第七章 第五节 机械能守恒定律

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

图 7–39  游乐园里的“海盗船”

 

在物理学的发展过程中，各种形式的能量概念先后建立起来。物理学家发现，不同形式的能量可以相互转化，而且遵循能量守恒这一基本定律。图 7–39 所示的“海盗船”由低处往高处摆动时，它的重力势能增大，动能减小；由高处向低处摆动时，它的重力势能减小，动能增大。物理学中，把动能和势能统称为机械能（mechanical energy）。

在“海盗船”来回摆动的过程中，如果不计空气阻力和摩擦力，就只有重力做功，动能和势能相互转化，转化过程中它们的总和不变，即机械能守恒。

 

在这个活动中，提桶与“海盗船”的摆动过程类似，涉及势能和动能的变化。这种变化源自势能与动能之间的转化，而这种转化又受制于一条重要的物理学定律，如果不知道这一定律，会担心提桶把鼻子撞扁。

势能和动能之间的相互转化有时不仅涉及重力势能，还会涉及弹性势能。如图 7–41 所示的蹦极运动，蹦极者在重力和弹性绳拉力的作用下下坠、反弹的过程中动能、重力势能和弹性势能之间不断相互转化。

物体的机械能 E 等于其动能和势能的代数和，即

\[E = {E_{\rm{p}}} + {E_{\rm{k}}}\]

根据动能定理，合力对物体所做的功等于物体动能的变化量，即

\[{W_合} = \Delta {E_{\rm{k}}}\tag{1}\label{1}\]

将重力所做的功 W_G、弹力所做的功 W_E 分离出来，并用 Wʹ 表示除重力和弹力以外其他力所做功的代数和，则式（1）可改写成

\[W' + {W_{\rm{G}}} + {W_{\rm{E}}} = \Delta {E_{\rm{k}}}\tag{2}\label{2}\]

根据重力、弹力做功的特点，用 ΔE_p 表示重力势能与弹性势能变化量的代数和，则式（2）可以改写成

\[W' - \Delta {E_{\rm{p}}} = \Delta {E_{\rm{k}}}\]

即                              \(W' = \Delta {E_{\rm{k}}} + \Delta {E_{\rm{p}}} = \Delta E\)            （3）

式中，ΔE 为机械能变化量。

若 Wʹ = 0，则 ΔE = 0。这表明除重力和弹力以外，其他外力做功为零时，机械能变化量为零，即机械能总量不变。

以上结论表明：在只有重力和弹力做功的系统内，动能与势能相互转化，机械能总量不变。这就是机械能守恒定律（law of conservation of mechanical energy）。

机械能守恒的条件是，只有重力和弹力做功，其他力不做功。由于不计空气阻力，自由落体运动和抛体运动过程中，物体的机械能都是守恒的。

 

章首图的频闪照片表明，小球自高处摆动至低处，位置不断降低，重力势能不断减小；小球相邻影像的间隔越来越大，表明小球的速度越来越大，即小球的动能不断增大。反之，小球由低处摆动至高处，重力势能增大，动能减小。

实际上小球摆动时受到空气阻力的作用，但小球在左右两侧的最大高度大致相等。这表明，小球从右侧摆动至左侧的过程中，阻力所做的功对摆球的影响不大。通常我们会忽略空气阻力，便可以运用机械能守恒定律方便地获得小球摆动过程中任意位置高度和速率的关系。但如果用牛顿运动定律分析小球的运动，即便忽略空气阻力，细线对小

球不断变化的拉力作用将是不可回避的，解决问题的过程将变得十分复杂。

机械能守恒定律通常用动能和势能相互转化时总量保持不变的形式来表示。

如图 7–43 所示，将质量为 m 的物体从离水平地面高为 h₁ 的 A 处以速度 v₁ 抛出，当物体到达离地高为 h₂ 的 B 处时速度为 v₂。若忽略空气阻力，物体从 A 到 B 的过程中机械能守恒，以地面为零势能面，则机械能守恒的表达式可以写作

\[\frac{1}{2}mv_1^2 + mg{h_1} = \frac{1}{2}mv_2^2 + mg{h_2}\]

 

若用 E_k0、E_p0 和 E₀ 分别表示物体位于初位置 A 时的动能、势能和机械能；用 E_kt、E_pt 和 E_t 分别表示物体位于末位置 B 时的动能、势能和机械能，则机械能守恒的表达式又可写作

\[{E_{{\rm{k}}0}} + {E_{{\rm{p}}0}} = {E_{{\rm{k}}t}} + {E_{{\rm{p}}t}}\]

或                                                                \({E_0} = {E_t}\)

 

示例  如图 7–44 所示，滑雪运动员从被冰雪覆盖的斜坡顶端 A 以速度 v_A = 2 m/s 滑下，到达坡底 B 时的速度为 v_B = 16 m/s。运动过程中的阻力均忽略不计，g 取 10 m/s²。

