第4章 万有引力定律及航天 章末练习
科学认知
1．若在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的 6.4 倍，一个在地球表面重量为 600 N 的人在这个行星表面的重量将变为 960 N。由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为
A．0.5 B．2 C．3.2 D．4
【答案】B
2．我国“嫦娥二号”可视为在月球表面附近做圆周运动。已知引力常量，要测定月球的密度，仅仅需要
A．测定飞船的运行周期 B．测定飞船的环绕半径
C．测定月球的体积 D．测定飞船的运行速度
【答案】A
3．2012 年 1 月 9 日，我国成功发射了“资源三号”卫星，同年又成功发射了“中星 2A”通信广播地球同步卫星。在某次实验中，近似做圆周运动的“资源三号”卫星环绕地球飞行 24 圈用时 38 h。请比较两颗卫星的周期、速率、加速度和离地面高度这四个物理量的大小。
【答案】小于，大于，大于，小于
4．如图所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为 T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从 P 经 M、Q 到 N 的运动过程中
A．从 P 到 M 所用的时间等于 \(\frac{{{T_0}}}{4}\)
B．从 Q 到 N 阶段，机械能逐渐变大
C．从 P 到 Q 阶段，速率逐渐变小
D．从 M 到 N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功
【答案】CD
5．已知同步卫星与地心的距离为 r，运行速率为 v1，向心加速度为 a1；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为 a2；第一宇宙速度为 v2，地球半径为 R。下列关系式正确的是
A．\(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}}\) = \(\frac{r}{R}\) B．\(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}}\) = \({\left( {\frac{R}{r}} \right)^2}\) C．\(\frac{{{v_1}}}{{{v_2}}}\) = \(\frac{r}{R}\) D．\(\frac{{{v_1}}}{{{v_2}}}\) = \(\sqrt {\frac{R}{r}} \)
【答案】AD
6．荡秋千是深受大家喜爱的一项娱乐活动。随着科学技术的发展，将来我们也许会在其他星球上享受荡秋千的乐趣。假设你所在星球的质量是 M、半径为 R，可将人视为质点，秋千质量不计，摆长不变，摆角小于 90°，引力常量为 G。
（1）求该星球表面附近的重力加速度 g星。
（2）若你在荡秋千中能上升的最大高度为 H，则经过最低点时速度为多大？
【答案】（1）g星 = \(\frac{{GM}}{{{R^2}}}\)
（2）v = \(\frac{{\sqrt {2GMH} }}{R}\)
7．如图所示，A 是地球的同步卫星，另一卫星 B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为 h。已知地球半径为 R，地球自转角速度为 ω，地球表面的重力加速度为 g，O 为地球中心。
（1）求卫星 B 的运行周期。
（2）若卫星 B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻 A、B 两卫星相距最近，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？
【答案】（1）TB = \(\frac{{2\pi }}{R}\sqrt {\frac{{{{(R + h)}^3}}}{g}} \)
（2）t = \(\frac{{2\pi }}{{R\sqrt {\frac{g}{{{{(R + h)}^3}}}} - \omega }}\)
科学辨析
8．已知引力常量 G、地球半径 R、月球和地球之间的距离 r、同步卫星距地面的高度 h、月球绕地球的运转周期 T1、地球的自转周期 T2、地球表面的重力加速度 g。某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量 M 的方法：因同步卫星绕地球做圆周运动，可由 G\(\frac{{mM}}{{{h^2}}}\) = m\({\left( {\frac{{2\pi }}{{{T_2}}}} \right)^2}\)h 得 M = \(\frac{{4{\pi ^2}{h^3}}}{{GT_2^2}}\)。
（1）请判断上面的结果是否正确，并说明理由。若不正确，请给出正确的解法和结果。
