第 1 章 功和机械能 第 3 节 动能和动能定理

运动的物体可以做功，说明物体运动时具有能量。例如，台风、龙卷风（图 1-10）等强烈的空气流动具有巨大的能量，可以拔起大树、掀翻汽车甚至摧毁房屋。运动的物体具有的能量与哪些因素有关？其变化与功有着怎样的关系？本节将深入学习动能和动能定理。

图 1-10 龙卷风

1．动能

物理学中把物体因运动而具有的能量称为动能（kinetic energy）。人类利用动能已有很长的历史。例如，在船上加挂风帆，利用气流的动能推动帆船前进；制造风车和水车，利用气流和水流的动能从事各种生产活动。现在，我们能更广泛、更有效地利用气流和水流的动能来进行发电等活动。

那么，物体动能的大小与哪些因素有关？让我们通过一个小实验来回顾初中物理介绍过的内容。

迷你实验室

影响小车动能大小的因素

如图 1-11 所示，同一小车从斜面的不同高度处由静止开始下滑，撞击放在水平面上的木块。可以发现，小车开始下滑时的高度越高，木块被撞击后运动的距离越大。

质量不同的小车从斜面的同一高度处由静止开始下滑，撞击放在水平面上的木块。可以发现，小车的质量越大，木块被撞击后运动的距离越大。

图 1-11 实验装置

由以上实验可以看出，动能的大小与物体的质量和运动速度有关。物体的质量 m 越大，速度 v 越大，其动能就越大。在物理学中，物体的动能 E_k 表示为

E_k = \(\frac{1}{2}\)mv²

动能是标量。它的单位与功的单位相同，在国际单位制中都是焦耳，符号为 J。从上式也可以看出

1 kg·（m/s）² = 1 kg·（m/s²）·m = 1 N·m = 1 J

2．恒力做功与动能改变的关系

在“迷你实验室”中，小车通过撞击对木块做功，使木块从静止开始运动，木块的动能从无到有。滚动的保龄球具有动能，当其克服球瓶阻力做功时，动能减小（图 1-12）。那么，若外力对物体做功，该物体的动能总会增大吗？若物体克服外力做功，该物体的动能总会减小吗？做功与动能的改变之间究竟有什么关系？

图 1-12 保龄球撞击球瓶

我们从简单的情况入手，通过实验来探究恒力做功与动能改变的关系。

实验与探究

恒力做功与动能改变的关系

要研究恒力做功与动能改变的关系，需要测出作用于物体的力、物体的位移，以及物体的质量和速度，求出恒力所做的功和物体的动能，然后进行比较。

用打点计时器测小车的位移和速度，用天平测小车的质量，用钩码给小车提供作用力。此实验的装置与“探究加速度与力、质量的关系”的实验装置基本相同。思考实验中如何平衡摩擦力？如何让小车所受的合力近似等于钩码的重力？为什么？

如图 1-13 所示，用细线通过定滑轮连接小车与钩码，纸带通过打点计时器与小车相连。实验中，通过改变钩码数量来改变小车所受拉力的大小，测出需要测的物理量，然后算出每次拉力做的功及相应的小车动能的改变量。比较二者之间的关系，可以得出什么结论？

3．动能定理

运用牛顿第二定律和匀变速直线运动的规律，可推导出恒力对物体做功与物体动能改变的关系。

设一个物体的质量为 m，初速度为 v₁ ，在与其运动方向相同的合外力 F 的作用下经过一段位移 s 后，速度增加到 v₂ （图 1-14） 。根据牛顿第二定律和匀变速直线运动的规律

图 1-14 物体在恒力作用下速度变化的示意图

F = ma

s = \(\frac{{v_2^2 - v_1^2}}{{2a}}\)

可得 Fs = \(\frac{1}{2}\)mv₂² − \(\frac{1}{2}\)mv₁²

用 W 表示合外力 F 在这一过程中所做的功，用 E_k1 表示物体的初动能 \(\frac{1}{2}\)mv₁²，E_k2 表示物体的末动能 \(\frac{1}{2}\)mv₂²，于是有图 1-14 物体在恒力作用下速度变化的示意图

W = E_k2 − E_k1

上式表明，合外力对物体所做的功等于物体动能的变化量。这个结论称为动能定理（theorem of kinetic energy）。从上式可以看出，当合外力对物体做正功时，物体的末动能大于初动能，动能增大。例如，在汽车加速的过程中，牵引力和阻力的合力对汽车做正功，汽车的动能增大。当合外力对物体做负功，或者物体克服合外力做功时，物体的末动能小于初动能，动能减小。例如，在汽车刹车的过程中，阻力对汽车做负功，汽车的动能减小。我们可用合外力做功的多少来量度物体动能的变化量。

可以证明，动能定理在物体受到变力作用或做曲线运动的情况下也是成立的。动能定理是物理学的重要规律。通过它，我们既可用做功的多少来量度动能的变化量，也可用动能的变化量来确定做功的多少，这为分析力学问题提供了新的思路。

例题

如图 1-15 所示，一辆汽车正以 v₁ ＝ 72 km/h 的速度匀速直线行驶，司机发现在前方 150 m 处停有一故障车辆，马上进行刹车操作。设司机的反应时间 t₁ ＝ 0.75 s，刹车时汽车受到的阻力为重力的 \(\frac{1}{2}\)。取重力加速度 g ＝ 10 m/s² 。请计算从发现故障车至停下，汽车在这段时间内发生的位移，据此判断这两辆车是否会相撞。