（1） A、B 两点间的竖直高度差 h 为多少？

（2）如果运动员由坡底以速度 v_Bʹ = 7 m/s 冲上坡面，它能到达的最高点高度 hʹ 为多少？

分析：由于斜坡的形状不确定，无法用牛顿第二定律求出运动员的加速度和速度。运动员在 A、B 间运动时，只有重力对运动员做功，运动员的机械能守恒，由此可以根据机械能守恒定律，用 A、B 两点机械能之间的关系求解。

解：（1）运动员在运动过程中，只有重力做功，因此运动员的机械能守恒。将 B 所在的水平面设为零势能面，根据机械能守恒定律，有

\[\frac{1}{2}mv_A^2 + mg{h_1} = \frac{1}{2}mv_B^2 + 0\]

\[h = \frac{{v_B^2 - v_A^2}}{{2g}} = \frac{{{{16}^2} - {2^2}}}{{2 \times 10}}\;{\rm{m}} = 12.6\;{\rm{m}}\]

（2）运动员从坡底运动到最高点的过程中只有重力做功，机械能仍然守恒，仍以 B 所在的水平面为零势能面，则有

\[0 + mgh' = \frac{1}{2}m{v'}_B^2 + 0\]

\[h = \frac{{{v'}_B^2}}{{2g}} = \frac{{{7^2}}}{{2 \times 10}}\;{\rm{m}} = 2.45\;{\rm{m}}\]

用机械能守恒定律解决问题的一般步骤为：（1）确定研究对象；（2）判断机械能守恒条件是否成立；（3）选取零势能面；（4）确定始末状态的动能和势能；（5）列出相关表达式并求得结果。

机械能守恒定律是物理学的重要规律，机械能守恒定律关注的是两个运动状态之间的能量关系，并不过多地涉及运动过程的细节。因此，在满足机械能守恒条件时，运用机械能守恒定律解决运动过程较为复杂的机械运动问题往往具有明显的优势。

 

 

验证机械能守恒定律

实验原理与方案

在物体运动过程中，空气阻力和重力都对物体做功，当空气阻力远小于重力时，物体的机械能近似守恒。为了验证机械能近似守恒，需要测量物体在任意位置处的动能和重力势能。本实验通过测量物体的速度和高度间接测量物体的动能和重力势能。

实验装置与方法

图 7–45 所示的实验装置可供选用。本装置中，光电门传感器固定在摆锤上。由于连接杆的质量远小于摆锤质量，摆动过程中，连接杆的动能和重力势能可以忽略，只要测量摆锤（含光电门传感器）的动能和重力势能即可。6 块挡光片可用螺栓固定在不同位置并由板上刻度读出其对应的高度。挡光片宽度 d、摆锤的质量 m 已知。释放摆锤，光电门传感器可以分别测出摆锤经过 6 个挡光片时的速度 v 的大小。

实验操作与数据收集

释放摆锤，记录各个挡光片所在高度和摆锤通过各个挡光片时的瞬时速度大小，填入表 7–3。

表 7–3  实验数据记录表

挡光片宽度 d =  ______m，摆锤质量 m = _____kg

挡光片	1	2	3	4	5	6
高度 h/m
速度 v/(m·s−1)

数据分析

根据实验数据，选择合适的坐标系描点作图，并进行分析。

实验结论

________________________________________________________________________。

 

交流与讨论

各组就实验数据进行交流、比较，分析实验结果的异同及其原因，探讨实验的改进方法。

问题与思考解读

1．参考答案：（1）B 情境更接近机械能守恒。因为根据经验可知，铅球运动过程中所受的阻力相较其重力更小，且其飞行路程更短、做功更少，对机械能影响也更小。

（2）A 情境更接近机械能守恒。雨滴从高空下落至地面的距离远大于橡皮擦由桌面滑落到地面的路程，阻力对雨滴做的功更多，对机械能影响也更大，因此橡皮擦下落过程更接近机械能守恒。

命题意图：在真实情境中判断机械能守恒定律的适用条件。更详细的讨论参见节后资料链接“关于雨滴和橡皮擦下落机械能是否守恒的问题”。

主要素养与水平：科学推理（Ⅰ）；能量观念（Ⅰ）。

2．参考解答：分析此过程能量转化、转移可知，铁弹丸的重力势能一部分转移为小水珠的重力势能。因为铁弹丸质量显著大于小水珠质量，虽然小水珠的高度高于铁弹丸的最大高度，但小水珠的重力势能仍小于铁弹丸的重力势能，此现象合理。

命题意图：在真实情境中分析能量转化、转移情况并做定性判断。

主要素养与水平：模型建构（Ⅰ）；科学论证（Ⅰ）。

3．参考解答：在光滑水平面上做匀速圆周运动的物体动能和重力势能都不变，没有发生动能和重力势能之间的能量转化、转移，虽然其机械能的大小保持不变，但不符合机械能守恒的条件。

命题意图：理解机械能守恒的条件。

主要素养与水平：能量（Ⅰ）；科学论证（Ⅰ）。

4．参考解答：车站比轨道略高的设计将会在地铁进站时将地铁的一部分动能转化为重力势能存储起来有利于其减速，在地铁出站时又将重力势能转化为动能有利于其加速。从能源利用的角度看，这很好地利用了动能和重力势能的转化，比单纯靠机械减速、加速更节能。

