第 2 章 抛体运动 第 1 节 运动的合成与分解

我们已经学习了研究某些直线运动的方法，如果物体的运动是较为复杂的曲线运动，该如何分析呢？本节将学习利用运动的合成与分解的思想，分析和解决曲线运动的相关问题。

1．认识曲线运动

自然界中物体的运动通常十分复杂。为了便于研究，可根据研究的问题，将运动简化为直线运动和曲线运动。

下落的苹果、竖直向上抛出的石子、沿平直公路行驶的汽车，其运动轨迹都可视为直线，这种轨迹为直线的运动称为直线运动。水平扔出的飞镖、绕地球运动的卫星（图 2-1），其运动轨迹都是曲线，这种轨迹为曲线的运动称为曲线运动（curvilinear motion）。

图 2-1 绕地球运动卫星的示意图

物体在什么情况下做曲线运动呢？让我们一起来观察下面的实验。

迷你实验室

钢珠在磁铁吸引下的运动

首先推动钢珠，让钢珠在水平桌面上做直线运动，观察其运动轨迹。然后在其运动轨迹旁放一块磁铁（图 2-2），再次推动钢珠，观察其运动轨迹。解释观察到的现象。

图 2-2 钢珠在磁铁吸引下的运动轨迹

当物体所受合力的方向跟它的速度方向在同一直线上时，由牛顿第二定律可知，加速度方向与速度方向在一条直线上，物体做直线运动。当物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。钢珠第一次滚动时受到的阻力与速度方向相反，做减速直线运动。钢珠第二次滚动时受到阻力和磁铁的吸引力，所受合力的方向与速度方向不在同一直线上，做曲线运动。水平扔出的飞镖、喷泉口倾斜喷出的水柱，因为所受重力的方向与速度的方向不在同一直线上，所以都做曲线运动。

速度是矢量，它既有大小，又有方向。做曲线运动的物体在某一点的速度方向，为沿曲线在该点的切线方向。曲线运动中速度的方向时刻在变化，因此曲线运动是变速运动。

迷你实验室

曲线运动的速度方向

用笔画一条直线，你会发现，笔尖运动方向保持不变（图2-3）；再用笔画一条曲线，观察笔尖运动，你会发现，笔尖运动方向不断改变（图 2-4）。在图 2-4 中，根据平均速度的定义，笔尖经时间 t 沿曲线从 A 点运动到 B 点，平均速度的方向与位移 AB 的方向相同。t 越短，平均速度越接近 A 点的瞬时速度，其方向越接近 A 点的切线方向。因此，物体在某点的速度方向，就是沿曲线在该点的切线方向。

图 2-3 画直线时，笔尖运动的方向不变

图 2-4 画曲线时，笔尖运动的方向不断改变

2．生活中运动的合成与分解

运动的合成与分解是处理复杂运动的基本方法。如果一个物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是这几个运动的合运动，这几个运动就是物体实际运动的分运动。对于复杂运动，可将其分解为几个简单的直线运动，再运用直线运动规律分别进行研究。下面我们通过竹筏过小河的运动，来具体探讨运动的合成与分解问题。

如图 2-5 所示，假设当竹筏始终垂直于河对岸匀速划动时，它会从小河 A 处匀速运动到河对岸的 B 处，位移为 s，速度为 v。若河水不流动，竹筏在静水中沿 ABʹ 方向划动，经过时间 t，竹筏从 A 点匀速运动到 B' 点，这个分运动的位移为 s₁，速度为 v₁。若竹筏没有划动，河水使竹筏从 A 点匀速运动到 Aʹ 点，这个分运动的位移为 s₂，速度为 v₂，时间仍为 t。竹筏在流动的河水中划动时，经过相同时间 t，竹筏从A 点运动到 B 点，这就是上述两个分运动的合运动。

图 2-5 竹筏过小河的运动分解示意图

运动的合成与分解实质上是对描述运动的物理量如位移、速度、加速度的合成与分解，遵从矢量运算法则。如上所述，竹筏过小河时，设竹筏在 ABʹ 方向是匀速划动的，河水在 AAʹ 方向是匀速流动的，竹筏的两个分运动的速度都是恒定的，所以合运动也是匀速直线运动，其位移、速度的矢量合成图，分别如图 2-6、图 2-7 所示。由于两分运动的方向相互垂直，对应的位移大小和速度大小为

s ＝ \(\sqrt {s_1^2 + s_2^2} \)

v ＝ \(\sqrt {v_1^2 + v_2^2} \)

