第二章 匀变速直线运动的研究 复习与提高
学生运用匀变速直线运动规律分析解决自行车减速、汽车追及、汽车过ETC通道、低空跳伞等实际问题。在对实际问题进行推理和分析的过程中，要求学生建构模型，用图像和公式描述匀变速直线运动的规律，用表格、图像、公式处理数据，通过论证得出结论，使学生能在新的情境中灵活运用匀变速直线运动规律，用数学方法解决物理问题，获得正确结论。
A 组
1．某人骑自行车，在距离十字路口停车线30 m处看到信号灯变红。此时自行车的速度为 4 m/s。已知该自行车在此路面依惯性滑行时做匀减速运动的加速度大小为 0.2 m/s2。如果骑车人看到信号灯变红就停止用力，自行车仅靠滑行能停在停车线前吗？
参考解答：自行车无动力滑行的初速度为 v0 = 4 m/s，末速度为 0，加速度为 a = − 0.2 m/s2，当自行车停止时，滑行位移 x = \(\frac{{0 - v_0^2}}{{2a}}\)，代入数据得 x = 40 m > 30 m。可见，自行车仅靠滑行不能停在停车线前。
提示：在自行车减速停止的情境中，要注意加速度的方向与汽车初速度方向相反，解答中的负号就反映了加速度方向。
2．骑自行车的人以 5 m/s 的初速度沿足够长的斜坡向上做减速运动，加速度大小是 0.4 m/s2，经过 5 s，他在斜坡上通过多长的距离？
参考解答：20 m
提示：已知 v0 = 5 m/s，a = − 0.4 m/s2，t = 5 s。则第5 s末的速度为 v = v0 + at = 5 m/s－0.4×5 m/s = 3 m/s > 0。所以，自行车在斜坡上通过的距离 x = \(\frac{{{v_0} + v}}{2}\)t，代入数据得 x = 20 m。
用匀变速直线运动的速度与时间的关系式和平均速度公式求位移，要注意加速度取负值，要检验结果是否合理，经过判断 5 s 的末速度大于 0。也可以用位移与时间的关系式求自行车在斜坡上通过的距离 x = v0t + \(\frac{1}{2}\)at2 = 20 m。
3．钢球由静止开始做自由落体运动，不计空气阻力，落地时的速度为 30 m/s，g 取 10 m/s2 。
（1）它下落的高度是多少？
（2）它在前 2 s 内的平均速度是多少？
（3）它在最后 1 s 内下落的高度是多少？
参考解答：（1）45 m；（2）10 m/s；（3）25 m
4．某同学在“探究小车速度随时间变化的规律”实验中，选出了如图所示的一条纸带（每两点间还有 4 个点没有画出来），纸带上方的数字为相邻两个计数点间的距离。打点计时器的电源频率为 50 Hz。
（1）根据纸带上的数据，计算打下 A、B、C、D、E 点时小车的瞬时速度并填在表中。
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位置 |
A |
B |
C |
D |
E |
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v /（m·s-1） |
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（2）在图中画出小车的 v-t 图像，并根据 v-t 图像判断小车是否做匀变速直线运动。如果是，求出该匀变速直线运动的加速度。
参考解答：（1）0.605；0.810；0.996；1.176；1.390；（2）1.94 m/s2
5．某跳伞运动员做低空跳伞表演。他离开悬停的飞机后先做自由落体运动，当距离地面 125 m时开始打开降落伞，到达地面时速度减为 5 m/s。如果认为开始打开降落伞直至落地前运动员在做匀减速运动，加速度为 12 m/s2 ，g 取 10 m/s2 。问：
（1）运动员打开降落伞时的速度是多少？
（2）运动员离开飞机时距地面的高度为多少？
（3）运动员离开飞机后，经过多少时间才能到达地面？
参考解答：（1）55 m/s；（2）276 m；（3）9.67 s