（2）请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法，并解出结果。
【答案】（1）错误，同步卫星的轨道半径不是 h，而是R + h。
M = \(\frac{{4{\pi ^2}{{(R + h)}^3}}}{{GT_2^2}}\)
（2）方法1：M = \(\frac{{g{R^2}}}{G}\)
方法2：M = \(\frac{{4{\pi ^2}{r^3}}}{{GT_1^2}}\)
*9．“嫦娥工程”正在循序渐进地实现中国的航天梦。若“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月做圆周轨道运行时，距月球表面的高度分别为 h1 和 h2，周期分别为 T1 和 T2，请你推导出月球的质量和半径，并用必要的方程说明你的理由。若“嫦娥三号”探测器的质量为 M，请结合前面计算的信息，推导出探测器在月球表面附近悬停时其发动机提供的推力大小。如果未来对从月球返回地球的探测器进行回收，上述发动机是否依然能胜任同质量探测器在地球表面的悬停任务？请用证据谈谈你的看法。
【答案】分析：“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月做圆周运动的向心力由月球对它们的万有引力提供，两探测器的半径、周期不同，应分别根据牛顿第二定律建立关系式。
解答：设月球质量为 M月，半径为 R，由万有引力提供向心力可得
G\(\frac{{m{M_月}}}{{{{(R + {h_1})}^2}}}\) = m\(\frac{{4{\pi ^2}}}{{T_1^2}}\)(R + h1)
G\(\frac{{m{M_月}}}{{{{(R + {h_2})}^2}}}\) = m\(\frac{{4{\pi ^2}}}{{T_2^2}}\)(R + h2)
两式联立解得
M月 = \(\frac{{4{\pi ^2}}}{G}{\left( {\frac{{{h_1} - {h_2}}}{{\sqrt[3]{{T_1^2}} - \sqrt[3]{{T_2^2}}}}} \right)^3}\)，R = \(\frac{{{h_2}\sqrt[3]{{T_1^2}} - {h_1}\sqrt[3]{{T_2^2}}}}{{\sqrt[3]{{T_2^2}} - \sqrt[3]{{T_1^2}}}}\)
当探测器在月球表面附近悬停时受力平衡，推力大小为
F = Mg月
其中 g月 = G\(\frac{{{M_月}}}{{{R^2}}}\)，
所以 F = \(\frac{{4{\pi ^2}M{{({h_1} - {h_2})}^3}}}{{(\sqrt[3]{{T_1^2}} - \sqrt[3]{{T_2^2}}){{({h_2}\sqrt[3]{{T_1^2}} - {h_1}\sqrt[3]{{T_2^2}})}^2}}}\)
因为 g地 = 6g月，所以为月球设计的发动机无法胜任地球表面的悬停。
温故知新
10．如图所示，一内壁光滑的细管弯成半径 R = 0.4 m 的半圆形轨道 BC，将其竖直放置并将 B 点与一水平轨道相连。置于水平轨道上的弹簧左端与竖直墙壁相连，B 至墙壁的距离为弹簧的自然长度。将一个质量 m = 0.8 kg 的小滑块放在弹簧的右侧，向左推滑块，压缩弹簧使弹簧右端至 A 处，然后将滑块由静止释放，滑块进入半圆轨道继续滑行（不计滑块与轨道的碰撞）。已知滑块运动到 B 处刚刚进入半圆轨道时对轨道的压力 F1 = 58 N，水平轨道 AB 长度 l = 0.3 m，滑块与轨道的动摩擦因数 μ = 0.5，取重力加速度 g = 10 m/s2，求：
（1）弹簧压缩到 A 处时的弹性势能；
（2）小滑块运动到轨道最高处 C 点时对轨道的压力大小。
【答案】（1）Ep = 11.2 J
（2）10 N
11．请根据第 4 章（万有引力定律及航天）的内容，结合你的理解，画出概念图。
单元自我检测
一、选择题（本题共5小题。在每小题给出的四个选项中，第1～3题只有一项符合题目要求，第4、5题有多项符合题目要求）
1．要使两物体（可视为质点）间万有引力减小到原来的 \(\frac{1}{8}\)，可采取的方法是
A．使两物体间的距离变为原来的 2 倍，其中一个物体的质量变为原来的 \(\frac{1}{2}\)
B．使两物体的质量各减少 \(\frac{1}{2}\)，距离保持不变
C．使其中一个物体的质量变为原来的 \(\frac{1}{4}\)，距离保持不变
D．使两物体的质量及它们之间的距离都变为原来的 \(\frac{1}{4}\)
【答案】A
2．已知水星绕太阳公转的周期为 88 个地球日，水星与地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。可判定
A．水星的质量大于地球的质量
B．水星的轨道半径大于地球的轨道半径