命题意图：在真实情境中分析能量转化、转移情况并做出评价。

主要素养与水平：模型建构（Ⅰ）；科学论证（Ⅱ）。

5．参考解答：不计空气阻力的情况下，质点飞行过程中仅受重力作用，机械能守恒。从抛出到落地的全过程有 E_t = E₀，则

\(\frac{1}{2}\)mv_t² + mgh_t = \(\frac{1}{2}\)mv₀² + mgh₀

\(\frac{1}{2}\)v_t² + gh_t = \(\frac{1}{2}\)v₀² + gh₀

v_t² = v₀² + 2g(h₀ – h_t)

故落地时的速度大小与初速度大小、抛出时的高度有关，与质点的质量、初速度方向无关。

命题意图：运用机械能守恒定律解决实际问题。

主要素养与水平：科学推理（Ⅱ）；能量观念（Ⅰ）。

参考资料

地球表面重物的机械能守恒

机械能守恒定律可由牛顿运动定律推演得出，而牛顿运动定律只在惯性参照系里成立。

为了使问题简化，将地球和重物都设想为均质球体，从而均可抽象为处于球心的质点，并忽略地球的自转。

取地球 - 重物这一体系的质心为参考系。由于质心静止，此参考系为惯性系。设地球和重物的质量分别为 m_地、m。在此参考系中，假设重物从静止自由下落的距离为 h₁，重力做功 W₁ = mgh₁；同时重物对地球的引力也对地球做功 W₂ = mgh₂。引力的总功W = W₁ + W₂ = mg（h₁ + h₂），其中，h₂ 为地球向“上”运动的距离。由动能定理，重物的动能 E_k1 = mgh₁ = \(\frac{1}{2}\)mv₁²，v₁ 是重物下落距离 h₁ 时的速度；同时，地球获得动能 E_k2 = mgh₂ + \(\frac{1}{2}\)m_地v₂²，v₂ 是地球的速度。体系总动能为 E_k = E_k1 + E_k2 = \(\frac{1}{2}\)mv₁² + \(\frac{1}{2}\)m_地v₂²。由于质心静止，有 mv₁ = m_地v₂，v₂ = \(\frac{{m{v_1}}}{{{m_地}}}\)。E_k = \(\frac{1}{2}\)\(\left( {1 + \frac{m}{{{m_地}}}} \right)\) mv₁²，则

E_p1 + 0 = E_p2 +E_k                    （1）

上式即重物自由下落的机械能守恒的严格表达式。

若以地球为参考系，引力对地球不做功，重物下落的距离变为 h = h₁ + h₂，引力对重物做功 W = mgh，显然这是一对内力做功之和，与参考系无关。此时，获得速度 v = v₁ + v₂，v 为重物相对地球的速度。由质心静止的条件 mv₁ = m_地v₂，得

v = \(\left( {1 + \frac{m}{{{m_地}}}} \right)\) v₁

重物动能 E_k1′ = \(\frac{1}{2}\)mv² = \(\frac{1}{2}\)m \(\left( {1 + \frac{m}{{{m_地}}}} \right)\)² v₁² =  \(\left( {1 + \frac{m}{{{m_地}}}} \right)\) E_k

由于势能只取决于体系物体间的相对位置，于是机械能守恒可表示为

E_p1 + 0 = E_p2 + E_k′ = E_p2 + E_k                   （2）

将式（1）与式（2）相比，多出一因子 \(\left( {1 + \frac{m}{{{m_地}}}} \right)\)。\({\frac{m}{{{m_地}}}}\) 的量级约为 10⁻²⁴，即亿亿亿分之一（地球质量 m_地 约为 6×10²⁴ kg）。

由此可见，以地球作为惯性系，所引起的误差很小。从上面的讨论可以看出这是由于质心系中，相比重物，地球的动能完全可以忽略；也是由于地球位移远远小于重物，引力对地球做的功远远小于对重物所做的功。

关于雨滴和橡皮擦下落机械能是否守恒的问题

虽然在实际情况中无法严格满足仅有系统内重力和弹力做功的机械能守恒条件，但是机械能守恒定律对真实的物理过程仍具有现实指导意义。下面就以雨滴和橡皮擦下落的比较为例，通过估算来判断实际问题是否适用机械能守恒定律。

查阅资料可知，雨滴大约由 3 000 m 高空下落，落地速度一般不超过 8 m/s；橡皮擦大约由 1 m 高的桌面滑落，实测落地速度约为 4.3 m/s。选地面为零势能面计算机械能损失百分比，知雨滴下落过程损失了超过 99% 的机械能，橡皮擦落地过程损失约 6%。由此可见，橡皮擦落地过程更接近机械能守恒。

对于橡皮擦落地这类机械能损失不足 10% 的情况，在粗略的分析中，我们可以近似认为其机械能不变，可运用机械能守恒定律解决问题。