第 4 章 第 3 节 共点力的平衡

远古的巨石，至今仍然矗立，向人们述说史前的故事（图 4-22）。繁华的现代都市，一切都在高速运转，人们却自有动中取静的办法。在商场，你即使站着不动，自动扶梯也会平稳地送你上楼、下楼（图 4-23）。

为什么远古的巨石至今不倒？为什么站在扶梯上的人能平稳运动？本节将学习与此相关的平衡状态及所需满足的平衡条件。

1．物体的平衡状态

在日常生活中，我们看见房间里的家具、放在桌面上的书等，都像远古巨石那样处于静止状态；在平直公路上匀速行驶的汽车、无风时天空匀速降落的雨滴等，都像匀速自动扶梯上的人一样处于匀速直线运动状态。

物理学中，把物体静止或做匀速直线运动时所处的状态称为平衡状态。

物理聊吧

飞机从起飞到以一定速度平稳飞行（图 4-24），再到降落，最后停在机场的停机坪上。在这个过程中，哪些阶段飞机处于平衡状态？

2．共点力的平衡条件

物体保持平衡状态需要满足什么条件？我们知道，物体在不受任何外力作用或受到两个平衡力作用时，将处于平衡状态。从力的合成来分析，此时物体所受合力 F_合 = 0。

那么，物体同时受到多个互成角度的共点力作用时，要满足什么条件才能处于平衡状态呢？我们知道，任意两个共点力都可用一个合力来等效替代。据此，三个及以上的共点力最终都可等效简化为两个共点力。可见，三个及以上共点力的平衡，最终也都可简化为二力平衡。因此，共点力作用下物体的平衡条件是合力为 0，即

F_合 = 0

也可以说，若作用在物体上的几个共点力的合力为 0，就达到了力的平衡（equilibrium of forces）。梵净山的蘑菇石和山西的悬空寺，正是因为满足了平衡条件而屹立不倒。

迷你实验室

共点力的平衡条件

用三只弹簧测力计沿三个方向拉住一个轻小物体（图 4-25），记下弹簧测力计的示数及作用力的方向，根据平行四边形定则确定三个力是否满足平衡条件。

拓展一步

判断受多个共点力作用的物体是否处于平衡状态

物体在多个共点力作用下处于平衡状态时，所受合力为 0。此时平移力的作用线，使各力首尾相接，必然会构成一个封闭的多边形（图 4-26）。反过来，我们也可根据物体所受的多个共点力能否构成封闭的多边形，来判断物体是否处于平衡状态。

例题

用绳子将鸟笼挂在一根横梁上，如图 4-27 所示。若鸟笼重 19.6 N，求绳子 OA 和 OB 对结点 O 的拉力。

分析

如图 4-28 所示，以结点 O 为研究对象，它受到鸟笼上端绳子的拉力 T，以及两段绳子 OA 和 OB 的拉力 F₁、F₂。结点 O 在这三个共点力的作用下处于平衡状态，其中，F₁ 和 F₂ 的合力 F 与 T 大小相等、方向相反，T 的大小与鸟笼所受重力大小相等。由此可通过平行四边形定则作图求解。

解

以结点 O 为研究对象，根据共点力的平衡条件，作受力分析如图 4-28 所示。

F = T，且 T = G

由三角函数关系得

F₁ = Fcos 30° = 19.6×0.866 N = 17.0 N

F₂ = Fsin 30° = 19.6×0.5 N = 9.8 N

所以，绳子 OA 对结点 O 的拉力大小是 17.0 N，方向沿绳由 O 指向 A ；OB 对结点 O 的拉力大小是 9.8 N，方向沿绳由 O 指向 B。

讨论

实际上绳子对结点 O 的拉力与结点 O 对绳子的拉力大小是相等的，因此 OA、OB 两段绳子所受的拉力并不相等。若两绳能承受的最大拉力相同，持续增大悬挂物的重力，受拉力较大的 OA 段绳子就先被拉断。请验证一下这是否符合实际情况。