C．水星公转的线速度大于地球公转的线速度
D．水星的向心加速度小于地球的向心加速度
【答案】C
3．太空技术的飞速发展使人类登陆其他星球成为可能。假设未来的某一天，宇航员登上某一行星后，测得该星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的 2 倍，而该星球的平均密度与地球的差不多，则该星球质量大约是地球质量的
A．\(\frac{1}{2}\) B．2 倍 C．4 倍 D．8 倍
【答案】D
4．地球同步卫星常用于通信、气象观测、导弹预警、数据中继等方面。地球同步卫星相对地面静止不动，犹如悬在空中一样，以实现对同一地区的连续监测。下列说法正确的有
A．同步卫星处于平衡状态
B．同步卫星绕地心的角速度与地球自转的角速度相同
C．同步卫星只能位于赤道上方，且高度和速率是唯一确定的
D．同步卫星的速率一定大于 7.9 km/s
【答案】BC
5．2016 年 10 月 19 日，“神舟十一号”飞船与“天宫二号”空间实验室成功交会对接。在“神舟十一号”飞船返回地面的过程中，有一个阶段可视为绕地球做圆周运动，其轨道半径为 r1，线速度大小为 v1，周期为 T1。此时“天宫二号”的运行轨道也可视为圆形轨道，对应的轨道半径为 r2，线速度大小为 v2，周期为 T2。下列关系式正确的是
A．\(\frac{{{v_1}}}{{{v_2}}}\) = \(\sqrt {\frac{{{r_1}}}{{{r_2}}}} \) B．\(\frac{{{v_1}}}{{{v_2}}}\) = \(\sqrt {\frac{{{r_2}}}{{{r_1}}}} \) C．\(\frac{{{T_1}}}{{{T_2}}}\) = \(\sqrt {\frac{{{r_2}}}{{{r_1}}}} \) D．\(\frac{{{T_1}}}{{{T_2}}}\) = \(\sqrt {\frac{{r_1^3}}{{r_2^3}}} \)
【答案】BD
二、非选择题
6．如图所示，“好奇号”火星探测器于 2012 年成功登陆火星表面。在登陆火星前，“好奇号”在距火星表面高度为 h 的轨道上绕火星做匀速圆周运动，周期为 T。已知火星的半径为 R，引力常量为 G，忽略其他天体对探测器的引力作用，求：
（1）探测器绕火星做匀速圆周运动的线速度大小；
（2）火星的质量
【答案】（1）v = \(\frac{{2\pi (R + h)}}{T}\)
（2）M = \(\frac{{4{\pi ^2}{{(R + h)}^3}}}{{G{T^2}}}\)
7．利用宇宙飞船，宇航员可以到太空维修出现故障的人造地球卫星。一颗人造地球卫星在离地高度一定的圆轨道上运行，飞船接近这颗卫星并与它运行情况基本相同时，速度为 6.0 km/s。已知地球质量 M = 6.0×1024 kg，半径 R = 6 400 km，引力常量 G = 6.7×10−11 N·m2/kg2，求这颗卫星离地面的高度。
【答案】h = 4.77×106 m
8．从地球上发射两颗人造地球卫星 A 和 B，它们绕地球做匀速圆周运动的半径之比 RA ：RB = 4∶1，求它们的线速度大小之比。下面是某同学的一种解法，请判断其是否正确。若是正确的，请你作出评价；若是错误的，请分析其出错的原因并给出正确的解答方法。
解：卫星绕地球做匀速圆周运动所需的向心力 F向= mg = m\(\frac{{{v^2}}}{R}\)
设 A、B 两颗卫星的质量分别为 mA、mB，则
mAg = mA\(\frac{{v_A^2}}{{{R_A}}}\) （1）
mBg = mB\(\frac{{v_B^2}}{{{R_B}}}\) （2）
由（1） （2）得 \(\frac{{v_A^2}}{{v_B^2}}\) = \(\frac{{{R_A}}}{{{R_B}}}\)
所以 \(\frac{{{v_A}}}{{{v_B}}}\) = \(\sqrt {\frac{{{R_A}}}{{{R_B}}}} \) = \(\sqrt {\frac{4}{1}} \) = \(\frac{2}{1}\)
【答案】错误。该同学错误地把卫星在地面的重力当作向心力。
正确的方法是：
由 G\(\frac{{Mm}}{{{R^2}}}\) = m\(\frac{{{v^2}}}{R}\)，可得 v = \(\sqrt {\frac{{GM}}{R}} \)，因此 \(\frac{{{v_A}}}{{{v_B}}}\) = \(\sqrt {\frac{{{R_B}}}{{{R_A}}}} \) = \(\sqrt {\frac{1}{4}} \) = \(\frac{1}{2}\)
单元自我评价
回顾本单元的学业要求和所学内容，结合本次单元自我检测和平时学习情况进行自我评价，写一篇“单元自我评价”报告。说说你学会了什么、存在什么问题及今后努力的方向等。
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