分析

在司机的反应时间内，后车做匀速直线运动，位移 s₁ ＝ v₁t₁ 。后车刹车后，在水平方向只受到阻力 F_阻 的作用，发生的位移为 s₂ 。根据已知条件，运用动能定理即可求出 s₂ ，若 s₁ + s₂ ＜ 150 m ，则两车不会相撞。

解

设后车刹车时所受阻力为 F_阻 ；司机反应时间内后车的位移为 s₁ ；从开始刹车到停止，后车的位移为 s₂ 。后车受力分析如图 1-16 所示。

由题意可知 v₁ ＝ 72 km/h ＝ 20 m/s，F_阻 ＝ \(\frac{1}{2}\)mg。

由匀速直线运动公式可得

s₁ ＝ v₁t₁ ＝ 20×0.75 m ＝ 15 m

由动能定理得

− F_阻s₂ ＝ 0 − \(\frac{1}{2}\)mv₁²

整理得

s₂ ＝ \(\frac{{mv_1^2}}{{2{F_阻}}}\) ＝ \(\frac{{v_1^2}}{g}\) ＝\(\frac{{{{20}^2}}}{{10}}\) m ＝ 40 m

发现故障车至停下汽车发生的位移为

s ＝ s₁ + s₂ ＝ 55 m

s ＜ 150 m，故两车不会相撞。

讨论

从计算结果看，后车不会与前车发生追尾。为避免交通事故，汽车在行驶中保持一定安全距离是很重要的。通常车速越大，需要保持的安全距离也越大。

《中华人民共和国道路交通安全法》规定，机动车在道路上行驶，不得超过限速标志标明的最高时速。你能从物理学的角度说明该规定的理由吗？

策略提炼

若研究的问题只涉及力、位移与物体运动的初、末状态，用动能定理求解通常比用牛顿运动定律求解简便得多。

对于一些变力做功问题，利用功的计算公式很难求解，通常可利用动能定理求解。

迁移

运用动能定理不仅可以较简便地求解一些恒力做功问题，还可求解一些特殊情况下的变力做功问题。请你解答下面的问题。

雨滴在空中下落时会受到空气阻力，空气阻力 f 的大小与雨滴下落速率 v 的二次方成正比，即f ＝ kv²，其中 k 为常数。若质量为 m 的雨滴，从高h处以初速度 v₀ 竖直加速下落，接近落地前开始做匀速直线运动。已知重力加速度为 g，求该雨滴从高处下落到地面的过程中，空气阻力对其所做的功。

节练习

1．若汽车行驶速度增加为原来的 2 倍，则该车从开始刹车到停下的距离约将增大为原来的 4 倍。请你从动能定理的角度加以解释。

【答案】设刹车时汽车受到的阻力为 f，刹车前的行驶速度为 v，从刹车到停下的距离为 s。根据动能定律可知，− fs = 0 − \(\frac{1}{2}\)mv²，可得 s = \(\frac{{m{v^2}}}{{2f}}\)，所以当汽车行驶速度增加为原来的 2 倍时，该车的刹车距离约将增大为原来的 4 倍。

2．2017 年 5 月 5 日，我国自行研制的大型喷气式客机 C919 首飞成功，标志着我国大型客机项目取得重大突破。假设飞机在水平跑道上的滑跑是初速度为 0 的匀加速直线运动，当位移 s ＝ 1.6×10³ m 时才能达到起飞所要求的速度 v ＝ 80 m/s。已知飞机质量 m ＝ 7.0×10⁴ kg，滑跑时受到的阻力为自身重力的 0.1，取重力加速度 g ＝ 10 m/s² ，求：

（1）飞机起飞时的动能；

（2）飞机滑跑过程中受到的牵引力。

【答案】（1）E_k = 2.24×10⁸ J

（2）F = 2.1×10⁵ N

3．质量为 m 的汽车在平直公路上行驶，发动机的功率 P 和汽车受到的阻力 f_阻 均恒定不变。在时间 t 内，汽车的速度由 v₀ 增加到最大速度 v_max ，则此段时间内汽车沿直线运动的距离为多少？

【答案】s = v_maxt − \(\frac{{mv_{\max }^3 - mv_0^2{v_{\max }}}}{{2P}}\)

4．拖把是由拖杆和拖把头构成的清洁工具，如图所示。若某同学保持拖杆与竖直方向的夹角 θ ＝ 37°，并用沿拖杆方向的恒力 F ＝ 30 N 推动拖把头，使其由静止开始在水平地面沿直线运动，位移 s ＝ 1 m。已知拖把头的质量 m ＝ 1.6 kg，不计拖杆质量，拖把头与地面间的动摩擦因数 μ ＝ 0.3，取重力加速度 g ＝ 10 m/s²， sin 37° ＝ 0.6， cos 37° ＝ 0.8，求：

（1）摩擦力对拖把头做的功；

（2）拖把获得的动能。

【答案】（1）W_f = − 12 J

（2）E_k = 6 J

5．如图所示，木块放在光滑水平面上，一颗子弹水平射入木块。已知子弹受到的平均阻力为 F_阻 ，射入深度为 d，在此过程中木块的位移为 s，求子弹动能的减少量和木块动能的增加量。

【答案】F_阻(s + d)，F_阻s

*6。假设某地强风的风速为 v，空气密度为ρ。如果把通过横截面积 S 的风的动能转化为电能，转化效率为 η，请写出电功率的表达式。

【答案】P = \(\frac{1}{2}\)ηρSv³

发布时间：2022/1/13 上午9:35:44  阅读次数：4113