策略提炼

解决共点力的平衡问题，通常先确定研究对象，再进行受力分析，然后根据平衡条件建立未知量与已知量的关系列方程求解。

若物体受到三个力的作用且处于平衡状态，则其中任意两个力的合力必然与第三个力大小相等、方向相反。这时可根据平行四边形（或三角形）的几何关系列方程求解，也可用正交分解方法求解。若物体在更多力的作用下处于平衡，则通常用正交分解方法列方程求解。

迁移

求解平衡问题还可利用正交分解的方法。先建立直角坐标系，将物体受到的各个力都分解到 x、y 轴方向，由平衡条件可得，x、y 轴方向的合力必须同时为 0（想想为什么），由此可列出两个方程，通过解方程组求解问题。你能用该方法求解上面的例题吗？请试一试。

素养提升

能进行力的合成与分解，对标量和矢量有比较全面的了解，知道矢量运算的平行四边形定则；能用共点力的平衡条件分析生产生活中的相关问题，解决一些相关的实际问题。具有与力平衡相关的初步的相互作用观念。

——物理观念

迷你实验室

你能超出多少

在我国某些地区有一种伸臂桥（图 4-29）。当地人将木板重叠，逐渐向河面延伸。他们用不太长的木板铺设桥面，同时使逐渐向河中心延伸的木板与泥土形成整体，并使其重心仍然在支持面内，巧妙地形成稳定的平衡结构。

现用两根木条叠放的方式探究伸臂桥的平衡稳定问题。选两块质地均匀、质量相同的木条叠放在桌子边缘如图 4-30 摆放。若木条长度均为 l，为使这两块木条保持平衡，不致翻倒，木条 2 的右端离桌沿的水平距离最远可为多少？还有哪些因素会影响伸臂桥的安全？

解答：通过木条中心要在支撑面内，可得木条 2 的右端离桌沿的水平距离最远可为 \(\frac{3}{4} \)l。木条的质量分布会影响木条 2 的右端离桌沿的最远水平距离，同样伸臂桥的质量分布等因素也会影响伸臂桥的安全。

节练习

1．竖直上抛的物体到最高点时的瞬时速度为 0，这时物体是否处于平衡状态？为什么？

参考解答：物理未处于平衡状态。因为竖直上抛运动的物体到最高点时，物体仍受重力作用，合力不为零。

2．如图所示，一球置于木板与竖直墙面之间。设墙面对球的压力大小为 N₁，木板对球的支持力大小为 N₂。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置缓慢转到水平位置。不计摩擦，在此过程中

A．N₁ 始终减小，N₂ 始终增大

B．N₁ 始终减小，N₂ 始终减小

C．N₁ 先增大后减小，N₂ 始终减小

D．N₁ 先增大后减小，N₂ 先减小后增大

参考解答：B

3. 如图所示，一小灯笼用轻绳连接并悬挂在 O 点，在稳定水平风力作用下发生倾斜，悬绳与竖直方向的夹角为 30°。设灯笼的质量为 0.2 kg，悬绳对灯笼的拉力大小为多少？

参考解答：2.26 N

4．如图所示，拖把是生活中常用的清洁工具，由拖杆和拖把头构成。设某拖把头的质量为 m，拖杆质量可忽略，拖把头与地板之间的动摩擦因数为 μ，重力加速度为 g。用该拖把在水平地板上拖地，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为 θ。若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小。

参考解答：F = \(\frac{{\mu mg}}{{\sin \theta  - \mu \cos \theta }}\)

5．如图所示，杂技演员在钢丝上缓慢行走，当走到中间 O 点时钢丝与水平方向的夹角为15°。若演员质量为65 kg，钢丝所受拉力为多大？（取 sin 15° = 0.259，重力加速度 g = 10 m/s²，不计钢丝质量）

参考解答：1 254.8 N

6．如图所示，质量为 10 kg 的物体 B 放在倾斜的木板 A 上。当物体 B 受到一平行于木板向上、大小为 100 N 的拉力作用时，刚好沿木板匀速上滑；当物体 B 受到一平行于木板向下、大小为 20 N 的拉力作用时，刚好沿木板匀速下滑。现将木板放平，欲使 B 沿水平方向匀速运动，要对它施加多大的水平力？（取重力加速度 g = 10 m/s²）

参考解答：65 N

发布时间：2022/4/2 下午9:08:09  阅读次数：2535