×10⁻¹⁹ C，求电子轨道处的电场强度大小。

参考解答：E = 5.15×10¹¹ N/C

3．如图所示，真空中 xOy 平面直角坐标系上的 A、B、C 三点构成等边三角形，边长 l = 2.0 m。若将两个电荷量 q 均为 2.0×10⁻⁶ C 的点电荷分别固定在 A、B 点，已知静电力常量 k = 9×10⁹ N·m² /C²，求：

（1）O 点的电场强度；

（2）C 点的电场强度。

参考解答：（1）0

（2）E = 7.8×10³ N/C，方向竖直向上

4．做密立根油滴实验时，要使重 1.5×10⁻¹⁵ N、电荷量为电子电荷量 3 倍的油滴悬浮在两块平行板之间，电场强度需多大？

参考解答：E = 3.1×10³ N/C

5．如图所示，在真空中用等长的绝缘细线分别悬挂正电荷 A 和负电荷 B，其电荷量皆为 q。在水平方向的匀强电场作用下，两细线保持竖直，此时 A、B 间的距离为 l。求该匀强电场的电场强度。

参考解答：E = k\(\frac{q}{{{l^2}}}\)

6．两个点电荷相距 l，一个带正电、电荷量大小为 Q₁，另一个带负电、电荷量大小为 Q₂，Q₁ = 2Q₂。E₁ 和 E₂ 分别表示两个点电荷各自在某位置产生的电场强度的大小。在 Q₁、Q₂ 所在直线上，E₁ = E₂ 的位置有几个？这些位置的电场强度的大小分别是多少？

参考解答：共有 2 处。

当 E₁ = E₂ 的点在两点电荷之间时，设距离 Q₂ 为 L，则 L = (\(\sqrt 2 \) − 1)l，E = \(\frac{{k{Q_2}}}{{{{(\sqrt 2  - 1)}^2}{l^2}}}\)。

当两场强相等的点在 Q₂ 外侧时，L = (\(\sqrt 2 \) + 1)l，E = \(\frac{{k{Q_2}}}{{{{(\sqrt 2  + 1)}^2}{l^2}}}\)。

发布时间：2022/4/7 下午3:41:58  阅读次数：4679