第四章 第五节 牛顿运动定律的应用

 

图 4–28  赛车

 

宏观世界中，无论陆、海、空各种交通工具的运动还是火箭发射和宇宙航行，都遵循着牛顿运动定律。例如，为了使图4–28所示的赛车提速，不仅需要考虑动力和阻力等因素，还要为车体瘦身减重；章导图所示的航空母舰设计时不仅要考虑舰载机安全起飞，为了使舰载机在航空母舰上安全降落，还设计了拦阻索来缩短舰载机的着舰滑行距离。我们几乎时时处处都要用到牛顿运动定律去解决遇到的问题。下面将运用牛顿运动定律来分析几个事例，体会用牛顿运动定律解决问题的过程和方法。

如图4–29所示，两队正在进行拔河比赛，最终左队获胜。

由于比赛的具体参与者很多，情况比较复杂，我们仅分析右队恰好被获胜的左队拉得向前滑行的情况。我们像上一节开始时一样，将情况简化为两位队员直接互拉，并将队员抽象为两个质点，分析其受力。

 

根据牛顿第三定律，左、右两队间的拉力是一对作用力和反作用力，大小相等，方向相反。如图 4–30 所示，左队队员受到右队的拉力 F_T1 。因此，左队队员有相对于地面向右运动的趋势，地面对左队队员有一个向左的摩擦力 F_f1。同理，可对右队队员作受力分析。

对于获胜的左队，只要 F_T1 的大小不超过其与地面间的最大静摩擦力，必有 F_T1 = F_f1，左队队员所受合力为零。根据牛顿第一定律，队员保持静止状态。

对于失利的右队，其与地面间的最大静摩擦力比左队的小，小于右队所受的拉力，即 F_f2＜F_T2，合力不为零，方向向左。根据牛顿第二定律，右队的加速度向左，滑向左边，从而输掉了比赛。

在本例中决定输赢的是左、右两队在水平方向所受的合力。左队之所以会赢是因为他们受到的合力为零，右队之所以会输是因为向左的合力改变了他们的运动状态。

上述实例中，我们根据两队的受力情况，运用牛顿运动定律讨论了决定拔河比赛输赢的原因。在其他情况中同样可以根据物体的运动状态变化，依据牛顿运动定律分析其受力情况。

示例  质量为 60 kg 的滑雪运动员不借助雪杖，从倾角为 30° 的斜坡上自静止起沿斜坡向下加速滑行（图 4–31），滑行 200 m 通过标志杆时的速度大小为 40 m/s。估算滑雪运动员所受的阻力。（g 取 10 m/s²）

分析：把滑雪运动员抽象为质点，把情境转化为示意图，分析运动员的受力情况。根据运动员的运动情况，分析加速度，按需要建立坐标系，运用牛顿运动定律和运动学规律求解。

解：以运动员为研究对象，画出运动员从雪坡上下滑的受力分析，如图4–32所示。

已知运动员的质量 m = 60 kg，则运动员受到的重力为

\[G = mg = 60 \times 10{\rm{N}} = 600{\rm{N}}\]

运动员的下滑过程可视为初速度为零的匀加速直线运动，加速度a沿斜面向下。以沿斜坡向下为正方向，则运动员的初速度 v_A = 0 m/s，末速度 v_B = 40 m/s，位移 x_AB = 200 m，由运动学规律可得

 

\[v_B^2 - v_A^2 = 2a{x_{AB}}\]

\[a = \frac{{v_B^2 - v_A^2}}{{2{x_{AB}}}} = \frac{{{{40}^2} - 0}}{{2 \times 200}}{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}} = 4{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\]

运动员的加速度 a = 4 m/s²，方向沿斜坡向下。

根据牛顿第二定律，运动员所受的合力也沿斜坡向下，垂直于斜坡方向上的合力为零。取 x 轴平行于斜坡向下，取 y 轴垂直于斜坡向上，建立坐标系。沿 x 与 y 方向分解重力，

如图 4–33所示。

\[\begin{array}{l}{F_x} = G\sin \theta \\{F_y} = G\cos \theta \end{array}\]

沿 x 方向的合力使运动员沿斜坡向下加速运动，根据牛顿第二定律得

\[\begin{array}{l}{F_x} - {F_阻} = ma\\{F_阻} = {F_x} - ma\end{array}\]

                                                                     \(\begin{array}{l} = G\sin \theta - ma\\ = (600 \times 0.5 - 60 \times 4){\rm{N}}\\ = 60{\rm{N}}\end{array}\)

滑雪运动员所受的平均阻力为 60 N，方向沿斜坡向上。

 

在本示例中，我们先根据运动员的运动情况求出他的加速度；再运用牛顿运动定律确定运动员的受力情况。有时我们也会运用牛顿运动定律根据物体的受力来确定物体的运动情况。这两种类型的应用都是人们认识客观世界、进行科学研究的重要途径。

