第 1 章 第 5 节 科学验证：机械能守恒定律

过山车（图 1-25）在最高点无动力释放后，会沿着轨道下滑、爬升、翻转，速度时快时慢，惊险刺激。过山车在运行过程中既有重力势能，又有动能。高度减小时，重力势能减小，动能增大；高度增大时，重力势能增大，动能减小。当重力势能与动能发生变化时，它们之间遵循着什么规律？本节我们将学习机械能，并研究动能与势能转化时遵循的规律。

1．机械能守恒定律

运动的物体往往既有动能又有势能，物体的动能与重力势能（弹性势能）之和称为机械能（mechanical energy）。若用符号 E 表示机械能，则物体的机械能为

\[E = {E_p} + {E_k}\]

在物体运动过程中，不同形式的能量常会相互转化。例如，射箭时，弓的弹性势能减小，箭的动能增大；蹦极时，重力势能会转化为动能和弹性势能等。大量事实表明，物体的机械能可从一种形式转化为另一种形式。下面，我们先从理论上研究只有重力势能与动能发生转化时能量遵循的规律。

如图 1-26 所示，如果小球只在重力作用下自由下落，从 A 到 B 的过程中重力做功为 W_G ，根据动能定理可知，重力做的功等于小球下落过程中动能的增加量，即

\[{W_G} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2\]

由重力做功与重力势能改变的关系可知，重力做的功等于小球下落过程中重力势能的减少量，即

\[{W_G} = mg{h_1} - mg{h_2}\]

由以上两式可得

\[\frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2 = mg{h_1} - mg{h_2}\]

即在小球自由下落的过程中，动能的增加量等于重力势能的减少量，说明重力对小球做了多少功，就有多少重力势能转化为等量的动能。上式移项后得

\[\frac{1}{2}mv_2^2 + mg{h_2} = \frac{1}{2}mv_1^2 + mg{h_1}\]

即

\[{E_{k2}} + {E_{p2}} = {E_{k1}} + {E_{p1}}\]

上式表明，在小球自由落体运动中，只有重力做功，小球在 A 点的动能与重力势能的总和等于在 B 点的动能与重力势能的总和。由于 A、B 两点是任意选定的，故在自由落体运动中，任何位置（时刻）物体的总机械能保持不变。

同样可以证明，在只有弹力做功的物体系统内， 动能和弹性势能可相互转化，总的机械能保持不变。

大量研究结果表明，在只有重力或弹力这类力做功的情况下，物体系统的动能与势能相互转化，机械能的总量保持不变。这个结论称为机械能守恒定律（law of conservation of mechanical energy）。

事实上，并非只有动能和势能可以相互转化，任何形式的能量都可以相互转化，但总能量保持不变，这就是更普遍的能量守恒定律。

素养提升

能在熟悉的问题情境中运用机械能守恒定律解决问题时建构物理模型，会分析机械能守恒的条件；能从机械能守恒的角度分析动力学问题，通过推理，获得结论；能用与机械能守恒定律等相关的证据说明结论；能从不同视角解决动力学问题。

——科学思维

2．验证机械能守恒定律

在只有重力或弹力做功的情况下，物体系统的机械能是守恒的。我们已经从理论上推导出了机械能守恒定律，现在用实验进行验证。

实验目的

（1）验证机械能守恒定律。

（2）进一步熟悉打点计时器的使用。

实验器材

铁架台、打点计时器、交流电源、纸带、重物、天平、砝码、刻度尺。

实验原理与设计

实验装置如图 1-27 所示。让带有纸带的重物自由下落，利用打点计时器记录重物下落过程中的运动情况。选取纸带上的某点作为高度的起点，量出纸带上其他点相对该点的距离作为高度。用天平称出重物的质量，算出重物经过这些点的重力势能。再计算重物经过这些点的瞬时速度，算出动能。最后，通过比较重物经过这些点的机械能，得出实验结论。

