第五章 小结

 

 

 

 

研究自行车中的圆周运动。

自行车是日常生活中常用的交通工具。当用力踏踏板时，后车轮就会转动，从而使自行车前进，自行车运动时许多部件都在做圆周运动。以小组为单位探究一辆白行车各转动部件的传动关系；根据匀速圆周运动的知识，计算自行车的踏板每转动一周自行车前进的距离，并通过实验测量该距离。

活动要求：

（1）以小组为单位（不超过4人）开展研究活动，进行人员分工。

（2）制定研究方案。

（3）计算踏板每转动一周自行车前进的距离。

（4）进行实验，记录并处理数据。

（5）归纳总结得出结论。

（6）撰写并交流研究报告。

 

1．参考解答：如果 F 沿 x 轴，则质点在 y 轴方向的速度分量应不变，现 y 轴方向的速度分量减小，故 F 不沿 x 轴；如果 F 沿 y 轴正方向，则 y 轴方向的速度分量应增加，与题意不符。所以恒力 F 的方向既不可能沿 x 轴正方向，也不可能沿 y 轴正方向。

命题意图：用牛顿第二定律分析曲线运动。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅰ）；科学推理（Ⅰ）。

2．参考解答：A、B 均做匀速圆周运动，由题意可知 m_A = m_B，ω_A = ω_B，r_A > r_B，根据F = mω²r 可判定同一时刻 F_A > F_B；随着转盘越转越快，ω 增大，A、B 所需向心力均增大；又已知 A、B 与水平转盘间的最大静摩擦力相同，所以 A 所需向心力先超过最大静摩擦力的数值，会先飞离转盘。

命题意图：理解情境，建立模型，运用向心力、离心现象以及静摩擦力的相关知识分析推理解决问题。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）。

3．参考解答：（1）三个物体都随地球自转，所以 ω_A = ω_B = ω_C。

（2）由地理知识可知r_A < r_B < r_C，根据 v = ωr 可判定 v_A < v_B < v_C。

（3）物体的周期与地球自转周期相同，所以 T_A = T_B = T_C。

命题意图：结合地理知识建立模型，巩固角速度、线速度、周期的概念。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）。

4．参考解答：（1）ω = \(\frac{{2\pi n}}{t}\)，v = \(\frac{{2\pi nl}}{t}\)

（2）以 OB 长 5 cm、手柄每 1 min 匀速转动80圈代入上述表达式，可估算得角速度、线速度大小分别为 8.4 rad/s、0.42 m/s。

命题意图：培养从真实情境中抽象出物理模型的能力，学会用圆周运动规律估算日常情境中的问题。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）；科学论证（Ⅱ）。

5．参考解答：（1）切割刀位移轨迹与玻璃平移方向的夹角为 α，tanα = \(\frac{{{v_刀}}}{{{v_玻璃}}}\) = 5，所以 α = 78.7°。

（2）根据分运动与合运动的等时性，t = \(\frac{d}{{{v_刀}}}\) = 0.9 s。

命题意图：在生产实际问题中分析什么是分运动、什么是合运动，运用运动合成与分解的方法和规律处理问题。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅰ）；模型建构（Ⅱ）；科学本质（Ⅱ）。

6．参考解答：干草竖直方向为自由落体运动，t = \(\sqrt {\frac{{2h}}{g}} \) ≈ 7.14 s。干草落地时竖直方向的分速度为 v_y = \(\sqrt {2gh} \) =70 m/s，落地速度大小为 v_t = \(\sqrt {v_0^2 + v_y^2} \) ≈ 138.92 m/s。

命题意图：体会运用运动合成与分解的方法研究平抛运动的事例。

主要素养与水平：模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）；科学本质（Ⅱ）。

7．参考解答：（1）由题意 v₀ = v_y = gt，，得 t₁ = \(\frac{{{v_0}}}{g}\)；此时速度大小为 v_t = \(\sqrt 2 \)v₀，速度方向与水平方向成 45° 角斜向下

（2）x = v₀t，y = \(\frac{1}{2}\)gt₂²，由题意 x = y，则 v₀t₂ = \(\frac{1}{2}\)gt₂²，得 t₂ = \(\frac{{2{v_0}}}{g}\)；此时 x = \(\frac{{2v_0^2}}{g}\)，物体位移大小为 s = \(\sqrt 2 \)x = \(\frac{{2\sqrt 2 v_0^2}}{g}\)，位移方向与水平方向成45°角斜向下。

（3）因 y = \(\frac{1}{2}\)gt²，所以至少从 y₁ = \(\frac{1}{2}\)gt₁² = \(\frac{{v_0^2}}{g}\) 高处抛出物体，第（1）小题的情况才能满足；至少从 y₂ = \(\frac{1}{2}\)gt₂² = \(\frac{{2v_0^2}}{g}\) 高处抛出物体，第（2）小题的情况才能满足。

