第1章 功和机械能 第3节 动能和动能定理

例题

如图 1-15 所示，一辆汽车正以 v₁ ＝ 72 km/h 的速度匀速直线行驶，司机发现在前方150 m 处停有一故障车辆，马上进行刹车操作。设司机的反应时间 t₁ ＝ 0.75 s，刹车时汽车受到的阻力为重力的 \(\frac{1}{2}\)。取重力加速度 g ＝ 10 m/s² 。请计算从发现故障车至停下，汽车在这段时间内发生的位移，据此判断这两辆车是否会相撞。

分析

在司机的反应时间内，后车做匀速直线运动，位移 s₁ ＝ v₁t₁ 。后车刹车后，在水平方向只受到阻力 F_阻 的作用，发生的位移为 s₂ 。根据已知条件，运用动能定理即可求出 s₂ ，若 s₁ + s₂ ＜ 150 m ，则两车不会相撞。

解

设后车刹车时所受阻力为 F_阻 ；司机反应时间内后车的位移为 s₁ ；从开始刹车到停止，后车的位移为 s₂ 。后车受力分析如图 1-16 所示。

由题意可知 v₁ ＝ 72 km/h ＝ 20 m/s，F_阻 ＝ \(\frac{1}{2}\)mg。

由匀速直线运动公式可得

s₁ ＝ v₁t₁ ＝ 20×0.75 m ＝ 15 m

由动能定理得

− F_阻s₂ ＝ 0 − \(\frac{1}{2}\)mv₁²

整理得

s₂ ＝ \(\frac{{mv_1^2}}{{2{F_阻}}}\) ＝ \(\frac{{v_1^2}}{g}\) ＝\(\frac{{{{20}^2}}}{{10}}\) m ＝ 40 m

发现故障车至停下汽车发生的位移为

s ＝ s₁ + s₂ ＝ 55 m

s ＜ 150 m，故两车不会相撞。

讨论

从计算结果看，后车不会与前车发生追尾。为避免交通事故，汽车在行驶中保持一定安全距离是很重要的。通常车速越大，需要保持的安全距离也越大。

《中华人民共和国道路交通安全法》规定，机动车在道路上行驶，不得超过限速标志标明的最高时速。你能从物理学的角度说明该规定的理由吗？

策略提炼

若研究的问题只涉及力、位移与物体运动的初、末状态，用动能定理求解通常比用牛顿运动定律求解简便得多。

对于一些变力做功问题，利用功的计算公式很难求解，通常可利用动能定理求解。

迁移

运用动能定理不仅可以较简便地求解一些恒力做功问题，还可求解一些特殊情况下的变力做功问题。请你解答下面的问题。

雨滴在空中下落时会受到空气阻力，空气阻力 f 的大小与雨滴下落速率 v 的二次方成正比，即f ＝ kv²，其中k为常数。若质量为 m 的雨滴，从高h处以初速度 v₀ 竖直加速下落，接近落地前开始做匀速直线运动。已知重力加速度为 g，求该雨滴从高处下落到地面的过程中，空气阻力对其所做的功。

节练习

1．若汽车行驶速度增加为原来的 2 倍，则该车从开始刹车到停下的距离约将增大为原来的 4 倍。请你从动能定理的角度加以解释。

【答案】设刹车时汽车受到的阻力为 f，刹车前的行驶速度为 v，从刹车到停下的距离为 s。根据动能定律可知，− fs = 0 − \(\frac{1}{2}\)mv²，可得 s = \(\frac{{m{v^2}}}{{2f}}\)，所以当汽车行驶速度增加为原来的 2 倍时，该车的刹车距离约将增大为原来的 4 倍。

2．2017 年 5 月 5 日，我国自行研制的大型喷气式客机 C919 首飞成功，标志着我国大型客机项目取得重大突破。假设飞机在水平跑道上的滑跑是初速度为 0 的匀加速直线运动，当位移 s ＝ 1.6×10³ m 时才能达到起飞所要求的速度 v ＝ 80 m/s。已知飞机质量 m ＝ 7.0×10⁴ kg，滑跑时受到的阻力为自身重力的 0.1，取重力加速度 g ＝ 10 m/s² ，求：

（1）飞机起飞时的动能；

（2）飞机滑跑过程中受到的牵引力。

【答案】（1）E_k = 2.24×10⁸ J

（2）F = 2.1×10⁵ N

3．质量为 m 的汽车在平直公路上行驶，发动机的功率 P 和汽车受到的阻力 f_阻 均恒定不变。在时间 t 内，汽车的速度由 v₀ 增加到最大速度 v_max ，则此段时间内汽车沿直线运动的距离为多少？

【答案】s = v_maxt − \(\frac{{mv_{\max }^3 - mv_0^2{v_{\max }}}}{{2P}}\)

4．拖把是由拖杆和拖把头构成的清洁工具，如图所示。若某同学保持拖杆与竖直方向的夹角 θ ＝ 37°，并用沿拖杆方向的恒力 F ＝ 30 N 推动拖把头，使其由静止开始在水平地面沿直线运动，位移 s ＝ 1 m。已知拖把头的质量 m ＝ 1.6 kg，不计拖杆质量，拖把头与地面间的动摩擦因数 μ ＝ 0.3，取重力加速度 g ＝ 10 m/s²， sin 37° ＝ 0.6， cos 37° ＝ 0.8，求：

（1）摩擦力对拖把头做的功；

（2）拖把获得的动能。

【答案】（1）W_f = − 12 J

（2）E_k = 6 J

5．如图所示，木块放在光滑水平面上，一颗子弹水平射入木块。已知子弹受到的平均阻力为 F_阻 ，射入深度为 d，在此过程中木块的位移为 s，求子弹动能的减少量和木块动能的增加量。

【答案】F_阻(s + d)，F_阻s

*6。假设某地强风的风速为 v，空气密度为ρ。如果把通过横截面积 S 的风的动能转化为电能，转化效率为 η，请写出电功率的表达式。

【答案】P = \(\frac{1}{2}\)ηρSv³

发布时间：2022/1/13 9:35:44  阅读次数：258