实验步骤

（1）使用天平称出重物质量。

（2）纸带一端吊重物，另一端穿过打点计时器。手提纸带，使重物靠近打点计时器并静止。接通电源，松开纸带，让重物自由落下。

（3）取下纸带并选其中一个点作为参考点，设打该点时重物的重力势能为 0，计算打该点时重物的动能，它就是重物下落过程中动能与重力势能的总和。

（4）分别计算纸带上其他各点对应的重物的动能和重力势能之和。

数据分析

请将测量的数据记入你设计的表格中，并分析数据，形成结论。

实验结论

请写出实验结论。

讨论

（1）引起实验误差的主要因素有哪些？如何减小实验误差？

（2）若实验中不测量重物质量，还能验证机械能守恒定律吗？

（3）你能设计其他实验方案验证机械能守恒定律吗？

安全警示

使用打点计时器时注意用电安全。释放重物时不要让重物砸到人或实验台。

素养提升

能提出实验中可能出现的物理问题；能在他人帮助下设计实验方案，获取数据；能分析数据、验证机械能守恒定律，能反思实验过程，尝试减小实验误差；能撰写比较完整的实验报告，在报告中能呈现实验表格及数据分析过程，能尝试利用证据进行交流。

注意提升提出问题、分析论证及反思评估的能力。

——科学探究

例题

荡秋千是一种常见的娱乐休闲活动（图 1-28）。若秋千绳的长度 l ＝ 2 m，荡到最高点时秋千绳与竖直方向的夹角 θ ＝ 60°。取重力加速度 g ＝ 9.8 m/s² ，求荡到最低点时秋千的速度大小。（忽略阻力及秋千绳的质量，且人在秋千上的姿势可视为不变）

分析

秋千绳拉力的大小和方向不断变化，难以直接用牛顿第二定律和运动学公式来求解。但在摆动过程中，秋千绳拉力不做功，只有重力做功，系统的机械能守恒，可用机械能守恒定律求解。

解

以人和秋千座椅组成的系统为研究对象并将其视为质点，受力分析如图 1-29 所示。选择秋千在最低位置时的水平面为零势能参考平面。设秋千荡到最高点 A 处为初状态，在最低点 B 处为末状态。已知 l ＝ 2 m，θ ＝ 60°。

初动能 E_k1 ＝ 0，此时重力势能 E_p1 ＝ mgl（1 − cosθ）。末动能 E_k2 ＝ \(\frac{1}{2}\)mv²，此时重力势能 E_p2 ＝ 0。据机械能守恒定律有E_k2 + E_p2 ＝ E_k1 + E_p1

即         \(\frac{1}{2}\)mv² ＝ mgl（1 − cosθ）

所以

\(\begin{array}{l}v = \sqrt {2gl(1 - \cos \theta )} \\ = \sqrt {2 \times 9.8 \times 2 \times (1 - \cos 60^\circ )} {\rm{m/s}}\\ = 4.4{\rm{m/s}}\end{array}\)

讨论

在现实中，若人在荡秋千时姿势不变，秋千将逐渐停下来，这是有阻力的缘故。因此，人荡秋千时，只有在保持姿势不变且忽略阻力的情况下，其机械能才守恒。为什么有的人可以越荡越高，他是怎么做到的呢？请分析原因。

策略提炼

运用机械能守恒定律分析解决问题时，需要先分析研究对象在所研究的过程中是否满足机械能守恒条件，然后确定研究对象的初、末状态及其机械能，最后列式求解。

迁移

下列问题能否运用牛顿运动定律或机械能守恒定律解答？请试一试。

1924 年，跳台滑雪被列为首届冬奥会比赛项目。如图 1-30 所示，假设运动员从雪道的最高点 A 由静止开始滑下，不借助其他器械，沿光滑的雪道到达跳台的 B 点时，速度为多少？当他落到离 B 点竖直高度为 10 m 的雪地 C 点时，速度又是多少？（假设这一过程中运动员没有做其他动作，忽略摩擦力和空气阻力，取重力加速度 g ＝ 10 m/s² ）

【答案】4\(\sqrt 5 \) m/s，2\(\sqrt 70 \) m/s

素养提升

能理解功、功率、动能、重力势能及机械能守恒定律的内涵，定性了解弹性势能；能用动能定理和机械能守恒定律等分析解释生产生活中的相关现象，解决一些相关的实际问题，能体会守恒观念对认识物理规律的重要性。具有与功和机械能相关的初步的能量观念。

——物理观念

物理聊吧

跳水运动员在弹离跳板后，先上升到一定的高度，在空中完成一系列复杂而优美的动作后入水。请你分析一下，从运动员起跳到入水的全过程中，有哪些能量发生了相互转化。说出你的判断依据，并与同学讨论交流。