命题意图：运用运动合成与分解的方法研究平抛运动的规律。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）。

8．参考解答：对物体 B 进行受力分析：在竖直方向受到重力和滑动摩擦力的作用，水平方向受到垂直于筒壁指向轴心的弹力作用。根据牛顿第二定律，有 ma = mg – F_f 和 mω²r = F_N，另有 F_f = F_N。由此三式可解得 ω = \(\sqrt {\frac{{g - a}}{{\mu r}}} \)。

命题意图：在综合运用动力学知识解决问题中培养分析、综合的思维能力。

主要素养与水平：科学推理（Ⅱ）。

9．参考解答：（1）银原子运动距离 d，所用时间与圆筒转过弧长，所用时间相等，即：\(\frac{d}{v}\) = \(\frac{s}{{\frac{d}{{2\omega }}}}\)，可解得 v = \(\frac{{\omega {d^2}}}{{2s}}\)。

（2）将已知数据代入上述表达式可得银原子速率的数量级为 10² m/s。

（3）根据 v = \(\frac{{\omega {d^2}}}{{2s}}\) 即可确定，落点越靠近 b 处的原子的速率越大。

命题意图：从真实情境中抽象出圆筒的圆周运动和分子的匀速直线运动，并能建立两者的联系。培养抽象建模、逻辑推演的思维能力。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅲ）；科学推理（Ⅲ）。

10．参考解答：在水平方向上，此物体在连续相等时间内运动的位移近似相等，所以水平方向为匀速直线运动；在竖直方向上，此物体在连续相等时间内运动的位移先减小，再反方向增大（可能是斜上抛运动）。

命题意图：通过对实验数据的分析，判断物体的运动规律，提升实验探究能力。

主要素养与水平：证据（Ⅲ）；解释（Ⅲ）。

11．参考解答：小球从 A 处水平抛出，刚好落在斜面底端 B 处，在竖直方向的分运动 h = \(\frac{1}{2}\)gt²，得 t = \(\sqrt {\frac{{2h}}{g}} \) ≈ 0.61 s，水平方向的分运动 x = v₀t，得 v₀ = \(\frac{x}{t}\) = \(\frac{{h\cot 45^\circ }}{t}\) ≈ 2.95 m/s。

（1）小球运动过程中速度与斜面平行时，其速度方向与水平方向成 45°角，所以 v₀ = v_y = gt₁，得 t₁ = \(\frac{{{v_0}}}{g}\) ≈ 0.30 s。

（2）小球运动过程中离斜面距离最大时就是第（1）小题结论的位置。可用另一种运动分解的思路：把小球的运动分解为沿斜面的匀加速直线运动，和垂直于斜面向上的匀减速直线运动。因此，只要求出垂直于斜面向上运动的最大高度就可回答第（2）小题的设问。垂直于斜面运动初速度分量 v_y = vsin45°，加速度分量 a_y = gcos45°，根据匀变速直线运动的规律 0 = v_y² − 2a_yH，解得 H ≈ 0.31 m。

命题意图：研究比较复杂的平抛运动问题，体会模型建构的思想，体验从不同的角度思考问题，培养科学的态度。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅲ）。

12．参考解答：假设击球方向垂直于网面，根据平抛运动的规律，竖直方向分运动为自由落体运动 h = \(\frac{1}{2}\)gt²，得 t =  \(\sqrt {\frac{{2h}}{g}} \)；水平方向分运动为匀速直线运动 v₀ = \(\frac{x}{t}\)，由此得 v₀ = x\(\sqrt {\frac{g}{{2h}}} \)。由题意可知，若排球恰能过网：x₁ = 3 m，h₁ = （3.23 − 2.43） m = 0.8 m，代入数据得 v₀ = x₁\(\sqrt {\frac{g}{{2{h_1}}}} \) ≈ 7.42 m/s；若排球恰好不出界：x₂ =  （3 + 9） m = 12 m，h₂ = 3.23 m，代入数据得 v₀ = x₂\(\sqrt {\frac{g}{{2{h_2}}}} \) ≈ 14.78 m/s。所以击出排球的水平初速度大小应在 7.42 m/s 和 14.78 m/s 之间。

命题意图：将一个比较复杂的排球实际运动抽象为满足题设条件的平抛运动，体验基于经验事实与物理原理建构物理模型的思想，联系实际学以致用。

主要素养与水平：模型建构（Ⅳ）；科学推理（Ⅲ）；科学本质（Ⅲ）；科学态度（Ⅱ）。