提示：（1）以竖直向下为正方向，则 a = 12 m/s2，根据 v2 − v02 = 2ah2，运动员打开降落伞时的速度 v0 = \(\sqrt {{v^2} - 2g{h_2}} \)，代入数据得 v0 = 55 m/s。
（2）运动员做自由落体运动下降的高度 h1 = \(\frac{{v_0^2}}{{2g}}\)，代入数据得 h1 = 151 m。所以离开飞机时距地面的高度 h = h1 + h2 = 151 m + 125 m = 276 m。
（3）运动员做自由落体运动的时间 t1 = \(\frac{{{v_0}}}{g}\)，代入数据得 t1 = 5.5 s。做匀减速运动的时间 t2 = \(\frac{{v - {v_0}}}{a}\)，代入数据得 t2 = 4.17 s。故运动员离开飞机后，到达地面所经历的时间 t = t1 + t2 = 5.5 s + 4.17 s = 9.67 s。
6．已知一物体做初速度为 0、加速度为 a 的匀加速直线运动。该物体在前 1 s 内、前 2 s 内、前 3 s 内 的位移分别是 x1，x2，x3，…在第1 s 内、第2 s 内、第3 s 内……的位移分别是 xⅠ，xⅡI，xⅢ，…在各个连续相等的时间间隔T内的位移分别是 s1，s2，s3，…，sn，证明：
（1）x1∶x2∶x3∶… = 1∶4∶9∶…
（2）xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶… = 1∶3∶5∶…
（3）Δs = s2 − s1 = s3 − s2 = … = sn − sn − 1 = aT2
参考解答：（1）因为物体做初速度为 0 的匀加速直线运动，设加速度为 a，在前 n 秒内的位移为xn，由匀变速直线运动的位移公式，得 x能 = \(\frac{1}{2}\)an2，所以 x1∶x2∶x3∶… = 1∶4∶9∶…
（2）同理，前（n − 1）秒内的位移为 xn – 1 = \(\frac{1}{2}\)a(n – 1)2，故第 n 秒内的位移为 xn = \(\frac{1}{2}\)an2 − \(\frac{1}{2}\)a(n – 1)2 = \(\frac{a}{2}\)(2n − 1)。则 xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶… = 1∶3∶5∶…
（3）设物体在第 (n − 1) 个时间间隔内的初速度为 v0，末速度为 v，则 v = v0 + aT，sn −1 = v0T + \(\frac{1}{2}\)aT2。同理可得 sn = vT + \(\frac{1}{2}\)aT2。联立解得 sn – sn – 1 = (v0 + aT)T + \(\frac{1}{2}\)aT2 – (v0T + \(\frac{1}{2}\)aT2) = aT2。则 Δs = s2 − s1 = s3 − s2 = … = sn − sn − 1 = aT2。
B组
1．一辆汽车以 36 km/h 的速度在平直公路上匀速行驶，若汽车先以 0.5 m/s2 的加速度匀加速 10 s 后，再以 3 m/s2 的加速度匀减速刹车，请作出汽车开始加速后 18 s内的 v-t 图像。
参考解答：18 s内的 v-t 图像如图所示。
提示：汽车初速度 v0 = 36 km/h = 10 m/s，以 0.5 m/s2 的加速度匀加速 10 s后，由 v = v0 + at 得 v = 15 m/s，再以 3 m/s2 的加速度匀减速刹车，经 t2 = \(\frac{{\Delta v}}{a}\) 停下，代入数据得t2 = 5 s，最后3 s汽车是静止的。
2．公路上行驶的汽车，司机从发现前方异常情况到紧急刹车，汽车仍将前进一段距离才能停下来。要保持安全，这段距离内不能有车辆和行人，因此把它称为安全距离。通常情况下，人的反应时间和汽车系统的反应时间之和为 1 s（这段时间汽车仍保持原速）。晴天汽车在干燥的路面上以 108 km/h 的速度行驶时，得到的安全距离为 120 m。设雨天汽车刹车时的加速度为晴天时的 \(\frac{3}{5}\)，若要求安全距离仍为 120 m，求汽车在雨天安全行驶的最大速度。