节练习

1．请撰写“验证机械能守恒定律”的实验报告，注意在报告中呈现设计的表格及数据分析过程。

2．下列说法正确的是

A．物体的机械能守恒时，一定只受重力作用

B．物体处于平衡状态时，机械能一定守恒

C．物体除受重力外，还受其他力时，机械能也可能守恒

D．物体的重力势能和动能之和增大时，必有重力以外的力对其做功

【答案】CD

3．如图所示，质量为 m 的苹果从距地面高度为 H 的树上由静止开始下落，树下有一深度为 h 的坑。若以地面为零势能参考平面，则苹果刚要落到坑底时的机械能为

A．－mgh                    B．mgH

C．mg（H + h）         D．mg（H － h）

【答案】B

4．在水平地面以 20 m/s 的速度将一物体竖直上抛。若以水平地面为零势能参考平面，忽略空气阻力，取重力加速度 g ＝ 10 m/s² ，求：

（1）物体上升的最大高度；

（2）物体在上升过程中其重力势能和动能相等的位置距地面的高度。

【答案】（1）20 m

（2）10 m

5．如图所示，轻弹簧 k 一端与墙相连，质量 m ＝ 4 kg 的木块沿光滑水平面以 v₀ ＝ 5 m/s 的初速度向左运动。求：

（1）弹簧在被压缩过程中的最大弹性势能；

（2）木块压缩弹簧后速度减小到 3 m/s 时弹簧的弹性势能。

【答案】（1）E_弹max = 50 J

（2）E_弹 = 32 J

6．某同学计划通过测量重物自由下落的瞬时速度 v 和下落高度 h 来验证机械能守恒定律。

（1）以下四种测量方案中，合理的是______（填正确选项前的字母），理由是________。

A．直接测量下落高度 h 和下落时间 t，通过 v ＝ gt 算出瞬时速度 v

B．直接测量下落高度 h，通过 v² ＝ 2gh 算出瞬时速度 v

C．根据纸带上某点的相邻两点间的平均速度，得到该点的瞬时速度 v，再由 v² ＝ 2gh 算出高度 h

D．直接测量下落高度 h，根据纸带上某点的相邻两点间的平均速度，得到该点的瞬时速度 v

（2）实验中产生系统误差的主要原因是纸带通过打点计时器时存在摩擦阻力，使重物获得的动能往往________（选填“大于”“小于”或“等于”）它所减小的重力势能。

（3）如果以 \(\frac{{{v^2}}}{2}\) 为纵轴、h 为横轴，根据实验数据绘出的 \(\frac{{{v^2}}}{2}\) –h 图线是一条通过坐标原点的倾斜直线，该直线的斜率是_________。

【答案】（1）D。该实验是验证机械能守恒定律的实验，做自由落体运动的物体只受重力，机械能守恒，自由落体中验证机械能守恒的实质是验证自由落体运动的加速度是否为 g，不能用重力加速度 g 来计算速度。其中 A、B、C 三项都是运用自由落体的运动规律求解的，故 A、B、C 错误，D 正确。

（2）小于

（3）实验所在地的重力加速度

7．研究蹦极运动时，在运动员身上装好传感器，用于测量他在不同时刻下落的高度及速度。已知运动员及其所携带的全部设备的总质量为 60 kg，弹性绳原长为 10 m。运动员从蹦极台无初速度下落，根据传感器测到的数据，得到如图所示的速度—位移图像。不计空气阻力，取重力加速度 g ＝ 10 m/s² 。问：运动员下落过程中在什么位置动能最大？该位置受力有什么特点？运动员下落速度最大时和落到最低点时，绳的弹性势能分别为多大？请陈述运用相关定律解决问题的条件。

【答案】由图可知，下落距离为 15 m 时，速度最大 v_max = 15 m/s，此时动能最大，且在该位置弹性绳弹力大小等于重力；下落速度最大时，h₁ = 15 m，v = 15 m/s，由有能量守恒定律，可得 mgh₁ = \(\frac{1}{2}\)mv² + E₁，解得此时绳的弹性势能 E₁ = 2 250 J；同理下落至最低点时绳的弹性势能 E₂ = mgh₂，此时下落距离 h₂ 等于 22.5 m，可由图像读出，代入数据，解得 E₂ = 15 300 J，当运动员仅受重力和弹性绳弹力时，满足机械能守恒的条件。

发布时间：2022/1/15 下午3:52:06  阅读次数：2458