物理聊吧

在图 2-5 所示竹筏过小河的运动中，如果河水的流动保持匀速直线运动，但竹筏在静水中的运动为匀加速直线运动，请尝试在图中用粗略描点的方法，画出这种情况下竹筏的实际运动轨迹，看看其合运动是否为直线运动，并与同学交流。

例题

跳伞员打开降落伞下落一段时间后的运动可近似视为匀速下落。若无风，跳伞员着地的速度约为 5 m/s，方向竖直向下；若有风，且风速大小为 4 m/s，方向水平向东，假设跳伞员在水平方向的速度与风速相等，落地时在竖直方向的速度与水平风速无关，则跳伞员着地的速度将是多大？速度的方向怎样？

分析

有风时跳伞员实际的运动是竖直下落的运动和水平方向的运动的合运动。可通过平行四边形定则求解。

解

跳伞员在有风时着地的速度 v_地 ，为降落伞无风时匀速下降的速度 v_伞 和风速 v_风 的合速度，如图 2-8 所示。由勾股定理求得

v_地 = \(\sqrt {v_风^2 + v_伞^2} \) = \(\sqrt {{4^2} + {5^2}} \) m/s = 6.4 m/s

设着地速度 v_地 与竖直方向的夹角为 θ，则

tan θ  = \(\frac{{{v_风}}}{{{v_伞}}}\) = \(\frac{4}{5}\) = 0.8

解得 θ = 38.7°

讨论

风变大时，跳伞员水平方向的速度将变大，那么其落地的速度将会怎样改变？

策略提炼

求解运动的合成与分解问题，首先要分清合运动与分运动，然后根据矢量运算法则进行合成或分解。

迁移

如图 2-9 所示，一条小船位于宽 200 m 的河的正中间 A 点处，下游 150 m 处有一危险区，已知小船在静水中的最大速度为 3 m/s，水流速度为 4 m/s。为了使小船避开危险区安全到达河岸，船员立刻使船头正对河岸奋力划船，小船能安全到达河岸吗？

【答案】小船沿水流方向的位移 x = 133.33 m ＜ 150 m，能安全到达对岸。

节练习

1．设空中的雨滴从静止开始下落，遇到水平方向吹来的风。请分析风速对雨滴下落时间和着地速度的影响。

【答案】因为雨滴下落的时间只与竖直方向的分速度有关，所以水平方向吹来的风对雨滴下落的时间没有影响。但雨滴着地速度是指其合速度，其大小和方向由水平方向的速度和竖直方向的速度共同决定。因此，水平方向吹来的风会对水滴的着地速度有影响：风速越大，雨滴着地速度越大，其方向与竖直方向的夹角也越大。

2．下列说法正确的是

A．物体在恒力作用下不可能做曲线运动

B．物体在变力作用下一定做曲线运动

C．物体的速度方向与合力方向不在同一条直线上时，物体一定做曲线运动

D．做曲线运动的物体所受合力的方向一定是变化的

【答案】C

3．如图所示，炮筒与水平方向的夹角为 60°，炮弹从炮筒射出时速度的大小为 800 m/s。求炮弹射出时在竖直方向和水平方向的分速度大小。

【答案】693 m/s，400 m/s

4．如图所示，汽艇在静水中的航行速度是 12 km/h。若它在流速为 3 km/h 的河水中航行，当船头与河岸垂直时，求合速度的大小和方向。

【答案】v_合 = 3\(\sqrt {17} \) km/h，合速度的方向与河岸之间的夹角 θ = arctan4

5．在雪地军事演习中，已知子弹射出时的速度是 500 m/s，射击者坐在以 10 m/s 的速度向正东方向行驶的雪橇上，要射中位于他正北方的靶子，必须向什么方向射击？（结果可用三角函数表示）

【答案】北偏西 arcsin 0.02

6．某趣味物理实验中，在水平桌面上从桌子的一个角 A 向 B 发射一个乒乓球，一同学在桌边试着用一支吹管将球由 B 处吹进球门 C，如图所示。该同学将吹管对准 C 用力吹，但球总是进不了球门。请帮他分析失败的原因。

【答案】由于乒乓球开始是沿水平方向运动，而吹管位于 CB 直线上，只能使乒乓球获得 CB 方向的分速度，但由于乒乓球已经具有 AB 方向的分速度，所以无法进入 C 点处的球门。若想将乒乓球吹进球门，吹管吹气方向应介于 BA 方向和 BC 方向之间。

发布时间：2022/1/17 下午10:02:43  阅读次数：1424