 

当我们坐过山车加速上升时，会感到人被紧紧地压在座椅上不能动弹；而当过山车加速向下俯冲时，则又会有悬空感。如果你仔细体会，乘电梯上、下楼的过程中也会有类似感受。这些感受都与“超重”和“失重”现象有关。

测量体重时，人对秤的压力与人所受的重力大小相等。但是，如果人在秤上突然下蹲或突然起立，秤的示数就会发生改变。手持悬挂重物的细线并保持重物静止时，线上的拉力大小等于重物所受的重力大小。若手突然加速上提，细线可能会断裂，说明线上的拉力在细线断裂前变大了。这些现象都与竖直方向的运动有关。让我们通过实验来研究。

在电梯顶板上固定一个力传感器，将重物挂在力传感器的挂钩上。当电梯静止时通过

 

力传感器测得的示数即为重物对力传感器拉力的大小，与重物所受重力 G 的大小相等。电梯从底楼由静止起上升，最后停在顶楼。重物对传感器拉力大小在此过程中随时间的变化如图 4–34 所示。

电梯上升过程中经历了先加速后匀速再减速的运动过程。在电梯加速上升的过程中，

重物对力传感器的拉力大于重物所受的重力；在电梯减速上升的过程中，重物对力传感器的拉力小于重物所受的重力；在电梯匀速上升的过程中，重物对力传感器的拉力大小等于重物所受的重力。物体对悬绳的拉力或对支持物的压力大于物体所受重力的现象，称为超重（overweight）现象。物体对悬绳的拉力或对支持物的压力小于物体所受重力的现象，称为失重（weightlessness）现象。

牛顿三大运动定律是牛顿力学的基础。在我们的生活、生产和科学实践中，无论是大楼、桥梁及太空站的结构，还是汽车、飞机、火箭、人造卫星及各种天体的运动，或是岩石、地壳、洋流、大气等的移动，都遵循牛顿力学规律。

牛顿系统总结了伽利略、开普勒（J.Kepler，1571–1630）和笛卡尔等人的研究成果，以实验为指导，利用伽利略开创的观测与数学分析相结合的方法，才在前人工作的基础上提出了牛顿运动定律。所以，一个规律的发现不可能只经过几次简单的实验就得以实现。科学家们要搜集已有的实验事实，在此基础上归纳出某一规律。这一过程既需要谨慎的态度、求实的作风，也需要勇气和信念。

300多年前建立的牛顿力学至今在人类的生活、生产和科学实践中依然发挥着重大作用。牛顿力学中所建立的许多基本概念、基本规律和基本方法都已经推广到物理学的其他领域和其他学科。牛顿力学可以说是人类历史上建立的第一个重要的科学理论。科学家们通过建立一套基本观念、基本概念，以及定律、公式等，对复杂的自然现象作出解释，充分体现了人类的智慧。

1．参考解答：合力约为 30 N

命题意图：根据运动求合力。

主要素养与水平：模型建构（Ⅰ）；科学推理（Ⅱ）。

 

2．参考解答：a₁ = \(\frac{{F - f}}{m}\)，a₁ = \(\frac{{2F - f}}{m}\)，因此，a₂＞2a₁

命题意图：对相似的情境进行比较。

主要素养与水平：科学推理（Ⅱ）。

 

3．参考解答：约为 90 N，与棒球运动速度方向相反

命题意图：简单建模，从运动求力。

主要素养与水平：模型建构（Ⅰ）；科学推理（Ⅱ）。

 

4．参考解答：跑动阶段和滑行阶段；依据是受力情况不同。或：跑动阶段、上滑阶段和下滑阶段；依据是受力情况、运动规律不同（注：分段方式与分段依据要对应）

命题意图：运动的分段分析。

主要素养与水平：科学推理（Ⅱ）；科学论证（Ⅱ）。

 

5．参考解答：以加速度 g 减速上升或加速下降

命题意图：通过实际事例理解超重和失重。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅰ）；科学推理（Ⅱ）；社会责任（Ⅰ）。

 

6．参考解答：（1）某人在地面上最多能举起 60 kg 的物体，此人的最大举力为 F = mg = 60×10 N = 600 N，则加速下降的电梯中，根据牛顿第二定律，得 mg − F = ma，解得a = \(\frac{{mg - F}}{m}\) = \(\frac{{800 - 600}}{{80}}\) = 2.5 m/s²

（2）若电梯加速上升，根据牛顿第二定律，得 F − mʹg = mʹa，解得 mʹ = \(\frac{F}{{g + a}}\) = \(\frac{{600}}{{10 + 2.5}}\) kg = 48 kg

命题意图：从实际问题中提取研究对象和运动过程。

主要素养与水平：模型建构（Ⅰ）；科学推理（Ⅱ）。