参考解答：24 m/s
提示：汽车刹车前的速度为 v0 = 108 km/h = 30 m/s。汽车在晴天行驶时，设刹车的加速度大小为 a0，安全距离为 x0，反应时间为 t0，由匀变速直线运动的位移公式得x0 = v0t0 + \(\frac{{v_0^2}}{{2{a_0}}}\)。汽车在雨天行驶时，设刹车的加速度大小为 a，安全行驶的最大速度为 v，由匀变速直线运动的位移公式得 x0 = vt0 + \(\frac{{{v^2}}}{{2a}}\)。又由 a = \(\frac{3}{5}\)a0，联立解得以 a0 = 5 m/s2，v = 24 m/s。
3．在平直的公路上，一辆小汽车前方26 m处有一辆大客车正以 12 m/s 的速度匀速前进，这时小汽车从静止出发以 1 m/s2 的加速度追赶。试求：小汽车何时追上大客车？追上时小汽车的速度有多大？追上前小汽车与大客车之间的最远相距是多少？
参考解答：26 s；26 m/s；98 m
4．某人在室内以窗户为背景摄影时，恰好把窗外从高处落下的一个小石子摄在照片中，已知本次摄影的曝光时间是 0.01 s。量得照片中石子运动痕迹的长度为 0.8 cm，实际长度为 100 cm 的窗框在照片中的长度为 4.0 cm。
（1）根据照片估算曝光时间内石子下落了多少距离？
（2）估算曝光时刻石子运动的速度是多大？
（3）估算这个石子大约是从距离窗户多高的地方落下的？g 取10 m/s2。
参考解答：（1）0.2 m；（2）20 m/s；（3）20 m
5．弹垂直射入叠在一起的相同木板，穿过第 20 块木板后速度变为 0。可以把子弹视为质点，如果子弹在木板中运动的总时间是 t，认为子弹在各块木板中运动的加速度都相同。
（1）子弹穿过第 1 块木板所用的时间是多少？
（2）子弹穿过前 15 块木板所用的时间是多少？
（3）子弹穿过第 15 块木板所用的时间是多少？
参考解答：（1）t − \(\sqrt {\frac{{19}}{{20}}} \)t；（2）\(\frac{t}{2}\)；（3）\(\frac{{\sqrt {30} - 5}}{{10}}\)
6．ETC 是高速公路上不停车电子收费系统的简称。如图，汽车以 15 m/s的速度行驶，如果过人工收费通道，需要在收费站中心线处减速至 0，经过 20 s 缴费后，再加速至 15 m/s 行驶；如果过 ETC 通道，需要在中心线前方 10 m处减速至 5 m/s，匀速到达中心线后，再加速至 15 m/s 行驶。设汽车加速和减速的加速度大小均为 1 m/s2，求汽车通过 ETC 通道比通过人工收费通道节约多少时间。
参考解答：（1）50 s；（2）22 s；27 s
提示：（1）v1＝15 m/s、v2＝5 m/s、x0＝10 m、t0＝20 s，a＝1 m/s2。走人工收费通道，汽车在减速、静止、加速三个阶段通过的位移 x1＝\(\frac{{v_1^2}}{{2a}}\)×2，代入数据得 x1 ＝ 225 m。所用时间 t1 ＝\(\frac{{{v_1}}}{a}\)×2 ＋ t0，代入数据得 t1 ＝ 50 s。
（2）走ETC通道，汽车在减速、匀速、加速三个阶段通过的位移
x2 ＝ \(\frac{{v_2^2 - v_1^2}}{{ - 2a}}\)＋x0＋\(\frac{{v_1^2 - v_2^2}}{{2a}}\)，代入数据得 x2 ＝ 210 m。
所用时间 t2 ＝ \(\frac{{{v_2} - {v_1}}}{{ - a}}\)＋\(\frac{{{x_0}}}{{{v_2}}}\)＋\(\frac{{{v_1} - {v_2}}}{a}\)，代入数据得 t2 ＝ 22 s。
故节约时间Δt ＝ t1－（t2＋\(\frac{{{x_1} - {x_2}}}{{{v_1}}}\)），代入数据得 Δt ＝ 27 s。
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